Poder para suspender una masa en el aire

Question

Poder para suspender una masa en el aire

fajar

¿Cuánta potencia se necesita para suspender una masa en el aire?

Las cuatro partes a continuación tratan el mismo problema. Los publico todos aquí, en caso de que haya algunas cosas sutiles que no vi.

El problema del libro de texto

Un libro de texto de física universitaria de novena edición tiene esto como un problema de ejemplo en su capítulo de energía (detalles limpiados):

Una cabina de ascensor ("un ascensor") y sus pasajeros tiene una masa de 1800 kg y una fuerza de fricción despreciable en todas sus partes móviles. ¿Cuánta potencia debe entregar un motor para levantar la cabina del ascensor y sus pasajeros a una velocidad constante de 3,00 m/s? Respuesta : la velocidad es constante, entonces $a=0$ . Ahora deja $F$ Sea la fuerza total y $T$ Sea la fuerza ejercida por el motor. Entonces,

\sum F = T - METRO gramo = 0 \Rightarrow T = METRO gramo

$\sum F = T-Mg = 0 \qquad \Rightarrow \qquad T = Mg$ con potencia = fuerza x velocidad, entonces tenemos

PAG = T \cdot v = METRO gramo \cdot v

$P = T\cdot v = Mg \cdot v$

PAG = 1800 k gramo \cdot 9.8 metro / s^{2} \cdot 3.00 metro / s = 5.29 \times 10^{4} W

$P = 1800 \,kg\cdot9.8\,m/{s^2}\cdot 3.00\,m/s=5.29\times10^4\,{\textrm W}$ Y, ¿qué potencia debe entregar el motor en el instante en que la velocidad del ascensor es

v

$v$ si el motor está diseñado para proporcionar a la cabina del ascensor una aceleración hacia arriba de 1,00 m/s por segundo? respuesta : ahora

a = 1.00 m / s^{2}

$a=1.00 \,m/{s^2}$ , y luego

\sum F = T - METRO gramo = METRO a \Rightarrow T = METRO (a + gramo) .

$\sum F = T-Mg = Ma \qquad \Rightarrow \qquad T = M(a+g).$ Procediendo como antes, tenemos

PAG = T \cdot v = METRO (a + gramo) \cdot v

$P = T\cdot v = M(a+g) \cdot v$

PAG = 1800 k gramo \cdot (1.00 + 9.8) metro / s^{2} \cdot 3.00 metro / s = 5.83 \times 10^{4} W .

$P = 1800 \,kg\cdot (1.00+9.8)\,m/{s^2}\cdot 3.00\,m/s= 5.83 \times10^4\,{\textrm W}.$ Ese es el final del ejemplo.

Mis preguntas También podríamos preguntar esto:

¿Cuánta potencia debe entregar el motor para suspender el ascensor y sus pasajeros para que se mantenga a la altura constante? Es decir, ¿velocidad cero? Ciertamente no puede ser cero, ¿verdad? Porque de lo contrario, la cabina del ascensor caerá libremente. Pero, ¿cuánta potencia se requiere?
¿Qué potencia debe entregar el motor en el instante en que la velocidad del elevador es $v=3.00$ (como antes) si el motor está diseñado para proporcionar a la cabina del ascensor una aceleración hacia abajo de 1,00 m/s por segundo?

He estado buscando una respuesta pero fue en vano.

El problema del helicóptero

Esta es la verdadera pregunta que motiva este post.

Me ha preguntado un amigo que va a construir un modelo de helicóptero. "Vale, tengo un motor de 2000 W para mi modelo de helicóptero de 50 kg. Suponiendo una eficiencia del 100 %, ¿podrá flotar 1 m sobre el suelo durante al menos 1 minuto?"

No puedo responder a eso.

"Bien, entonces, ¿cuál es la potencia mínima requerida para el motor si quiero que flote 1 m sobre el suelo, suponiendo una eficiencia del 100%?"

le preguntare a fisica.se

El problema de la polea

Esta es una versión más simple de los dos problemas anteriores. Usando una cuerda y una polea, ¿cuál es la potencia mínima requerida para que un hombre suspenda una masa de 1 kg en el aire a 1 m sobre el suelo durante 1 segundo?

El problema de la tabla o la cadena

No hay mucho problema aquí. ¿Suspender una masa de 1 kg a 1 m del suelo? Simple. Póngalo en una mesa o cuélguelo con una cuerda. Sin movimiento. No se requiere energía.

¿Que esta pasando aqui?

nikos m.

esto es tarea?

fajar

No, no es una tarea.

Respuestas (3)

Poder para suspender una masa en el aire

floris · Answer 1

Algunas ideas para ayudarte en tu camino.

Cuando un ascensor se mueve, hay que trabajar contra la gravedad. Está cambiando la energía potencial del sistema. Cuanto más rápido se mueve el ascensor, más trabajo por unidad de tiempo se necesita (porque potencia = trabajo / tiempo = fuerza * velocidad). Si está cambiando la velocidad de un objeto, está cambiando su energía cinética: si se está desacelerando, le devuelve energía; si se está acelerando, necesitas darle más energía.

Si la cabina del ascensor no se mueve, no es necesario realizar ningún TRABAJO. Todavía necesita una FUERZA, pero podría hacer un nudo en el cable y desconectar la alimentación: la cabina del ascensor permanecerá en su lugar, sin electricidad, sin generar calor...

El ejemplo del helicóptero es diferente. La única razón por la que un helicóptero puede flotar es porque empuja el aire hacia abajo . Cada segundo que flota, necesita mover un volumen de aire a cierta velocidad. En este caso, la ecuación útil es

F Δ t = Δ pag

$F\Delta t = \Delta p$

El cambio en el impulso del aire te dice la fuerza que puedes obtener. Esto se puede hacer moviendo un poco un gran volumen de aire, o moviendo mucho un poco de aire. Ambas situaciones le darán el mismo impulso, pero dado que la energía se expresa como velocidad al cuadrado, las palas más grandes serán más eficientes (hasta el punto en que la resistencia de las palas se convierte en un factor importante).

Para resolver el problema que planteaste, necesitas saber el tamaño de las palas del helicóptero. Haciendo algunas suposiciones realmente simplificadas (falta al menos un factor 2 en esto, pero solo para tener una idea): si tiene una pala de helicóptero que barre un área $A$ y empuja aire de densidad $\rho$ abajo con velocidad $v$ entonces la fuerza es

F = metro \cdot v = (A ρ v) \cdot v = A ρ v^{2}

$F = m \cdot v = (A\rho v)\cdot v = A\rho v^2$

y la potencia necesaria (energía cinética del aire empujado hacia abajo por segundo) es

mi = \frac{1}{2} metro v^{2} = \frac{1}{2} (A ρ v) v^{2} = \frac{1}{2} A ρ v^{3}

$E = \frac12 m v^2 = \frac12 (A \rho v) v^2 = \frac12 A \rho v^3$

si asumimos $A=3m^2$ (aproximadamente 1 m de radio), y $\rho=1 kg/m^3$ , entonces para una fuerza de $500 N$ necesitamos una velocidad

v = \sqrt{\frac{F}{A ρ}} = \sqrt{\frac{500}{3}} = 13 metro / s

$v = \sqrt{\frac{F}{A\rho}} = \sqrt{\frac{500}{3}} = 13 m/s$

y la potencia requerida es

mi = \frac{1}{2} A ρ v^{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 13^{3} = 3.3 k W

$E = \frac12 A \rho v^3 = \frac12\cdot 3 \cdot 13^3 = 3.3 kW$

Esto es un poco más alto que los 2kW que tienes disponibles. La solución sería aumentar el tamaño de los rotores: cuanto mayor sea el área, menor será la velocidad del aire y mejor.

En cuanto a la polea y la cuerda, o la cuerda fija, vea los comentarios que hice sobre el ascensor. Cuando nada se mueve, no se realiza ningún trabajo. En el caso del helicóptero, aunque el helicóptero no se mueve, las alas (las aspas del rotor) sí lo hacen, y también lo hace el aire que se mueve (y cuyo movimiento proporciona la fuerza necesaria para mantener el helicóptero en el aire) .

Espero que eso aclare su comprensión.

aclara mi entendimiento en el caso del helicóptero. Entiendo que cuando nada se mueve, no se realiza ningún trabajo. Sin embargo: el problema del libro de texto no se enmarcó intuitivamente. Uno puede llevar el límite de la velocidad a cero, y la potencia llega a cero. (Tomar el límite también significa que uno no puede simplemente hacer un nudo para detenerlo). Mientras que, por supuesto, el motor todavía hace un trabajo [¡grande!] solo para mantener la posición del elevador. Una pregunta más práctica sería: ¿cuánta energía eléctrica se necesita (en vatios) para mover el ascensor 0,001 m/s hacia arriba? ¿Hay algún truco de ingeniería que me perdí aquí?
Si su motor está funcionando a "velocidad cero", extraerá una corriente para evitar que gire, pero la mayoría de los ascensores, etc., tendrían un freno que se activa cuando no hay movimiento, por lo que no se requiere corriente para mantener "cero". Yendo muy despacio, tendría pérdidas significativas de "sostenimiento" al igual que sostener un peso en sus manos lo cansará a pesar de que "no está trabajando". (En el sentido de la física) Por lo general, este problema se abordaría con engranajes: un motor podría impulsar el ascensor lentamente con un par relativamente pequeño y una gran relación de transmisión.
Tus unidades no funcionan... $A\rho v$ te da masa por tiempo, no fuerza (masa distancia por tiempo tiempo) Entonces hay problemas similares para tu ecuación de energía.
@Rick: tienes toda la razón, eso fue descuidado por mi parte. He corregido la ecuación (creo). ¡Gracias por mencionarlo!
Bien, tu respuesta ahora está de acuerdo con la mía en un factor de $\sqrt{2}$
@Rick - gracias de nuevo. Error tipográfico detectado y corregido. Dije al comienzo de mi respuesta "falta al menos un factor 2" ... ya que el flujo de aire real no es simplemente un cilindro que se mueve hacia abajo.
@Floris, la energía se mide en julios, no en vatios. Potencia = Vatios = Joules / Segundo
@VladK en todo momento estoy hablando de la energía necesaria por segundo. Me doy cuenta de que esto fue torpe: cuando tenga un minuto, lo arreglaré. Gracias.
@Floris, en E=12Aρv^3, ¿cómo sabemos cuál es el valor de v^3?
@Lolums Mostré una relación entre fuerza, área y velocidad. Cuando eliges dos, puedes calcular (estimar) el tercero.

ajmeteli · Answer 2

En cuanto al problema del helicóptero, en teoría, una potencia arbitrariamente baja puede ser suficiente para hacer flotar una carga, si se empuja hacia abajo una gran cantidad de aire a muy baja velocidad. Sin embargo, necesitas hojas más largas y livianas (y quizás más anchas) para eso, por lo que el problema que tendrás que resolver es el de la resistencia estructural. Permítanme señalar que recientemente se demostró un helicóptero impulsado por músculos ( http://en.wikipedia.org/wiki/Human-powered_helicopter ).

Impresionante enlace: no sabía que finalmente se había ganado el premio Sikorsky. Guau.
Tenga en cuenta la gran área barrida por las cuchillas :)

Almiar · Answer 3

Se requiere energía para empujar algo a una distancia. En el caso del ascensor, cuando no se está moviendo, se puede accionar un freno y quitar la energía y el ascensor se asentará perfectamente. Eso es porque no se necesita energía para mantener algo quieto.

Pero espera, si todo lo que quiero hacer es mantener el helicóptero inmóvil, ¿entonces no requiere energía?

Algo así como. No solo tienes que conservar energía sino también impulso. La gravedad le dará a su helicóptero un impulso descendente a un ritmo constante que debe perder para permanecer estacionario. En el caso del ascensor, el automóvil le dio el impulso al cable que le dio el impulso al edificio que se lo dio al suelo, que se lo dio al suelo que se equilibró con un montón de otras transferencias de impulso para dar como resultado que no haya red. movimienot.

En el caso del helicóptero debe trasladar este impulso al aire. En realidad, este es un proceso bastante complicado, pero se puede aproximar de la siguiente manera:

Suponga que las aspas cubren un área $A$ y ese aire pasa hacia abajo a una velocidad $v_1$ dado un aumento de presión de $\Delta p$ .

Ahora, el aire ambiente tiene la misma presión, por lo que esta diferencia de presión debe pasar a una diferencia de velocidad a través de la fórmula de Bernoulli. Así que llamemos a la presión atmosférica $p_0$ , la presión directamente sobre las palas $p_1$ y la presión debajo de las palas $p_2$

Ahora supongamos que el aire que entra desde la parte superior del helicóptero comienza con una velocidad despreciable y luego para acelerar a $v$ debe sufrir una caída de presión de

{pag}_{0} - {pag}_{1} = \frac{1}{2} ρ v^{2}

$p_0-p_1=\frac12 \rho v^2$

Y el aire que sale, en el proceso de volver a la presión atmosférica, debe cambiar de velocidad de acuerdo con la ecuación

{pag}_{2} + \frac{1}{2} ρ v^{2} = {pag}_{0} + \frac{1}{2} ρ {v_{F}}^{2}

$p_2+\frac12 \rho v^2=p_0 + \frac12 \rho {v_f}^2$

Dónde $v_f$ es la velocidad final del aire que se mueve hacia abajo.

Combinando estas ecuaciones dan:

Δ pag = \frac{1}{2} ρ {v_{F}}^{2}

$\Delta p = \frac12 \rho {v_f}^2$

Por conservación de la cantidad de movimiento sabemos que el ascensor $L$ debe ser igual a la tasa de masa multiplicada por el cambio de velocidad:

\dot{metro} = A ρ v

$\dot m = A\,\rho\,v$

Δ v = v_{F}

$\Delta v = v_f$

L = \dot{metro} Δ v = A ρ v v_{F}

$L= \dot m \Delta v = A\,\rho\,v\,v_f$

También sabemos que la elevación debe ser igual a la diferencia de presión por el área:

L = Δ PAG A

$L = \Delta P \, A$

equiparar

A ρ v v_{F} = Δ PAG A

$A\,\rho\,v\,v_f=\Delta P \, A$

ρ v v_{F} = Δ PAG

$\rho\,v\,v_f=\Delta P$

y desde antes

Δ pag = \frac{1}{2} ρ {v_{F}}^{2}

$\Delta p = \frac12 \rho {v_f}^2$

ρ v v_{F} = \frac{1}{2} ρ {v_{F}}^{2}

$\rho\,v\,v_f = \frac12 \rho {v_f}^2$

v = \frac{1}{2} v_{F}

$v = \frac12 v_f$

son los requisitos de potencia $W$ se dan como la fuerza sobre el aire por la velocidad.

W = L v

$W= L \, v$

W = L \frac{1}{2} v_{F}

$W= L\,\frac12 v_f$

W = L \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 Δ PAG}{ρ}}

$W= L\,\frac12 \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$

W = L \sqrt{\frac{Δ PAG}{2 ρ}}

$W= L\,\sqrt{\frac{\Delta P}{2\rho}}$

W = L \sqrt{\frac{L}{2 ρ A}}

$W= L\,\sqrt{\frac{L}{2\rho A}}$

W = \frac{L^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 ρ A}}

$W= \frac{L^\frac32}{\sqrt{2\rho A}}$

Tenga en cuenta que este análisis asume una eficiencia perfecta, mientras que en realidad supongo que las palas de los helicópteros tienen probablemente alrededor del 30% de eficiencia. Pero la escala al menos debería ser correcta. Los requerimientos de potencia crecerán con el peso hasta la potencia 1,5 y serán inversamente proporcionales a la longitud de las palas.

Conectando números

Dado que no incluyó un área para que un helicóptero de 50 kg propulsado por un motor de 2000 W pueda volar, necesitaría palas de un diámetro de barrido. $D$

4 A = π D^{2}

$4 A=\pi D^2$

D = \frac{L^{\frac{3}{2}}}{W} \sqrt{\frac{2}{π ρ}}

$D= \frac{L^\frac32}{W}\sqrt{\frac2{\pi\,\rho}}$

D = \frac{(gramo 50 k gramo)^{\frac{3}{2}}}{2000 W} \sqrt{\frac{2}{π 1.2 \frac{k gramo}{{metro}^{3}}}} \approx 4 metro

$D= \frac{(g \,50 kg)^\frac32}{2000W}\sqrt{\frac2{\pi\, 1.2 \frac{kg}{m^3}}}\approx 4 m$

Así que supongo que no, el modelo de helicóptero no volaría, ya que sus palas probablemente no sean tan largas.

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