Modelos de tipo superior Chern-Simons

Hemos pensado un poco sobre el último párrafo de la pregunta anterior y tenemos algunos argumentos sobre cuál debería ser la respuesta. Dado que hasta ahora no ha habido respuestas aquí, tal vez se me permita sugerir una respuesta por este medio.

Recuerde, la última parte de la pregunta anterior era: ¿existe una teoría Chern-Simons de 7 dimensiones no abeliana relacionada holográficamente con la teoría no abeliana de Chern-Simons?$(2,0)$-teoría sobre M5-branas coincidentes, y si es así, ¿involucra al Lagrangiano que controla las estructuras diferenciales de 5-branas ?

El siguiente es un argumento para la respuesta: Sí.

Primero, en la correspondencia AdS/CFT de Witten y TFT ( hep-th/9812012 ) un análisis cuidadoso de$AdS_5 /CFT_4$-la dualidad muestra que los espacios de bloques conformes de la 4d CFT deben identificarse con los espacios de estados de (solo) los lagrangianos de tipo Chern-Simons dentro de la acción completa de tipo II. Al final del artículo se sugiere que, de manera similar, los bloques conformes del 6d$(2,0)$-CFT están dados por los espacios de estados de (solo) la parte de Chern-Simons dentro de la supergravedad 11d/teoría M. Pero solo existe el abelian sugra efectivo Lagrangiano

se considera brevemente.

Así que tenemos que echar un vistazo más de cerca a esto: observe que hay dos correcciones cuánticas al término 11d sugra Chern-Simons.

Primero, el análogo de 11 dimensiones de la cancelación de la anomalía de Green-Schwarz cambia el término anterior de Chern-Simons a (de (3.14) en hep-th/9506126 e ignorando los prefactores aquí por simplicidad de notación)

por$I_8 = \frac{1}{48}(p_2 - (\frac{1}{2}p_1)^2)$, donde ahora el segundo término es la correspondiente forma 7 de Chern-Simons evaluada en la conexión de espín (todo localmente).

Entonces, teniendo en cuenta la cancelación de anomalías cuánticas, el argumento de hep-th/9812012 anterior parece predecir una teoría 7d Chern-Simons no abeliana que calcula los bloques conformes de la teoría 6d (2,0), es decir, una cuyas configuraciones de campo involucran tanto el campo C superior abeliano como el campo de conexión de espín no abeliano.

Pero hay una segunda corrección cuántica que refina aún más esta declaración: por On Flux Quantization In M-Theory And The Effective Action de Witten ( hep-th/9609122 ) la integral subyacente de 4 clases$[G_4]$del$C$-el campo en el volumen 11d está restringido para satisfacer

donde a la derecha el primer término es la primera clase fraccional de Pontryagin en$B Spin$y donde$a$es la clase 4 universal de un$E_8$-haz, el que en la compactación de Horava-Witten da el$E_8$-campo de calibre en el límite del bulto 11d. En ese contexto, la condición límite para el campo C es$[G_4]_{bdr} = 0$, reduciendo la condición anterior a la condición de cancelación 10d Green-Schwarz.

Si esta condición de frontera en el$C$-el campo también es relevante para la asintótica$AdS_7$-límite, entonces esto significa que lo que localmente parece una conexión Spin arriba es realmente una conexión String-2 diferencial torcida con$2a$siendo el giro. Como se discutió en detalle allí, tales conexiones String-2 diferenciales retorcidas involucran un campo adicional$H_3$tal que$d H_3 = tr(F_\omega \wedge F_\omega) - tr(F_{A_{E_8}} \wedge F_{A_{E_8}}))$. Reemplazar esta condición en la acción de Chern-Simons de 7 dimensiones anterior se suma a la abeliana$C_3$-campo un término de Chern-Simons para el nuevo$H_3$-campo, además de un montón de términos de corrección no abelianos.

En total, este argumento produce una cierta teoría no abeliana de Chern-Simons 7d cuyos campos son conexiones String-2 retorcidas y cuyos estados producirían los bloques conformes de una CFT 6d. Observe que por math/0504123 hay un indicador en el que$String$Las conexiones -2 están dadas por formas 2 no abelianas valoradas en grupos de bucles (pero hay otras medidas en las que esto no se manifiesta). Esto es consistente con las expectativas de la "teoría del gerbe no abeliano" en 6d.

Ese es el argumento de la física, una descripción más detallada está en la sección 4.5.4.3.1 de mis notas .

Ahora el punto es este: en la siguiente sección, 4.5.4.3.2, se muestra que, independientemente de todo este movimiento manual de la física, existe naturalmente un Lagrangiano de Chern-Simons superior de 7 dimensiones completamente preciso definido en los módulos completos 2 -pila de conexiones String-2 diferenciales torcidas inducidas a través de la teoría superior de Chern-Weil de la segunda clase fraccional de Pontryagin. Como se discutió allí, en datos de forma diferencial local, esto reproduce precisamente el funcional no abeliano 7d Chern-Simons del argumento anterior.

Estamos en el proceso de escribir esto como

Fiorenza, Sati, Schreiber, Nonabelian 7d Teoría de Chern-Simons y la 5-brana . Los comentarios son bienvenidos.