¿La existencia de instantones implica una cohomología no trivial del espacio-tiempo?

Primero, el razonamiento en la pregunta sobre las clases de isomorfismo de paquetes es incorrecto, porque el$\check{H}^1(M,G)$de la publicación vinculada math.SE no es la cohomología de$M$con coeficientes en$G$, pero en realidad la cohomología de Čech de$M$para la gavilla$\mathscr{G} : U\mapsto C^\infty(U,G)$.

Sin embargo, esto de hecho tiene una relación con la cohomología de$M$sí mismo para$G = \mathrm{U}(1)$, a través de

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathrm{U}(1) \to 0$$ que se convierte en $$0 \to C^\infty(U,\mathbb{Z})\to C^\infty(U,\mathbb{R}) \to C^\infty(U,\mathrm{U}(1))\to 0$$ ya que $C^\infty(M,-)$se deja exacta y uno puede convencerse de que esta secuencia particular sigue siendo exacta ya que el mapa $C^\infty(M,\mathbb{R})\to C^\infty(M,\mathrm{U}(1))$funciona simplemente dividiendo $\mathbb{Z}$fuera de $\mathbb{R}$. Considerando esto como una secuencia de gavilla $0\to \mathscr{Z}\to \mathscr{R} \to \mathscr{G} \to 0$, $\mathscr{Z} = \underline{\mathbb{Z}}$por $\underline{\mathbb{Z}}$la gavilla localmente constante desde $\mathbb{Z}$es discreto, y el haz de funciones suaves de valores reales en una variedad es acíclico debido a la existencia de particiones de la unidad, por lo que tomando la cohomología del haz se obtiene $$\dots \to 0 \to H^1(M,\mathscr{G}) \to H^2(M,\underline{\mathbb{Z}})\to 0 \to \dots$$ y por lo tanto $H^1(M,\mathscr{G}) = H^2(M,\underline{\mathbb{Z}}) = H^2(M,\mathbb{Z})$donde el último objeto es solo la cohomología integral habitual de $M$. Por eso, $\mathrm{U}(1)$de hecho, los paquetes se clasifican completamente por su primera clase de Chern, que es físicamente el flujo (¡magnético!) A través de 2 ciclos cerrados, y la existencia de no triviales $\mathrm{U}(1)$-los paquetes implicarían una segunda cohomología no trivial del espaciotiempo (o más bien del espaciotiempo compactado en un punto) $S^4$ya que uno debería poder hablar sobre la configuración del campo "en el infinito" y el paquete enmarcado en el infinito). De hecho, desde $H^2(S^4) = 0$, la existencia de $\mathrm{U}(1)$-instantones contradiría la idea de que el espacio-tiempo es $\mathbb{R}^4$.

Para general compacto, conectado$G$, resulta que los posibles instantones son bastante independientes de la topología de$M$porque un instanten genérico se localiza alrededor de un punto, como muestra la construcción del instanten BPST : el instanten tiene un centro, y de hecho uno puede imaginar que la forma de Chern-Simons es una "corriente" que fluye desde ese punto, dando lugar a un no trivial$\int F\wedge F$.

Topológicamente, uno puede entender esto imaginando$S^4$, y dando un paquete dando los campos de calibre en los dos hemisferios, pegando especificando una transformación de calibre en la superposición de los dos, que se puede reducir a$S^3$, es decir, el paquete está dado por un mapa$S^3\to G$, y las clases de homotopía de dichos mapas son el tercer grupo de homotopía$\pi_3(G)$, cual es$\mathbb{Z}$para semisimple compacto$G$. Dado que el "ecuador" se puede mover libremente alrededor del$S^4$, o incluso encogido arbitrariamente cerca de un punto, esta construcción no depende de hecho de las propiedades globales de$S^4$, se puede hacer "alrededor de un punto".

Así, los instantones en general no nos dicen nada sobre la topología del espacio-tiempo.

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Esta respuesta ha sido guiada por la respuesta de PhysicsOverflow a la misma pregunta.

Estoy de acuerdo con mucho de lo que dice, pero no estoy de acuerdo con la conclusión que saca: los espaciotiempos topológicamente triviales no pueden admitir paquetes G no triviales y, por lo tanto, no tienen instantes. Entonces, la existencia de instantones siempre te dice que el espacio-tiempo no es trivial. Las personas que afirman que los instantones existen en$\mathbb{R}^4$están ignorando el punto crucial de que cuando exigimos que la configuración del campo desaparezca en el "infinito", en realidad estamos diciendo que el espacio-tiempo es una esfera de cuatro. (Más precisamente, estamos diciendo que la configuración del campo debe ser una que se extienda a cuatro esferas, que es lo mismo para el propósito de considerar haces G).

Estoy de acuerdo en que si el espacio-tiempo es una cuatro esferas o cualquier variedad con cohomología de segundo entero trivial, entonces no puede admitir un paquete circular no trivial y no admitirá instantes abelianos. Entonces, por lo tanto, sí, la existencia de un instante abeliano implicaría que el espacio-tiempo tiene una segunda cohomología no trivial.

Para un grupo de calibre no abeliano, afirma que poder reducir el ecuador arbitrariamente cerca de un punto implica que la construcción es independiente de la topología global del espacio-tiempo. No tan. Está describiendo la construcción de "función de embrague" de paquetes principales sobre esferas (que ya hace referencia a la topología muy especial de la esfera). Y el punto es que los cargos instantáneos se valoran en grupos de homotopía del grupo de calibre precisamente porque puede tener un mapa de$S^3$a su grupo de indicadores con un número de devanado no trivial. Sí, puede reducir el 'ecuador' de$S^4$arbitrariamente cerca de un punto, pero no se puede colapsar hasta un punto. El número de vueltas no trivial del mapa desde el ecuador hasta el grupo de indicadores nunca se puede deshacer simplemente reduciendo la copia de la esfera. Una forma vaga de decir cuál es el número de bobinado (carga instantánea) sería "la obstrucción para homotopar ese mapa$S^3 \to G$a un mapa$\{pt\} \to G$." (Recuerde, si estamos hablando de topología, entonces reducir una esfera 'muy cerca de un punto' no significa nada; todo lo que importa es si el mapa en cuestión puede extenderse al interior de la esfera y, por lo tanto, realmente reducido a un punto).

Si lee su respuesta detenidamente, creo que encontrará que en realidad argumenta lo contrario: los instantenes pueden decirnos mucho sobre la topología del espacio-tiempo. Consulte el campo matemático de la teoría de Donaldson, donde todo el asunto es extraer invariantes de cuatro variedades de los espacios de módulos instantáneos.