libro mecanica clasica sin coordenadas

1.

Estoy enamorado de la geometría diferencial y los grupos de mentiras para físicos de Fecko . A pesar de que no se trata solo de mecánica (sino más o menos de toda la física teórica moderna rudimentaria), analiza tanto el formalismo lagrangiano como el hamiltoniano. También proporciona innumerables ejercicios (con buenos consejos) para que realmente puedas tener una idea del asunto.

2.

No puedo pensar en ningún inconveniente importante. Por supuesto, si el problema no tiene simetría, a veces no tienes otra opción que volver a algunas coordenadas y resolverlo numéricamente. Pero esto probablemente no sea un problema para usted porque supongo que primero quiere comprender los problemas físicos con alguna estructura.

3.

Hay innumerables beneficios. Para enumerar sólo algunos de ellos.

1. La relación con las simetrías y las cantidades conservadas se vuelve obvia. El teorema de Noether en el formalismo hamiltoniano es una declaración tan asombrosamente simple (el hamiltoniano es constante para el flujo de simetría si solo si el generador de la simetría es constante para el flujo hamiltoniano) que uno tiene que preguntarse a dónde fueron todos los cálculos de coordenadas prolijos.

2. Los cálculos no solo son breves, sino que también se obtienen valiosos conocimientos geométricos, por ejemplo, sobre el flujo de la configuración en la variedad.

3. Es un hermoso formalismo.

4. No sé los demás pero siempre que tengo que calcular en coordenadas me pongo nervioso. Puedo calcular los resultados, pero después de algunas páginas, cuando la mayoría de las cantidades se cancelan misteriosamente, realmente no sabes por qué lo que dedujiste es cierto. Entonces regresas a la geometría y he aquí que la derivación es solo unas pocas líneas y obvia. Por supuesto que estoy exagerando ahora, pero así es como me siento.

5. Es la base de toda la física moderna. Si los cuatro puntos anteriores eran ciertos en la mecánica clásica, lo son aún más cuando se trata de cosas como las teorías de calibre (y ahí es donde surge toda la belleza y el poder de las matemáticas).

Un libro clásico en este sentido es

Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica . VI Arnoldo. Textos de Posgrado en Matemáticas vol. 60, Springer, Nueva York, 2000. Disponible, por ejemplo, aquí .

Este libro es matemáticamente muy formal y muy claro; Me encantó cuando tomé mecánica analítica porque evita las manchas de rigor de los físicos y presenta una estructura clara y coherente. No comienza con un Gran Principio heredado (como en el caso de que estas son las ecuaciones de Hamilton en forma simpléctica y veamos cómo se puede construir una mecánica experimental a partir de ellas), pero formula la teoría básica muy limpiamente, y desde allí se mueve más arriba en la abstracción.

La historia no es muy larga. Una variedad simpléctica es una variedad$X$con una biforma cerrada no degenerada,$\omega$. Dado esto, de una función$h$("Hamiltoniano") podemos construir un campo vectorial$v$por$\omega(v,-) = dh$.

fluir por$v$define las trayectorias clásicas. (Tenga en cuenta que no hemos utilizado una métrica en$X$, es decir$v$NO es el gradiente de$h$.) En realidad,$h$permanece constante (conservada) en el flujo, ya que$v(h) = \omega(v,v) = 0.$También tenga en cuenta${\mathcal L}_v \omega = 0$, sentido$\omega$se conserva en el flujo, en particular, también lo es la fase de Liouville$\omega^{\wedge n}$.

Para un ejemplo, tome$X$ser el espacio cotangente$T^*({\mathbb R}^n)$con coordenadas$x$(posición) y$y$(impulso), con$\omega = {\rm d}x \wedge {\rm d}y$. Tomar$h = y^2/2 + V(x)$, es decir, KE + PE. Después$v = y {\partial \over \partial x} - V' {\partial \over \partial y}$, por lo que las ecuaciones de flujo son$\dot{x} = y$,$\dot{y} = -V'$, o$\ddot{x} = -V'$, ley de Newton.

Para responder 3: realmente depende de por qué quieres aprender este material. Para mí, la vista moderna es importante porque es muy elegante y generalizable (puedes "hacer" mecánica clásica en cualquier variedad de Poisson). También conduce a matemáticas muy interesantes. Por ejemplo, la evolución de un observable está dada por$f' = \{H,f\}$dónde$H$es la función hamiltoniana y$\{,\}$es el corchete de Poisson. En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, un observable (representado por un operador$A$) evoluciona según$A' = [H,A]$dónde$H$es el hamiltoniano mecánico cuántico y$[,]$es el corchete de mentira (conmutador). Esta semejanza ha llevado a cosas como la teoría de la deformación y la cuantización.

Recomiendo un libro reciente de Leon Takhtajan, "Mecánica cuántica para matemáticos". Comienza con una introducción a la mecánica clásica dirigida a matemáticos y explica el enfoque sin coordenadas, entre otras cosas.

Creo que el álgebra geométrica se adapta a Classical Mech sin Coords, y más.
Hay muchos recursos gratuitos en la red.

El enfoque es fácil de calcular.

del libro de Hestenes New Foundations for Classical Mechanics
citando:

...introducción al álgebra geométrica como un lenguaje unificado para la física y las matemáticas... introduce nuevos métodos sin coordenadas para la dinámica rotacional y la mecánica orbital, desarrollando estos temas a un nivel mucho más allá del de otros libros de texto. Estos métodos se han aplicado ampliamente en los últimos años a la biomecánica y la robótica, a la visión artificial y al diseño geométrico, a la mecánica orbital en programas espaciales gubernamentales e industriales, así como a otras ramas de la física. El libro los aplica a las principales perturbaciones en el sistema solar,...

o Álgebra geométrica y su aplicación a la física matemática por Chris JL Doran (Chris Thesis) descarga gratuita
...
o Oersted Medal Lecture 2002: Reformando el lenguaje matemático de la física (GA) descarga gratuita

... Esto ha producido un lenguaje completo llamado Álgebra geométrica , que presento con énfasis en cómo simplifica e integra la física clásica y la cuántica.
... Después de explicar la absoluta simplicidad de la gramática GA ... características únicas del lenguaje matemático: (1) GA integra a la perfección las propiedades de los vectores y los números complejos para permitir un tratamiento completamente libre de coordenadas de la física 2D.
(2) GA se articula a la perfección con el álgebra vectorial estándar para permitir un fácil contacto con la literatura estándar y los métodos matemáticos.
(3) GA Reduce "grad, div, curl y todo eso" a un solo vector derivadoque, entre otras cosas, combina el conjunto estándar de cuatro ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación y proporciona nuevos métodos para resolverlo.
(4) La formulación GA de los espinores facilita el tratamiento de las rotaciones y la dinámica rotacional tanto en la mecánica clásica como en la cuántica sin coordenadas ni matrices .
(5) GA proporciona nuevos conocimientos sobre la estructura geométrica de la mecánica cuántica con implicaciones para su interpretación física.
Todo esto se generaliza sin problemas a un lenguaje completamente libre de coordenadas para la física del espacio-tiempo y la relatividad general que se presentará en artículos posteriores.

El libro Marsden y Ratiu, Introducción a la mecánica y la simetría presenta la mecánica clásica desde el punto de vista de la geometría diferencial moderna.

Aunque no es para principiantes, es único porque presenta un punto de vista en el que todos los sistemas conservadores clásicos (incluidos los de la teoría de campos) se presentan en un marco hamiltoniano.

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• WM Oliva. Mecánica geométrica (Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1798. Springer, Berlín, 2002).

• J. José y EJ Saletan. Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo (Cambridge University Press, Cambridge, 1998). Esto toma un enfoque basado en paquetes tangentes.