Voy a empezar a estudiar por mi cuenta la relatividad general de Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity de Sean Caroll. Me gustaría tener un libro de texto sobre Geometría Diferencial/Cálculo en Manifolds para mí en el lado.
Me gusta el rigor matemático y me gustaría un libro de texto que se centre en este aspecto. Habiendo dicho eso, idealmente estoy buscando un libro de texto que no me mantenga muy involucrado con él; más bien un libro de texto que con suerte podría hacer malabarismos con el libro de texto sobre GR también.
Miré, por ejemplo, el libro de texto de Lee, pero parecía demasiado avanzado. He realizado cursos de Cálculo de una y varias variables, Álgebra lineal, Análisis I y II y Topología, pero no estoy seguro de qué libro sería el más útil para mí dado que tengo la habilidad de ver todos los resultados de manera formal.
Nota: Soy un estudiante de física con una inclinación matemática.
¿No da recomendaciones el libro de Sean Carroll? Tiene una extensa bibliografía, y recomienda Schutz entre otros. El Prefacio explica qué requisitos previos son útiles y que "construir un marco matemático es el objetivo" de los primeros capítulos (2 curvatura, 3 variedades). Contiene 8 apéndices matemáticos. Por lo tanto, es poco probable que necesite algún libro de referencia.
Ojalá alguien me hubiera recomendado Manifolds, Tensors, and Forms de Paul Renteln. Una introducción para matemáticos y físicos . A diferencia de muchos libros de texto de geometría diferencial inclinados a las matemáticas, funciona con una métrica indefinida en todo momento.
Los capítulos uno y dos no son muy necesarios y principalmente forman una revisión del álgebra lineal. También define el producto tensorial. Sin embargo, contiene bastantes gemas. Una cosa, que no es del todo una joya pero en mi opinión muestra la utilidad de un punto de vista matemático: relacionar subir/bajar los índices con el teorema de representación de Riesz.
El capítulo tres es un gran capítulo que cubre la definición de una variedad diferenciable, la definición de vectores, la definición de co-vectores, su relación, la definición de formas diferenciales y muchas aplicaciones. Me gusta el enfoque de Renteln porque usa la noción de una variedad diferenciable al principio, y solo trae elementos geométricosvariedades (donde se define una métrica y hay un mapa claro entre vectores y covectores) cuando se necesitan. Esto hace que la estructura de la teoría de las variedades diferenciables sea MUCHO más clara. En algunas definiciones físicas de tensores, nunca está claro qué depende y qué no de la métrica. También utiliza, en mi opinión, la mejor definición de tensor: un vector es una tangente a una curva. Un covector es un elemento del espacio dual de vectores. Un tensor es un producto tensorial de vectores y covectores. Nada de esta "lista de cantidades que se transforman como tales", las leyes de transformación saltan de las definiciones de Renteln.
Los capítulos cuatro y cinco son sobre homología y cohomología. Encontré este material realmente hermoso, pero lo hojeé por conveniencia: quería seguir adelante para estudiar la relatividad general rápidamente.
El capítulo seis cubre la integración en variedades. Es necesario si desea estudiar, por ejemplo, derivar la relatividad general de los principios de acción (la acción es una integral en el espacio-tiempo), pero en su mayoría es opcional.
El capítulo siete cubre haces de vectores. Esto es necesario para comprender cómo se comportan los campos tensoriales en variedades diferenciables. Nuevamente, esta sección es muy general y solo trae la métrica cuando es absolutamente necesario.
El capítulo ocho es, como el capítulo tres, un capítulo muy grande. Cubre todas las cosas buenas: la métrica que da lugar a la conexión/derivada covariante, la curvatura, la torsión y todas esas buenas identidades derivadas covariantes que necesita para hacer cualquier GR. Este es el capítulo que realmente necesita para comenzar con GR, pero depende de los capítulos tres y siete.
El capítulo nueve es otro corto, aplica cosas de capítulos anteriores, pero no es tan relevante para comenzar GR.
Pasé un montón de tiempo en los capítulos tres, siete y ocho, antes de saltar a una secuencia de cursos de relatividad general de nivel de posgrado, y descubrí que estaba más que suficientemente preparado.
Aprendí de Schutz: Métodos geométricos de física matemática , Choquet-Bruhat combinado, DeWitt-Morette (y creo que uno más): Análisis, Colectores y Física , y encontré que es una buena combinación.
GMoMP es levemente riguroso y cubre la mayor parte del material que necesita para manejar bastante bien GR. AMaP es un enfoque mucho más serio para un área temática más amplia: no lo he leído por completo (o incluso en su mayor parte), pero lo encontré invaluable para responder preguntas como 'OK, ¿qué significa esto realmente matemáticamente ?' en otros textos. GMoMP ayudará a un físico a comprender lo que significa la continuidad en un espacio topológico lo suficientemente bien como para ser peligroso, mientras que AMaP le informará sobre redes y ultrafiltros.
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