¿Las matrices y los tensores de segundo rango son lo mismo?

Un tensor de segundo orden puede representarse mediante una matriz, al igual que un tensor de primer orden puede representarse mediante una matriz. Pero hay más en el tensor que solo su disposición de componentes; también necesitamos incluir cómo se transforma la matriz con un cambio de base. Entonces, el tensor es una matriz n-dimensional que satisface una ley de transformación particular.

Entonces, sí, un tensor de tercer orden se puede representar como una matriz tridimensional de números, junto con una ley de transformación asociada.

Las matrices a menudo se presentan por primera vez a los estudiantes para representar transformaciones lineales tomando vectores de$\mathbb{R}^n$y mapearlos a vectores en$\mathbb{R}^m$. Una transformación lineal dada puede estar representada por infinitas matrices diferentes dependiendo de los vectores base elegidos para$\mathbb{R}^n$y$\mathbb{R}^m$, y una ley de transformación bien definida permite reescribir la operación lineal para cada elección de vectores base.

Los tensores de segundo rango son bastante similares, pero hay una diferencia importante que surge para las aplicaciones en las que se consideran métricas de distancia no euclidianas (no planas), como la relatividad general. Los tensores de segundo rango pueden mapear no solo$\mathbb{R}^n$a$\mathbb{R}^m$, pero también puede mapear entre los espacios duales de cualquiera$\mathbb{R}^n$o$\mathbb{R}^m$. La ley de transformación para tensores es similar a la que se aprendió primero para operadores lineales, pero permite la flexibilidad adicional de permitir que el tensor cambie entre actuar en espacios duales o no.

Tenga en cuenta que para las métricas de distancia euclidiana, el espacio dual y el espacio vectorial original son iguales, por lo que esta distinción no importa en ese caso.

Además, los tensores de segundo rango pueden actuar no solo como mapas de un espacio vectorial a otro. La operación de "contracción" del tensor (una generalización del producto escalar para vectores) permite que los tensores de segundo rango actúen sobre otros tensores de segundo rango para producir un escalar. Este proceso de contracción es generalizable para tensores de mayor dimensión, lo que permite contracciones entre tensores de diferentes rangos para producir productos de diferentes rangos.

Para hacer eco de otra respuesta publicada aquí, un tensor de segundo rango en cualquier momento puede representarse mediante una matriz, lo que simplemente significa filas y columnas de números en una página. Lo que estoy tratando de hacer es ofrecer una distinción entre matrices, ya que se presentan por primera vez para representar operadores lineales de espacios vectoriales y matrices que representan los objetos ligeramente más flexibles que he descrito.

Una matriz es un caso especial de un tensor de segundo rango con 1 índice hacia arriba y 1 índice hacia abajo. Lleva vectores a vectores (contrayendo el índice superior del vector con el índice inferior del tensor), covectores a covectores (contrayendo el índice inferior del covector con el índice superior del tensor), y en general, puede llevar un tensor m superior/n-inferior a m-superior/n-inferior actuando sobre uno de los índices superiores, a m-superior/n-inferior actuando sobre uno de los índices inferiores, o a m-1 -superior/n-1-inferior al contraerse con un índice superior y otro inferior.

La notación matricial no tiene ningún beneficio si conoce los tensores, es un caso especial donde la operación del producto tensorial más una contracción produce un objeto del mismo tipo. La notación tensorial generaliza el cálculo de vectores y el álgebra lineal correctamente para hacer los objetos matemáticos correctos.

Estrictamente hablando, las matrices y los tensores de rango 2 no son exactamente lo mismo, pero existe una estrecha correspondencia que funciona para la mayoría de los propósitos prácticos que encuentran los físicos.

Una matriz es una matriz bidimensional de números (o valores de algún campo o anillo). Un tensor de 2 rangos es un mapa lineal de dos espacios vectoriales, sobre algún campo como los números reales, a ese campo. Si los espacios vectoriales son de dimensión finita, puede seleccionar una base para cada uno y formar una matriz de componentes. Esta correspondencia entre matrices y tensores de rango 2 es uno a uno, por lo que puede considerarlos como la misma cosa, pero estrictamente hablando, son simplemente equivalentes.

Puede inventar casos de espacios vectoriales de dimensión infinita en los que no es posible una representación significativa en términos de matrices para los tensores correspondientes, incluso cuando el campo son los números reales y las matrices pueden tener una infinidad de componentes. Algunos de estos ejemplos son relevantes para la física, por ejemplo, cuando los espacios vectoriales son funcionales cuya dimensión es (en términos generales) incontablemente infinita. Por esta razón, es una buena idea tener en cuenta la distinción entre lo que son realmente los tensores y las matrices de los arreglos, incluso si solo es un físico.

Sé que es un viejo tema. Pero creo que todavía falta un punto, así que si la gente todavía viene a esta publicación como referencia, déjame intentarlo.

Quiero argumentar desde un punto de vista matemático que es algo geométrico. Queremos tomar vectores de algún espacio vectorial$V$. Especialmente no exigiremos que$V$frijol$\mathbb{R}^n$para alguna dimensión$n$, pero digamos por simplicidad que$V$es de dimensión finita. Hay dos tipos diferentes de operaciones en este espacio vectorial que son relevantes en la imagen de tensor habitual, una de las cuales es$\begin{pmatrix}0\\2 \end{pmatrix}$tensores, que se describen fácilmente sin desorden técnico, y el otro son mapas lineales descritos por$\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$tensores, que requieren desorden técnico, por lo que seremos breves aquí. También tendremos que hablar de las bases. Así que vamos en tres pasos.

Posdata prematura: Esto creció un poco fuera de proporción. Traté de elaborar porque sé que mis estudiantes a menudo batallan con respuestas breves y onduladas que no amplían las pistas importantes.

Una buena fuente para profundizar en el tema (y muy legible) es Introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos de Nadir Jeevanjee .

$\begin{pmatrix}0\\2 \end{pmatrix}$tensores

1. Sin mucho preámbulo, podemos definir un$\begin{pmatrix}0\\2 \end{pmatrix}$-tensor para ser un mapa bilineal $T$que come dos vectores$v$y$w \in V$y escupe un número real$T(v,w)$. Escrito un poco más formalmente: $$T : V \times V \to \mathbb{R}, \qquad (v,w) \mapsto T(v,w) \in \mathbb{R}.$$ Para aquellos asustados por la notación matemática, no se preocupen, en realidad es solo la prosa escrita arriba. La palabra bilineal es especialmente importante. Significa que el tensor es lineal en ambos argumentos. De lo contrario, sería un mapa bastante aleatorio, pero la linealidad es realmente lo que le da a los tensores sus propiedades características.

Eso es todo. Eso es realmente lo que es un tensor: toma dos vectores y escupe un número real. Y lo hace de forma lineal.

Esta definición es independiente del espacio vectorial$V$, los tensores se pueden describir en cualquier espacio vectorial. Un ejemplo para el espacio vectorial$V$podría ser el espacio de todas las velocidades posibles que podría tener una bola de billar (es un espacio vectorial porque puedes estirar y agregar velocidades, y realmente no hay mucho más para que un conjunto califique como un espacio vectorial). ¿Y un tensor? Como se mencionó anteriormente, cualquier mapa multinear servirá, pero algo significativo para la física podría ser el "tensor de energía cinética".

Ahora, observe una cosa: nunca en esta definición o en el ejemplo hemos mencionado nada sobre coordenadas o$\mathbb{R}^3$. Esto es importante. El tensor es un objeto que puede existir en todo su esplendor, libre e independiente de cualquier sistema de coordenadas. Para un teórico (o cualquier físico), este es un resultado agradable: no existe ningún experimento que pueda determinar si el sistema de coordenadas del mundo es cartesiano, polar o esférico. Estos son productos de la mente humana. Una buena teoría no debería comenzar dependiendo de una elección arbitraria, es mejor si los tensores son entidades bien definidas antes de que nos perdamos en los sistemas de coordenadas. Y eso es lo que hicimos aquí.

Elegir una base

Pero, de nuevo, nuestras mentes funcionan bastante bien en sistemas de coordenadas, o al menos estaban bien entrenados para hacerlo. Entonces, ¿qué sucede si elegimos una base? Entonces los vectores$v,w \in V$se puede descomponer en una suma sobre el conjunto de vectores base$\{e_i\}$multiplicado por los respectivos factores de escala$\{v^i\}$para cada uno de ellos. Con la convención de suma:

Y ahora se le ocurre una forma totalmente arbitraria de almacenar toda esta información: matrices. Una matriz en sí misma no es más que una tabla (históricamente, incluso se las llamó tablas durante un tiempo). Simples hojas de cálculo de MS-Excel. Pero motivados por la ecuación que acabamos de derivar, a la gente se le ocurrió la idea: oye, organicemos el$v^i$y$w^j$en estas filas y columnas de números y organicemos los números$T_{ij}$en este bonito bloque cuadrado de números. Y para recordar cómo lidiar con ellos, presentemos una forma de multiplicarlos entre sí.

Una matriz (incluidas las matrices cuadradas en$\mathbb{R}^{n \times n}$así como matrices fila en$\mathbb{R}^{1\times n}$y matrices de columna en$\mathbb{R}^{n \times 1}$, comúnmente denominados vectores) no es, como se menciona en otra respuesta, más que una forma de almacenar información. La regla de multiplicación de matrices ("fila por columna") es información adicional además de eso. Es solo una forma de manejar correctamente la información almacenada en la matriz y los vectores, que son números reales desnudos.

Este es el sentido en el que consideramos que los vectores se encuentran en algún$\mathbb{R}^n$y tensores para ser matrices en$\mathbb{R}^{n \times n}$. Los vectores en realidad se encuentran en algunos$n$-espacio vectorial dimensional$V$, y los tensores son mapas bilineales que toman dos de estos vectores y dan un número real. Sin embargo, después de elegir una base$\{e_i\} \subset V$, toda la información que necesitamos para recuperar el vector completo$v$son sus componentes$\{v^i\}$en esa base dada, y todo lo que necesitamos para conocer completamente un tensor$T$son sus valores sobre la base de los vectores$\{T_{ij}\} = \{T(e_i,e_j) \}$. Esto empuja la base debajo de la alfombra, pero luego suceden cosas extrañas cuando uno cambia de base.

Tensores como mapas lineales

Entonces, ¿por qué la mayoría de las respuestas aquí se centran en que los tensores son mapas lineales que toman un vector en$\mathbb{R}^n$a otro vector en$\mathbb{R}^n$? Porque, por supuesto, hay una gran similitud.

Vemos de nuevo la representación de coordenadas de la multiplicación de tensores. Ahí escribimos

En ese sentido, nos encontramos con una nueva forma de entender el tensor. En lugar de simplemente tomar dos vectores y devolver un número real, podemos considerar que el tensor toma un vector$w$, transformarlo linealmente en un nuevo vector$u$, y luego calcule el producto interno entre$v$y$u$.

Un comentario aparte: en este punto, dejé de lado algunas sutilezas, porque para obtener una imagen completa, necesitaríamos hablar más sobre el producto interno. Esto se debe a que el producto interno define el tensor métrico (o viceversa), que aún necesitamos si queremos obtener de los componentes covariantes de la$u_i$a los componentes contravariantes$u^i = \eta^{ij} u_j$. No nos detendremos en esto aquí. Supongo que eso ya se discutió en otra parte, de todos modos.

Esta es una manía mía. Habiendo sido en la primera parte de mi carrera un geómetra. Gran parte de la discusión anterior es correcta. Un tensor de varios rangos son transformaciones lineales. Sin embargo, un tensor es un invariante bajo los sistemas de coordenadas seleccionados.

La forma más fácil de pensar es que un vector es una magnitud y una dirección y solo se puede expresar como una matriz una vez que se elige un sistema de coordenadas. Del mismo modo, un tensor de rango 2 solo se puede expresar como una matriz cuando se elige un sistema de coordenadas.

Por eso se utiliza en física como el tensor de energía de tensión o el tensor de índice de refracción de cristales anistrópicos. Es esta invariancia de coordenadas lo que lo hace útil para describir propiedades físicas.

No. Una matriz puede significar cualquier cantidad de cosas, una lista de números, símbolos o el nombre de una película. Pero nunca puede ser un tensor. Las matrices solo se pueden usar como ciertas representaciones de tensores, pero como tales, oscurecen todas las propiedades geométricas de los tensores que son simplemente funciones multilineales en vectores.

Se parecen mucho, pero...

A menudo hay confusión con respecto a los índices cuando transformamos un tensor de rango 2,$T_{ij}$. Debido a que las matrices pueden representar tensores de rango 2, es tentador simplemente comenzar a multiplicar. Pero el orden del índice es crucial.

Ahora, la multiplicación de matrices regular,$C=AB$sumas sobre el segundo índice de A y el primer índice de B:$C_{ab}=A_{a\cR{c}}B_{\cR{c}b}$, dónde$\cR{c}$es el índice de suma ("índice ficticio").

Si usamos el segundo índice de B,$D_{ab}=A_{a\cR{c}}B_{b\cR{c}}$, entonces lo que obtenemos es$D=AB^T$.

Leemos en un libro de texto que "T se transforma como un tensor bajo la rotación R" significa que$T_{ab} \rightarrow T'_{ab} = R_{a\cR{c}} R_{b\cG{d}} T_{\cR{c}\cG{d}}$. Tenga en cuenta que una R opera en el primer índice y la otra R opera en el segundo índice.

Por lo tanto esto no significa$T \rightarrow T'=RRT$en notación matricial. ¡Equivocado!

La notación matricial correcta es$T \rightarrow T'=RTR^T$.

Ver la correspondencia puede ser complicado, perderse en los índices. Usa el intermediario$D_{bc}=R_{b\cR{d}}T_{c\cR{d}}$(análogo a lo anterior, esto es$D=RT^T$) de modo que$R_{a\cR{c}} R_{b\cG{d}} T_{\cR{c}\cG{d}}$se convierte$R_{a\cR{c}} D_{b\cR{c}}$. Esto también suma en el segundo índice de D por lo que es igual$RD^T$. Sustituir en el valor de$D:RD^T=R(RT^T)^T=R(T^T)^T(R)^T=RTR^T.$

1. No todos los escalares son tensores, aunque todos los tensores de rango 0 son escalares (ver más abajo).
2. No todos los vectores son tensores, aunque todos los tensores de rango 1 son vectores (ver más abajo).
3. No todas las matrices son tensores, aunque todos los tensores de rango 2 son matrices.

Ejemplo para 3: Matriz M (m11=x, m12=-y, m21=x^2, m22=-y^2). Esta matriz no es de rango tensorial 2. Pruebe la matriz M a matriz de rotación.