¿Las pelotas de malabarismo reducen el peso total del malabarista y las pelotas?

Question

¿Las pelotas de malabarismo reducen el peso total del malabarista y las pelotas?

adamport

Un amigo me ofreció un acertijo cuya solución consiste en un $195$ hombre de la libra haciendo malabares con dos $3$ -libra bolas para atravesar un puente que tiene una capacidad máxima de solo $200$ libras. Explicó que dado que el hombre solo sostiene una $3$ -libra objeto a la vez, el peso combinado máximo en cualquier momento dado es solo $195 + 3=198$ libras, y el puente aguantaría.

Lo corregí explicándole que los actos de lanzar y atrapar la pelota te hacen 'más pesado' temporalmente (la pelota ejerce una fuerza adicional hacia mí y yo sobre el puente debido al cambio en el impulso al lanzar o atrapar la pelota). pelota), pero admitió que los lanzamientos/retenciones suaves (menos aceleración) podrían ofrecer una situación en la que la fuerza sobre el puente nunca alcanza el peso combinado del hombre y ambas pelotas.

¿Puede el puente soportar al hombre y sus bolas?

steve mucci

Tienes que tener en cuenta la fuerza de lanzar una pelota hacia arriba.

Respuestas (8)

¿Las pelotas de malabarismo reducen el peso total del malabarista y las pelotas?

Tienes que tener en cuenta la fuerza de lanzar una pelota hacia arriba.

Juan Rennie · Answer 1

Supongamos que lanzas la pelota hacia arriba a cierta velocidad. $v$ . Entonces el tiempo que pasa en el aire es simplemente:

t_{aire} = 2 \frac{v}{gramo}

$t_{\text{air}} = 2 \frac{v}{g}$

dónde $g$ es la aceleración de la gravedad. Cuando atrapas la pelota la tienes en la mano por un tiempo $t_{\text{hand}}$ y durante este tiempo tienes que aplicarle suficiente aceleración para desacelerar la bola desde su velocidad de descenso de $v$ hacia abajo y tíralo hacia arriba con una velocidad $v$ hacia arriba:

t_{mano} = 2 \frac{v}{a - gramo}

$t_{\text{hand}} = 2 \frac{v}{a - g}$

Tenga en cuenta que he escrito la aceleración como $a - g$ porque hay que aplicar al menos una aceleración de $g$ para evitar que la pelota acelere hacia abajo. la aceleracion $a$ tienes que aplicar es $g$ más la aceleración adicional para acelerar la pelota hacia arriba.

Desea que el tiempo en la mano sea lo más largo posible para que pueda usar la menor aceleración posible. Sin embargo $t_{\text{hand}}$ no puede ser mayor que $t_{\text{air}}$ de lo contrario, habría algún tiempo durante el cual estarías sosteniendo ambas bolas. Si quiere asegurarse de que solo sostiene una bola a la vez, lo mejor que puede hacer es hacer $t_{\text{hand}}$ = $t_{\text{air}}$ . Si sustituimos las expresiones por $t_{\text{hand}}$ y $t_{\text{air}}$ desde arriba y los igualamos obtenemos:

2 \frac{v}{gramo} = 2 \frac{v}{a - gramo}

$2 \frac{v}{g} = 2 \frac{v}{a - g}$

que se simplifica a:

a = 2 gramo

$a = 2g$

Entonces, mientras sostienes una pelota de 3 kg, estás aplicando una aceleración de $2g$ a él, y por lo tanto la fuerza que estás aplicando a la pelota es $2 \times 3 = 6$ kg.

En otras palabras, la fuerza en el puente cuando estás haciendo malabarismos con las dos bolas (con la mínima fuerza posible) es exactamente la misma que si cruzaras el puente sosteniendo las dos bolas, ¡y es probable que te mojes!

¿Soy la única persona que notó que convertiste las libras OP a kg usando una proporción de 1:1? ¿Estabas asumiendo que g~=22m/s/s?
No quería poner la fuerza en Newtons porque sospechaba que eso podría confundir al OP. Tampoco quería poner las unidades como kgf por la misma razón. Usé kg como unidad porque fuera de nosotros, los fanáticos de la física, el público normal no hace una distinción entre masa y peso/fuerza.
Después de pensar en esto, no compro el $t_{\text{hand}}$ = $t_{\text{air}}$ cosa. Si lanzara las bolas una milla en el aire con un cañón, la aceleración es mucho mayor, pero el tiempo en el aire aún podría ser igual al tiempo en el cañón...
@adamdport: cuando disparas el cañón, la fuerza en el puente será mucho mayor que el peso de la bola. La aceleración más baja, es decir, la fuerza más baja sobre el puente, se obtiene acelerando la bola uniformemente durante el mayor tiempo posible, es decir, distribuyendo la aceleración.
Mirando hacia atrás, si los pesos se dejaran en libras como dijo el OP, no habría habido ninguna confusión acerca de usarlo como unidad de fuerza y masa al mismo tiempo. Además, no me sorprenderían preguntándome cómo se vería un hombre de 195 kg haciendo malabares.
No entiendo por qué se tiene en cuenta la fuerza de las bolas que se lanzan, pero no la fuerza que ejerce el hombre al caminar/correr. Por ejemplo, si el hombre saltó alto, seguramente estaría poniendo más de 200 libras de fuerza en el puente. Parece que estamos definiendo cargas estáticas y dinámicas como la misma cosa.
@blankip Cierto, pero la fuerza de la marcha del hombre puede hacerse arbitrariamente pequeña, por ejemplo, imaginando que el puente estaba helado y se desliza sobre él sin mover los pies.
supongo que si $v$ es REALMENTE grande y la altura de la pelota es comparable al radio de la Tierra, entonces debes tener en cuenta el hecho de que la gravedad se vuelve más débil que $g$ en altitudes más altas, y luego podría evitar que el puente se derrumbe manteniendo el centro de masa del sistema malabarista + pelotas lo suficientemente alto como para que su peso sea menor que $mg$ .

Alan Romero · Answer 2

Me encanta esta clase de problema como un fantástico ejemplo físico del teorema del valor medio . Permítanme describir un caso específico que se ajusta a las siguientes condiciones:

El hombre más las bolas tiene un peso total de $m$
Todo el sistema (hombre+pelotas) empieza en reposo y termina en reposo

A partir de estas suposiciones relativamente simples, afirmaré que la fuerza normal promedio (la fuerza que el suelo ejerce hacia arriba) es igual al peso del sistema. En otras palabras, para un período de tiempo dado de duración $T$ tenemos esto:

metro gramo = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \vec{F} (t) \cdot \vec{norte} d t

$m g = \frac{1}{T} \int_0^T \vec{F}(t) \cdot \vec{n} dt$

Esta es una afirmación espectacular en realidad. Para simplificar la notación, considere que $\vec{F}(t) \cdot \vec{n}$ es igual al peso que leería una báscula (esta no es una mala suposición, dependiendo de la báscula). Imagina que el hombre está haciendo malabares, parado en una balanza, y la balanza lee un valor que depende del tiempo, $w(t)$ . El valor promedio que lee la báscula será igual a la gravedad multiplicada por su masa, incluido todo lo que está sosteniendo o usando.

En la historia del hombre que cruza el puente haciendo malabares con las pelotas, el peso total es $201 lb$ . Por cada segundo que pesa $200 lb$ , pasa un segundo pesando $202 lb$ o algo similar. El punto es que el valor promedio es el mismo .

Me acabo de dar cuenta: el producto punto con el vector normal en realidad no es necesario, siempre que escriba $g$ como vector también.
"Todo el sistema (hombre+pelotas) comienza en reposo y termina en reposo": esta suposición es vital para esta solución; de lo contrario, debería ser posible reducir el peso en el puente, ya sea atrapando el puente o lanzando desde el puente.
Originalmente, pensé, también necesitábamos asumir que el hombre no termina con las bolas en una posición más baja o baja su centro de gravedad según el comentario de Bobbi . Acabo de darme cuenta de que esta suposición no es necesaria si asumimos que el sistema termina en reposo.
Pero si se le permite hacer su primer lanzamiento y la última recepción desde cualquiera de los extremos del puente, ¿no es mejor que haga un lanzamiento espectacular de una de las bolas y luego se lance con la otra?
@EmilioPisanty Así es, de cualquier manera viola la suposición de comenzar y terminar en reposo. El peso promedio puede ser menor si las bolas se mueven hacia arriba al entrar en el puente o hacia abajo al salir. Esto aplica para los casos en que los atrapas en el medio o no. Hay otra respuesta donde hay una discusión significativa sobre este punto, aunque no creo que se haya abordado matemáticamente todavía.

Rex Kerr · Answer 3

Pon una bola hacia abajo. Camine el otro a través. Vuelve, coge la segunda bola.

O bien, haga rodar las dos bolas y luego corra tras ellas.

O bien, el malabarista se quita los zapatos y camina descalzo.

Esto se resuelve como un problema de "pensamiento no lineal", no con "el malabarismo es antigravedad". El sistema bola-hombre debe acelerarse hacia abajo con un promedio de 1 libra de fuerza o el puente se romperá. De lo contrario, podría construir una máquina de movimiento perpetuo a partir de dos malabaristas en un balancín que se turnan para hacer malabarismos.

(Además, correr es como hacer malabares en el sentido de que el peso está en el aire la mayor parte del tiempo; si esto pudiera funcionar, también podría simplemente sostener las pelotas y correr).

+1 buen punto sobre los malabaristas en un balancín que hacen una máquina de movimiento perpetuo.
El acertijo original en realidad decía que tenías que hacerlo de una sola pasada (sin un segundo viaje), un teléfono celular de 3 libras y su batería de 3 libras (sin rodar), y que estabas desnudo (sin desnudarte).
@adamdport - Entonces, será mejor que empieces a pensar en hacer una cuerda con tu cabello. O... ¿has ido al baño últimamente?
Mis respuestas supuestamente "incorrectas" habían sido "tomar una tabla de 1 libra del puente antes de cruzar", "correr inclinado hacia adelante para que tu cuerpo actúe como un perfil aerodinámico" y "esperar la marea alta y explotar las influencias gravitatorias lunares" ^_^

qmecanico · Answer 4

Imaginemos por simplicidad que el malabarista en algún instante se repite a sí mismo, es decir, que el malabarista y las pelotas (con masas $M$ y $2m$ , respectivamente) están en el mismo estado cinemático exacto a veces $t_1$ y $t_2$ .

Considere el hombre + 2 bolas como el sistema y el puente, etc., como el entorno.

Dejar $p(t)$ ser (la componente vertical de) la cantidad de movimiento total del sistema.

La segunda ley de Newton aplicada al sistema da como resultado:

\begin{matrix} (1) & \dot{pags} (t) = F_{norte} (t) - F_{gramo}, \end{matrix}

$\tag{1} \dot{p}(t) ~=~ F_n(t) - F_g,$

dónde

\begin{matrix} (2) & F_{gramo} = (METRO + 2 metro) gramo, \end{matrix}

$\tag{2} F_g~=~(M+2m)g,$

y donde $F_n(t)$ es la fuerza normal del puente, que puede variar con el tiempo $t$ como el malabarista hace su rutina. $^1$

Debido a nuestra suposición simplificadora de estados repetidos, tenemos

\begin{matrix} (3) & 0 = pags (t_{2}) - pags (t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{norte} (t) d t - (t_{2} - t_{1}) F_{gramo}, \end{matrix}

$\tag{3} 0~=~p(t_2)-p(t_1)~=~ \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt - (t_2-t_1)F_g,$

o

\begin{matrix} (4) & F_{gramo} = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{norte} (t) d t = ⟨ F_{norte} ⟩ . \end{matrix}

$\tag{4} F_g ~=~ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt ~=~\langle F_n \rangle.$

Pero si el promedio $\langle F_n \rangle$ es $F_g$ , entonces claramente al menos una instancia $t_3\in [t_1,t_2]$ , uno debe tener $^2$

\begin{matrix} (5) & F_{norte} (t_{3}) \geq F_{gramo} . \end{matrix}

$\tag{5} F_n(t_3)\geq F_g.$

En otras palabras, el puente se derrumba.

$^1$ El malabarista puede hacer cualquier movimiento que crea que beneficiaría su caso. Ya sea que quiera saltar con ambos pies saliendo del puente, o bajar su centro de masa, o caerse, depende de él. Parece físicamente razonable suponer que la fuerza normal $F_n(t)$ es una función continua por partes del tiempo $t\in [t_1,t_2]$ , con solo un número finito de puntos de discontinuidad. En ese caso la integral $\int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt$ se puede definir usando la integral de Riemann sin involucrar la integral de Lebesgue técnicamente más complicada . (También tenga en cuenta que el teorema del valor medio no se aplica a las funciones discontinuas y, desde un punto de vista matemático purista, el teorema del valor medio no es necesario, es decir, la desigualdad crucial (5) se puede establecer con consideraciones que son incluso más elemental.)

$^2$ Prueba indirecta de la ecuación (5): Suponga

\begin{matrix} (6) & \forall t \in [t_{1}, t_{2}] : F_{norte} (t) < F_{gramo} . \end{matrix}

$\tag{6} \forall t\in [t_1,t_2]:~ F_n(t)~<~ F_g.$

Después

\begin{matrix} (7) & \int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{norte} (t) d t < (t_{2} - t_{1}) F_{gramo}, \end{matrix}

$\tag{7} \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt ~<~ (t_2-t_1)F_g,$

si asumimos continuidad por partes $t\mapsto F_n(t)$ . Pero la ecuación (7) es inconsistente con la ecuación (3). QED.

... a menos que el período sea mayor que el tiempo que tarda en cruzar el puente, es decir, podría lanzar las bolas al aire, cruzar el puente y luego atraparlas en el otro lado;)
Solo estoy interesado en una versión idealizada del rompecabezas (v1) que trata sobre si el hombre puede quedarse en el puente haciendo malabares en lugar de si puede cruzar el puente.

bobbi bennett · Answer 5

¡¡Depende de lo largos que sean sus brazos!! (y cuánto mide el puente) Si comienza en primera posición, con los brazos en alto e imparte -0.17G a sus testículos mientras cruza, lo logrará. Ups. Hice mal las matemáticas en mi comentario.

Además, puede hacer un truco de malabarista y ¡bajar gradualmente su centro de gravedad! mientras cruza el puente. El malabarismo es opcional, una distracción de lo que realmente están haciendo. Solo tiene que acelerar a G*(1/201) para que el puente soporte, no 201 lbs (195+6), sino 200 lbs. Si puede agacharse hasta 2 pies, tengo 5 segundos para cruzar el puente.

1/2 ( 0.16 ft / s^2 ) t^2 = 2 ft

t = sqrt[ 4ft/(0.16ft) sec^2 ]

+1 si puedes calcular cuánto tendrían que ser sus brazos jajaja
1/2 A t^2 = caída (va de brazos arriba a brazos abajo, entonces l=0.25At^2), pero no sabemos qué tan rápido camina el malabarista. A es 32 pies/seg^2 * (1-1/6), aproximadamente 27 pies/seg^2. En un segundo, necesita brazos de 7 pies.

Casebash · Answer 6

Piensa que es razonable suponer: "Todo el sistema (hombre+bolas) comienza en reposo y termina en reposo". Entonces podemos evitar por completo las integrales y tratar con el tiempo. Por el momento, consideremos las velocidades de las pelotas y supongamos que sus brazos tienen una longitud ilimitada. Solo podemos proporcionar 5 libras de fuerza por segundo => una aceleración de 5/3 g, aunque esto se puede dividir entre dos bolas. Las bolas experimentan una aceleración hacia abajo de gcada una o 2gen general. Por lo tanto, la aceleración total hacia abajo (posiblemente dividida entre las dos bolas) es g/3 y no podemos terminar con ambas en reposo. La única forma en que podríamos terminar con ambos en reposo es si nos permitieran 6 libras de peso en lugar de 5 libras (es decir, lo mismo que cargar)

Tomás · Answer 7

Creo que podría ser posible si el hombre primero lanza una de las bolas al aire antes de pisar el puente. En ese caso, el hombre podría aplicar 4 libras de fuerza hacia arriba en una pelota inicialmente y luego pisar el puente. En ese momento, el puente estaría sosteniendo 198 libras. El hombre puede entonces acelerar la otra bola hacia arriba con 4 libras de fuerza antes de que la otra bola aterrice. Esto significaría que el puente aguantaría 199 libras en ese punto. Cuando ambas bolas estén en el aire, el puente aguantaría 195 libras. Luego, la primera pelota caería en la mano del hombre, y el hombre tendría que aplicar 4 libras de fuerza para desacelerarla hasta el reposo. Durante la desaceleración, el puente aguantaría 199 libras. Después de la desaceleración, el puente aguantaría 198 libras.

También puede ser posible hacer esto si las pelotas tuvieran un gran volumen y contara la resistencia del aire, en cuyo caso el aire ayudaría a desacelerar las pelotas mientras caían, pero el hombre aún tendría que lanzar una de las pelotas al aire antes de pisar el puente.

No, no puede, a menos que lance la pelota al otro lado del puente, vea la respuesta de Alan SE. No hay votos negativos por ahora, pero elimine esto.
La respuesta de AlanSE supone que todo el sistema comienza en reposo, lo cual no es una suposición que haga mi respuesta.
No importa, si el movimiento promedio no es parabólico, las leyes de conservación aseguran que la fuerza promedio soporta el peso. Esto se encuentra dibujando una gran esfera alrededor del hombre y las bolas, y sin importar lo que suceda en la esfera, el flujo de cantidad de movimiento neto a través del puente debe equilibrar la gravedad.
@RonMaimon La fuerza hacia arriba en su volumen de control no equilibrará la gravedad por el impulso ascendente/descendente inicial y/o final. Si la pelota se lanza hacia arriba justo antes de entrar en el puente, el sistema hombre-pelota tiene impulso ascendente.
@RonMaimon Todavía no entiendo por qué no funcionaría. El único problema que se me ocurre es que tal vez la pelota no pase suficiente tiempo en el aire para que el malabarista termine de acelerar la otra pelota hacia arriba.
Si lanza la pelota a través del puente, funciona. está bien. Y, él -debe- impartir alguna aceleración hacia adelante a las bolas (porque está caminando por el puente, con las bolas), que parece ser descuidada. Por lo tanto, es justo considerar que su impulso comenzó. Entonces, si ese impulso es suficiente para hacer que una pelota atraviese, ¡tiene 2 libras de sobra! ¿Qué tan lejos de todo el camino puede lanzar el número 1 y aun así lograrlo?
@ThomasRyabin: Porque la pelota genera más fuerza que su peso cuando la atrapa, y la fuerza ascendente promedio, si hay captura y lanzamiento, siempre es igual al peso de las pelotas, por conservación del impulso.
@AlanSE: Eso no es cierto, solo si el impulso disminuye constantemente. En estado estacionario, el flujo de cantidad de movimiento es constante.
@RonMaimon Sí, el impulso estaría disminuyendo. Si el hombre-bola comienza con un impulso ascendente en el momento en que ingresa al puente, habrá una tasa promedio negativa de cambio de impulso vertical con el tiempo. La proposición es convertirlo en un problema de estado no estacionario.
@AlanSE: Bien, ya veo. Entonces podrías hacerlo, pero el centro de masa de las tres bolas tendría que estar cayendo efectivamente a 1/3 de la aceleración de la gravedad a lo largo del puente.

adorable cereza · Answer 8

Resolviendo objetivamente.

A medida que el sistema de pelota malabarista es derribado por 201 libras de fuerza. Tiene que haber al menos 201 'libras de fuerza' actuando hacia arriba. De lo contrario, el centro de masa del sistema aceleraría hacia abajo.

Lanzar la pelota no crearía ninguna fuerza neta en el sistema. Y lo único que veo que puede producir una fuerza apreciable hacia arriba en el sistema es el puente.

Entonces ... digo que es un no, si no fuera por las formas creativas como las que se mencionan en otra respuesta.

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