¿La física local depende de la topología global?

Bien, comencemos con tu ejemplo. Creo que es demasiado patológico para ser considerado como un punto de partida seguro para esta discusión, que sin embargo es valiosa e interesante. Sin embargo, me gustaría dedicar algunas palabras a este caso, ya que permite introducir algunos temas generales útiles en la segunda parte de mi respuesta.

AdS_n no es globalmente hiperbólico . Globalmente hiperbólico, más o menos, significa que hay superficies lisas similares a espacios, llamadas superficies de Cauchy., donde la asignación de datos iniciales asegura tanto la existencia como la unicidad de la solución de cualquier ecuación de campo de tipo hiperbólico (lineal o casi lineal) para campos que se propagan en el espacio-tiempo considerado. Esta falla de AdS_n se debe a un par de patologías: (1) la existencia de curvas temporales cerradas y (2) la ausencia de superficies de Cauchy. El primero es muy fuerte, ya que no permite construir una teoría de campo clásica que se comporte bien. Por ejemplo, es muy difícil definir herramientas elementales como propagadores avanzados, retardados y causales. No digo que no haya posibilidades de extender estas nociones generales a este caso, sino que la interpretación física de los resultados es cuestionable. Como usted sugiere, uno puede desenvolver la dirección del tiempo pasando a la cubierta universal y deshaciéndose de (1). Sin embargo, el problema (2) permanece. Sin embargo, es posible extender el formalismo estándar, válido para espacio-tiempos globalmente hiperbólicos, también a este caso. De hecho, varios autores lo han hecho en el pasado (en particular, recuerdo un artículo bastante largo y detallado de Bob Wald sobre estos temas). Pero de esta manera conduce a un solo espaciotiempo y no a un par de espaciotiempos con diferentes topologías globales, por lo que su problema no se puede plantear más aquí.

Abandonando los espaciotiempos de AdS y ateniéndose a toda la clase de espaciotiempos globalmente hiperbólicos, tiene sentido preguntarse si la topología global puede afectar las propiedades cuánticas locales. Si$M$es tal espacio-tiempo, su topología, como se sabe, es siempre de la forma$R \times S$, dónde$S$es una subvariedad espacial difeomorfa a cada superficie de Cauchy en$M$. (Observe que la métrica no se divide como lo hace la topología, por lo que$M$es difeomorfo a$R\times S$pero, en general, no es isométrico a él.) En vista de esta topología de producto particular, su pregunta se refiere a la topología de$S$: ¿es posible que su topología tenga algún efecto localmente cuando se trata de campos cuánticos? Por ejemplo, podemos considerar un par de espaciotiempos globalmente hiperbólicos cuyas respectivas topologías son$R\times S$y$R \times \widetilde{S}$, dónde$\widetilde{S}$denota la cobertura universal de la variedad conexa múltiple$S$.

En mi opinión la respuesta es SÍ. Sin embargo, tenemos que distinguir claramente entre las propiedades de los observables cuánticos y las propiedades de los estados cuánticos para responder. De hecho, la respuesta es positiva solo con respecto a la segunda clase de objetos.

Los observables cuánticos son, en términos generales, campos cuánticos . Incluyo en esta categoría cosas como objetos renormalizados como polinomio de Wick$\phi^n(x)$(u objetos locales similares, más complicados, que llevan propiedades como espín y carga). El procedimiento de renormalización UV para una teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo (de modo que la métrica entre en las ecuaciones de campo pero siga siendo un campo clásico) se puede realizar sin referirse a un estado de referencia, como se estableció en la última década utilizando el enfoque algebraico . Se hizo extendiendo el llamado enfoque de Epstein-Glaser a la renormalización del espacio-tiempo de Minkowski a un espacio-tiempo hiperbólico global general. (Obviamente, el procedimiento se reduce al estándar en el espacio-tiempo de Minkowski.) Los observables obtenidos de esta manera son generalmente localmente covariantes . Significa que si te dan un par de espacios-tiempos,$M$y$M'$, tal que$M$se puede incrustar isométricamente en$M'$ preservando las estructuras causales y las orientaciones temporales , también el álgebra de observables cuánticos de$M$resulta estar incrustado en el de$M'$a través de un morfismo adecuado de$^*$-álgebras. En otras palabras, no podemos distinguir entre los observables cuánticos de$M$y$M'$si mirando$M$, viendo el espacio-tiempo$M$como una subregión de$M'$o por derecho propio. Vale la pena enfatizar que todas las ambigüedades de la renormalización de UV se incluyen en algunos términos dependiendo únicamente de las curvaturas locales, por lo que incluso la renormalización de los observables locales no puede ayudar a responder positivamente a su pregunta.

Queda por centrarse en los estados. Los estados permisibles (aquellos que permiten el procedimiento de renormalización perturbativa) son los llamados estados de Hadamard . En la práctica, se definen exigiendo que sean de tipo gaussiano (de modo que la función de dos puntos determine toda la clase de funciones de n puntos) y que su estructura de corta distancia se asemeje a la del vacío de Minkowski. (Hay una caracterización mucho más técnicamente útil que surge del análisis micro local, pero es irrelevante aquí). Hago hincapié en que la restricción de las distancias cortas fija solo la singularidad UV en términos de la geometría local, mientras que la parte restante del estado es libre y por lo tanto sensible a la topología global del espacio-tiempo.Hay una gran clase de estados de Hadamard para un espacio-tiempo dado. Cuando uno calcula objetos como$<\phi^2(x)>$, las divergencias UV se eliminan restando la divergencia UV universal de los estados de Hadamard, que depende únicamente de la geometría local. En consecuencia, los efectos globales pueden aparecer en esta etapa. Por ejemplo, si considera el espacio-tiempo de Minkoski$M = R \times R^3$y otro espacio-tiempo$M'$obtenido identificando las caras opuestas de un cubo de 3 en$R^3$, tienes un par de espaciotiempos globalmente hiperbólicos que localmente son idénticos. Por lo tanto, la divergencia UV del estado de Hadamard coincide.$M$y$M'$admitir un par correspondiente de estados Gaussianos de Hadamard preferidos para el campo escalar real de Klein-Gordon, señalados por la propiedad de ser invariante bajo la clase completa de isometrías del espacio-tiempo respectivo, y el hecho de que son estados fundamentales con respecto a un hamiltoniano operador asociado con una noción natural (isométrica) de evolución temporal. Estos estados son, respectivamente, el vacío estándar de Minkowski$< >_M$y un estado similar en$M'$,$< >_{M'}$, obtenido del primero explotando por ejemplo el método de las imágenes . si calculas$<\phi^2(x)>_M$y$<\phi^2(x)>_{M'}$obtienes dos valores diferentes incluso si restas la misma divergencia. La diferencia tiene en cuenta las propiedades topológicas globales. Estas diferencias están relacionadas de alguna manera con el efecto Casimir cuando se considera el tensor de energía de estrés en lugar de$\phi^2$.