Operadores tensoriales

Question

Operadores tensoriales

Física
Matemáticas
teoría de grupos
cálculo tensorial
física-matemática
representaciones de grupo

joshfísica

Motivación.

Recientemente estuve revisando la sección 3.10 en la mecánica cuántica de Sakurai en la que analiza los operadores tensoriales, y me quedé con el deseo de una discusión más matemáticamente general/precisa. Luego hojeé la página de Wikipedia sobre operadores tensoriales y me sentí igualmente insatisfecho. Este es el por qué

En estas discusiones, uno define esencialmente un conjunto indexado de operadores $T_{i_1\cdots i_k}$ ser un operador tensorial "cartesiano" de rango $k$ previsto

tu (R) T_{i_{1} \dots i_{k}} {tu}^{†} (R) = R_{i_{1}}^{j_{1}} \dots R_{i_{1}}^{j_{1}} T_{j_{1} \dots j_{k}}

$U(R)\, T_{i_1\cdots i_k}\, U^\dagger(R) = R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}\cdots R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}T_{j_1\cdots j_k}$ por cada rotacion

R \in S O (3)

$R\in\mathrm{SO}(3)$ dónde

U

$U$ es una representación unitaria de

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ actuando sobre un espacio de Hilbert (normalmente el de algún sistema físico cuyo comportamiento bajo rotaciones nos interesa estudiar). De manera similar, se define un operador tensorial "esférico" de rango

n

$n$ como un conjunto indexado de operadores

T_{q}^{(n)}

$T^{(n)}_{q}$ con

- n < q, q^{'} < n

$-n<q,q'<n$ para cual

tu (R) T_{q}^{(norte)} {tu}^{†} (R) = \sum_{q^{'} = - norte}^{norte} D_{q^{'} q}^{(norte)} (R) T_{q^{'}}^{(norte)}

$U(R)\,T_q^{(n)}\,U^\dagger(R) = \sum_{q'=-n}^n D_{q'q}^{(n)}(R)T_{q'}^{(n)}$ dónde

D^{(n)}

$D^{(n)}$ es la representación irreducible de

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ de dimensión

n

$n$ .

Con base en estas definiciones estándar, creo que uno podría definir algo menos "dependiente de las coordenadas" y extendido a las representaciones de cualquier grupo, no solo $\mathrm{SO}(3)$ , como sigue.

Definición de candidato . Deja que un grupo $G$ ser dado. Dejar $U$ ser una representación unitaria de $G$ en un espacio de Hilbert $\mathcal H$ , y deja $\rho$ ser una representación de $G$ en un espacio vectorial de dimensión finita, real o complejo $V$ . A $k$ -función multilineal, lineal con valores de operador $T:V^k\to \mathrm{Lin}(\mathcal H)$ se llama operador tensorial relativo al par de representaciones $U$ y $\rho$ previsto
$\begin{aligned} tu (gramo) T (v_{1}, \dots, v_{k}) tu (gramo)^{†} = T (ρ (gramo) v_{1}, \dots, ρ (gramo) v_{k}) \end{aligned}$ $\begin{align} U(g) T(v_1, \dots, v_k) U(g)^\dagger = T(\rho(g)v_1, \dots, \rho(g)v_k) \end{align}$ para todos $g\in G$ y para todos $v_1, \dots, v_k\in V$ .

Note que si una base $u_1, \dots, u_N$ por $V$ está dado, y si definimos los componentes $T_{i_1,\dots i_k}$ de $T$ en esta base por

\begin{aligned} T_{i_{1} \dots i_{k}} = T ({tu}_{i_{1}}, \dots, {tu}_{i_{k}}) \end{aligned}

$\begin{align} T_{i_1 \dots i_k} = T(u_{i_1}, \dots, u_{i_k}) \end{align}$ y si

ρ (g)_{i}^{j}

$\rho(g)_i^{\phantom ij}$ denota la representación matricial de

ρ (g)

$\rho(g)$ sobre esta base, entonces, al usar la multilinealidad, la propiedad definitoria de un operador tensorial se puede escribir de la siguiente manera

\begin{aligned} tu (gramo) T_{i_{1} \dots i_{k}} {tu}^{†} (gramo) = ρ (gramo)_{i_{1}}^{j_{1}} \dots ρ (gramo)_{i_{k}}^{j_{k}} T_{j_{1} \dots j_{k}} \end{aligned}

$\begin{align} U(g) T_{i_1\cdots i_k} U^\dagger(g) = \rho(g)_{i_1}^{\phantom {i_1}j_1}\cdots \rho(g)_{i_k}^{\phantom {i_k}j_k} T_{j_1\cdots j_k} \end{align}$ Entonces, esta definición reproduce inmediatamente la definición del tensor cartesiano anterior si tomamos,

V = R^{3}

$V =\mathbb R^3$ ,

G = S O (3)

$G=\mathrm{SO}(3)$ , y

ρ (R) = R

$\rho(R) = R$ , y de manera similar para la definición del tensor esférico si tomamos

V = C^{2 n + 1}

$V=\mathbb C^{2n+1}$ ,

G = S O (3)

$G=\mathrm{SO}(3)$ ,

ρ = D^{(n)}

$\rho = D^{(n)}$ y

k = 1

$k=1$ .

Pregunta.

¿Es el tipo de objeto que acabo de definir la formalización/generalización "adecuada" de la noción de operadores tensoriales utilizados en física? parece contener la noción de operador tensorial utilizada en la literatura de física? ¿Hay alguna literatura sobre el tipo de objeto que defino aquí? Creo que la respuesta sería sí, ya que este tipo de cosas me parecen una generalización natural que un físico con mentalidad matemática podría querer estudiar.

Trimok

Para

S U (N)

$SU(N)$ , existe un vínculo directo con las representaciones fundamentales y los tensores antisimétricos. Ídem para

S O (N)

$SO(N)$ , (sin considerar las representaciones espinoriales). (Nótese que existe dualidad entre estas representaciones gracias al símbolo Levi-Civita) Por

S P (N)

$SP(N)$ , existe un vínculo directo con las representaciones fundamentales y los tensores simétricos. Por supuesto, extendiéndose a todas las representaciones, puede obtener correspondencia con otros tensores. Por ejemplo, la representación adjunta representa un tensor mixto

T_{j}^{i}

$T^i_j$ . Para SU(N), representación

(20....)

$(20....)$ representa un tensor simétrico sin trazas.

joshfísica

@Trimok Gracias por el comentario, pero esto no pretende ser una pregunta sobre representaciones tensoriales de grupos, sino más bien una pregunta sobre la noción de un "operador tensorial" en un espacio de Hilbert, su formalización y la existencia de literatura matemática existente en tales cosas.

Pedro Kravchuk

Solo quiero señalar que su definición es un poco demasiado alta, puede ser. En el sentido de que lo que realmente haces es: eliges una representación

ρ

$\rho$ , luego lo 'tensor' a la representación

τ

$\tau$ actuando sobre tensores, y luego definir un objeto que está asociado a

τ

$\tau$ más bien que

ρ

$\rho$ . También podrías empezar con

τ

$\tau$ . Me parece que también es útil pensar en 'operadores de valor de objeto lineal', los elementos de

H o m (H, L \otimes H) = L \otimes H o m (H, H)

$\mathrm{Hom}(\mathcal{H},L\otimes\mathcal{H})=L\otimes\mathrm{Hom}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ , dónde

L

$L$ es un espacio vectorial sobre el que actúa alguna representación

τ

$\tau$ .

Trimok

Segunda oportunidad.... Pero no lo es

ρ (g)

$\rho(g)$ siempre (si existe) la representación fundamental (vectorial) del grupo

G

$G$ ?. No entiendo tu propuesta con otra representación, aunque probablemente me perdí algún punto....

joshfísica

@Trimok ¿Estaría de acuerdo en que podemos definir un operador de tensor de la forma en que lo hice? Si es así, entonces es simplemente una generalización en la que

ρ

$\rho$ no se limita a ser cualquier representación de

G

$G$ . De hecho, ese es el punto de la definición que estoy tratando de hacer aquí. Creo que esta generalización es importante, porque en QFT, por ejemplo, podríamos estar inclinados a considerar objetos cuyos índices se transforman en representaciones distintas a una representación vectorial.

Respuestas (7)

Operadores tensoriales

Para $SU(N)$ , existe un vínculo directo con las representaciones fundamentales y los tensores antisimétricos. Ídem para $SO(N)$ , (sin considerar las representaciones espinoriales). (Nótese que existe dualidad entre estas representaciones gracias al símbolo Levi-Civita) Por $SP(N)$ , existe un vínculo directo con las representaciones fundamentales y los tensores simétricos. Por supuesto, extendiéndose a todas las representaciones, puede obtener correspondencia con otros tensores. Por ejemplo, la representación adjunta representa un tensor mixto $T^i_j$ . Para SU(N), representación $(20....)$ representa un tensor simétrico sin trazas.
@Trimok Gracias por el comentario, pero esto no pretende ser una pregunta sobre representaciones tensoriales de grupos, sino más bien una pregunta sobre la noción de un "operador tensorial" en un espacio de Hilbert, su formalización y la existencia de literatura matemática existente en tales cosas.
Solo quiero señalar que su definición es un poco demasiado alta, puede ser. En el sentido de que lo que realmente haces es: eliges una representación $\rho$ , luego lo 'tensor' a la representación $\tau$ actuando sobre tensores, y luego definir un objeto que está asociado a $\tau$ más bien que $\rho$ . También podrías empezar con $\tau$ . Me parece que también es útil pensar en 'operadores de valor de objeto lineal', los elementos de $\mathrm{Hom}(\mathcal{H},L\otimes\mathcal{H})=L\otimes\mathrm{Hom}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ , dónde $L$ es un espacio vectorial sobre el que actúa alguna representación $\tau$ .
Segunda oportunidad.... Pero no lo es $\rho(g)$ siempre (si existe) la representación fundamental (vectorial) del grupo $G$ ?. No entiendo tu propuesta con otra representación, aunque probablemente me perdí algún punto....
@Trimok ¿Estaría de acuerdo en que podemos definir un operador de tensor de la forma en que lo hice? Si es así, entonces es simplemente una generalización en la que $\rho$ no se limita a ser cualquier representación de $G$ . De hecho, ese es el punto de la definición que estoy tratando de hacer aquí. Creo que esta generalización es importante, porque en QFT, por ejemplo, podríamos estar inclinados a considerar objetos cuyos índices se transforman en representaciones distintas a una representación vectorial.

qmecanico · Answer 1

La definición candidata de OP es una transcripción directa de la noción de operador tensorial utilizada en física (y, por ejemplo, en la sección 3.10 de Sakurai) en una construcción matemática manifiestamente independiente de las coordenadas. Los operadores tensoriales se utilizan, por ejemplo, en el teorema de Wigner-Eckart .

En esta respuesta, sugerimos la siguiente generalización leve de la definición de candidato de OP. Que se den los cinco elementos siguientes:

Dejar $G$ ser un grupo
Dejar $H$ sea un espacio de Hilbert complejo.
Dejar $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ ser una representación del grupo .
Dejar $R:G \to B(H)$ ser una representación del grupo.
Dejar $T:V\to L(H;H)$ Sea un mapa lineal.

Definición. llamemos $T$ para $G$ - mapa equivalente si
$\begin{matrix} (*) & \begin{aligned} \forall gramo \in GRAMO, v \in V : \\ T (ρ (gramo) v) = & A d (R (gramo)) T (v) \\ := & R (gramo) \circ T (v) \circ R (gramo)^{- 1} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \forall g\in G, v\in V: &\cr T(\rho(g)v)~=~& {\rm Ad}(R(g))T(v)\cr~:=~&R(g)\circ T(v)\circ R(g)^{-1}. \end{align}\tag{*}$

La definición candidata de OP puede verse como un caso especial de definición (*). Por ejemplo, si $\rho_0: G \to GL(V_0,\mathbb{F})$ es una representación de grupo, entonces uno puede dejar $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ en el punto 3 sea la representación del producto tensorial $\rho=\rho_0^{\otimes m}$ con espacio vectorial

V = V_{0}^{\otimes metro} = \underset{metro factores}{\underset{⏟}{V_{0} \otimes \dots \otimes V_{0}}} .

$V~=~V_0^{\otimes m}~=~\underbrace{V_0\otimes \ldots \otimes V_0}_{m \text{ factors}}.$

tensorman · Answer 2

La definición sugerida por joshphysics y aclarada por Qmechanic ya existe en la literatura bajo el nombre de operador de representación . Esto se analiza, por ejemplo, en Teoría y física de grupos de Sternberg , así como en el texto algo más elemental Una introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos de Jeevanjee.

Un poco de OT: ¿crees que vale la pena aprender sobre tensores del libro clásico de Tullio Levi-Civita? ¿Qué libro recomendarías para principiantes?
@Larry: Los primeros capítulos de Jeevanjee son una introducción suave a los tensores para aquellos con experiencia en física (nivel BS). Para una introducción más general pero aún muy accesible y pedagógica a los tensores, vea A brief on tensor analysis de Simmonds .

Frederic Brunner · Answer 3

En el primer capítulo de Lie Groups for Pedestrians de Lipkin, se proporciona un método de generalización de operadores tensoriales irreducibles (y otras características del álgebra de momento angular de la mecánica cuántica).

La afirmación es que mientras uno pueda encontrar un número finito de operadores $X_\rho$ satisfaciendo relaciones de conmutación análogas a las de los operadores de momento angular en la mecánica cuántica, es decir

[X_{ρ}, X_{σ}] = C_{ρ σ}^{τ} X_{τ},

$[X_\rho,\;X_\sigma]=C^\tau_{\rho\sigma}X_\tau,$

siempre es posible encontrar operadores tensoriales irreducibles. Uno puede entonces, en analogía con $J_z$ , elija uno (o varios) operadores para que sean diagonales en la representación deseada. Además, se puede extraer la analogía de los operadores de escalera $J_x\pm iJ_y$ .

Para el momento angular ( $SO(3)$ ), los operadores tensoriales irreducibles se dan en términos de la relación

[j_{z}, T_{k q}] = q T_{k q},

$[J_z,T_{kq}]=qT_{kq},$

dónde $q$ es el número de componentes y $k$ es el rango del tensor. Existen $2k+1$ valores para $q$ , que va desde $-k$ a $k$ .

Se pueden construir operadores de tensor análogos a partir de cualquier álgebra de la forma anterior. Tenga en cuenta que el objeto crucial es el álgebra de Lie, no el grupo de Lie, que se puede formular como el grupo de transformaciones continuas dado por

ψ^{'} = (1 + i ϵ X_{ρ}) ψ .

$\psi^\prime=(1+i\epsilon X_\rho)\psi.$

Esta no es una respuesta rigurosa ya que no he resuelto la prueba yo mismo. Solo puedo recomendarte que leas el libro.

Frederic gracias por la respuesta, pero esto todavía no es realmente lo que estoy buscando. Soy consciente de que el tratamiento estándar de los operadores tensoriales se puede expresar en términos del álgebra de Lie, pero el procedimiento que ha descrito no aborda el hecho de que espero encontrar algo menos "dependiente de las coordenadas" que caracterice el número finito de operadores de los que habla como un solo objeto de la misma manera que los componentes de tensor en álgebra pueden considerarse como componentes de mapas multilineales.

David Bar Moshé · Answer 4

La generalización de los "armónicos de tensores esféricos" de la mecánica cuántica a un caso general de un grupo de Lie compacto se da de la siguiente manera: Sea $G$ ser un grupo de Lie compacto y $H$ Sea un subgrupo cerrado, entonces, el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en $G/H$ (que pueden tomarse como las funciones propias del Killing Laplacian) es una suma directa de $G$ -representaciones llamadas "representaciones esféricas". Estas representaciones se caracterizan por tener un $H$ camiseta. Véase, por ejemplo, el apéndice B de ANÁLISIS DE ARMÓNICOS Y PROPAGADORES EN ESPACIOS HOMOGÉNEOS de Camporesi. Esta definición generaliza (y recibió su nombre) los armónicos esféricos de la mecánica cuántica. En este caso $G=SU(2)$ , $H=U(1)$ y $G/H = SU(2)/U(1)$ . La condición de esfericidad implica que los armónicos esféricos solo pueden ser representaciones que contengan un $U(1)$ singlete, por lo tanto debe ser de espín entero.

xuan-ji · Answer 5

Si quieres un punto de vista más geométrico, este enlace es un buen comienzo. Es el primer capítulo de Applications of Classical Physics de Blandford y Thorne. La ventaja de la formulación es que las leyes de transformación de los tensores se pueden derivar naturalmente de las leyes de transformación de los vectores. Luego, si desea que sus tensores se transformen de cierta manera, simplemente modifique las leyes de transformación de sus vectores.

He aquí un resumen muy rápido (para tensores cartesianos, es decir, nuestros vectores viven en el espacio euclidiano): un rango- $k$ tensor se define como una función de $k$ vectores a un número real, por ejemplo, un tensor de rango dos podría escribirse como

T = T (_,_)

$T = T(\_,\_)$

tenga en cuenta que un vector puede considerarse como un tensor de rango 1, $v(w) = v \cdot w$ , y por lo tanto, un tensor de rango dos también puede considerarse como una función de vectores a vectores, lo que probablemente sea relevante para la aplicación específica de tensores en Sakurai. El producto tensorial se define como el producto de las funciones

S (_,_) \otimes T (_,_,_) = S (_,_) T (_,_,_)

$S(\_,\_) \otimes T(\_,\_,\_) = S(\_,\_)T(\_,\_,\_)$

Una vez que elija una base, puede escribir los componentes del tensor

T = T_{i j k} {mi}_{i} {mi}_{j} {mi}_{k}

$T = T_{ijk} e_i e_j e_k$

dónde $i,j,k$ se suman implícitamente. De esto se puede derivar cómo la fórmula habitual para cómo los componentes $T_{ijk}$ transformar bajo rotación. Como ejemplo, supongamos $T$ es de rango 2 y lo tratamos como una función de vectores a vectores; entonces podemos ver el $T_ijk$ como componentes de una matriz de 3 por 3. Si $T$ lleva un vector $v$ a $Tv$ , después $T'$ debe llevar $Rv$ a $R(Tv)$ , asi que $T' = RTR^{-1}$ .

Esto se generaliza directamente de la rotación al grupo de Lorentz y también se puede generalizar a difeomorfismos arbitrarios.
Simplemente ha descrito la formulación estándar de tensores como mapas multilineales que se utilizan tanto en geometría diferencial como en álgebra; Soy muy consciente de esas cosas. Tenga en cuenta, de hecho, que mi definición candidata anterior está escrita precisamente en términos de mapas multilineales, que es lo que está describiendo aquí. La noción que quiero definir aquí, sin embargo, es un poco menos sencilla que eso, me temo.
En tu pregunta me di cuenta de que $U$ y $\rho$ están obligados a ser ambos representaciones del mismo grupo subyacente, pero en la formulación estándar, la ley de transformación de los vectores (el $\rho$ ) determina completamente la ley de transformación de los tensores (la $U$ ), así que me preguntaba si había alguna inconsistencia. Desafortunadamente, no estoy lo suficientemente familiarizado con las representaciones grupales para estar seguro.
@zodiac Tenga en cuenta que $U$ es una representacion del grupo $G$ en un espacio de Hilbert; potencialmente puede ser una bestia muy diferente a $\rho$ que es una representación de $G$ en un espacio vectorial de dimensión finita. En particular, no necesita ser generado por la representación $\rho$ en la forma que usted describe.

ZeroTheHero · Answer 6

Un operador tensorial es una colección de operadores que se transforman irreductiblemente bajo la conjugación por elementos de grupo, es decir, que satisfacen precisamente la segunda condición del OP. Los elementos individuales del conjunto son los componentes de los tensores.

La irreductibilidad no es esencial sino un requisito obvio adicional cuando se trata de grupos para los cuales las representaciones son siempre totalmente reducibles.

Esto se puede generalizar a cualquier grupo; el grupo ni siquiera necesita ser continuo. Todo lo que necesitas es una acción de grupo sobre el conjunto de componentes del operador tensorial.

Esteban Blake · Answer 7

No creo que la definición candidata sea sólida porque la notación $T(v_{1},\ldots ,v_{k})$ implica, por analogía con la notación de los matemáticos para tensores, que $T(v_{1},\ldots ,v_{k})$ es un operador que transforma trivialmente; pero claramente no se transforma trivialmente como muestra el RHS de la definición candidata. Sin embargo, hay un tensor que se transforma trivialmente bajo el grupo G. Para simplificar, considere el caso $k=1$ y además supongamos que los operadores tensoriales $T_{i}$ son hermitianos. Hasta ahora, los índices de los operadores hermitianos $T_{i}$ han sido suprimidos en la pregunta y respuesta; poniendo en los índices, estamos tratando con tensores ordinarios,

T_{i B}^{\bar{A}} .

$T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}} \ .$ Supongamos que estos tensores se transforman trivialmente bajo el grupo G. En otras palabras,

[D ({gramo}^{- T})]_{i}^{k} [D ({gramo}^{- †})]_{\bar{C}}^{\bar{A}} [D ({gramo}^{- T})]_{B}^{D} T_{k D}^{\bar{C}} = T_{i B}^{\bar{A}}

$[D(g^{-T})]_{i}^{\ \ k}[D(g^{-\dagger})]^{\bar{A}}_{\ \ \bar{C}}[D(g^{-T})]_{B}^{\ \ D} T_{k\ \ D}^{\ \bar{C}}=T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}}$ Multiplica ambos lados por

[D (g)]_{l}^{i}

$[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ .

[D ({gramo}^{- †})]_{\bar{C}}^{\bar{A}} [D ({gramo}^{- T})]_{B}^{D} T_{yo D}^{\bar{C}} = T_{i B}^{\bar{A}} [D (gramo)]_{yo}^{i}

$[D(g^{-\dagger})]^{\bar{A}}_{\ \ \bar{C}}[D(g^{-T})]_{B}^{\ \ D} T_{l\ \ D}^{\ \bar{C}}=T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}}[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ Suprimiendo los índices de los operadores hermitianos se recupera la definición estándar de un conjunto de operadores tensoriales

T_{i}

$T_{i}$ ,

D ({gramo}^{- †}) T_{yo} D ({gramo}^{- 1}) = T_{i} [D (gramo)]_{yo}^{i}

$D(g^{-\dagger})T_{l}D(g^{-1})=T_{i}[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ En otras palabras, el tensor ordinario,

T_{i B}^{\bar{A}} .

$T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}} \ .$ se transforma trivialmente bajo el grupo y una definición menos dependiente de las coordenadas necesita proceder del hecho de que este tensor se transforma trivialmente.

Una advertencia menor adicional es que las matrices de grupo $[D(g)]^{A}_{\ \ B}$ no son necesariamente unitarios; si los índices $A,B$ son índices de espinor de Lorentz, las matrices de grupo son la representación definitoria de SL(2,C); estos son solo unitarios si la transformación de Lorentz es una rotación espacial.

Gracias por la respuesta, pero creo que puede haber entendido mal la notación. Los "índices de los tensores" se generan, en mi notación, como en el caso de las matemáticas, evaluando el mapa multilineal $T$ en un $k$ -tupla de elementos base del espacio vectorial $V$ . Así, para un operador tensorial de rango $k$ , esto produce algo como $T_{i_1\cdots i_k}$ como se indica debajo de la definición; no debe haber índices adicionales. La intención no es para cada uno. $T_{i_1\cdots i_k}$ para ser un operador de tensor, es la "colección" de estos que es el operador de tensor.
Supongamos que usamos $SU(n)$ y queremos obtener el producto tensorial de $2$ representaciones adjuntas. Representación adjunta significa, para los objetos sobre los que actúa la transformación: $ϕ_{j}^{i} \to {tu}_{k}^{i} ({tu}^{†})_{j}^{yo} ϕ_{yo}^{k}$ $\phi^i_j \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~\phi^k_l$ Entonces, al tensorizar esto, obtenemos: $ϕ_{j}^{i} ϕ_{j^{'}}^{' i^{'}} \to {tu}_{k}^{i} ({tu}^{†})_{j}^{yo} {tu}_{k^{'}}^{i^{'}} ({tu}^{†})_{j^{'}}^{{yo}^{'}} ϕ_{yo}^{k} ϕ_{{yo}^{'}}^{k^{'}}$ $\phi^i_j \phi'^{i'}_{j'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\phi^k_l ~\phi^{k'}_{l'}$ Pero, de hecho, es obviamente la misma transformación que para el objeto. $\Phi^{i i'}_{jj'}$ : $Φ_{j j^{'}}^{i i^{'}} \to {tu}_{k}^{i} ({tu}^{†})_{j}^{yo} {tu}_{k^{'}}^{i^{'}} ({tu}^{†})_{j^{'}}^{{yo}^{'}} Φ_{yo {yo}^{'}}^{k k^{'}}$ $\Phi^{i i'}_{jj'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\Phi^{k k'}_{ll'}$
(continuación.->...) Y es la misma transformación que para la representación tensorial: $ϕ^{i} ϕ^{i^{'}} ϕ_{j} ϕ_{j^{'}} \to {tu}_{k}^{i} ({tu}^{†})_{j}^{yo} {tu}_{k^{'}}^{i^{'}} ({tu}^{†})_{j^{'}}^{{yo}^{'}} ϕ^{k} ϕ^{k^{'}} ϕ_{yo} ϕ_{{yo}^{'}}$ $\phi^i \phi^{i'} \phi_j \phi_{j'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\phi^k \phi^{k'} \phi_l \phi_{l'}$ Entonces, finalmente, si bien comenzamos con un producto tensorial de 2 representaciones adjuntas, es la misma ley que el producto tensorial de 2 representaciones fundamentales y 2 antifundamentales (vectoriales).

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