¿Hasta qué punto la relatividad general es una teoría gauge?

Considere una teoría de calibre con un grupo de calibre$GL(n,R)$.

En primer lugar, déjame recordarte los conceptos básicos de las transformaciones de calibre:

Dejar$G$ser un grupo de calibre,$g(x)∈ G$ser un elemento de$G$. Después:

$\psi (x)→g(x)\psi (x)$

$A_\alpha→g(x)A_\alpha g^{-1}(x)-\frac{∂g(x)}{∂x^{\alpha}}g^{-1}(x)$

es una transformación de calibre, y la derivada covariante se define como

${\nabla}_{\alpha}\psi = \frac{∂\psi}{∂x^{\alpha}}+A_\alpha \psi$

Ahora considere las coordenadas$(x^1, ..., x^n)$en la región$U$. Definen la base del espacio vectorial$\frac{∂}{∂x^1},...,\frac{∂}{∂x^n}$. Entonces, campos de vectores tangentes en la región$U$se pueden considerar como funciones vectoriales:$\xi = (\xi^1,...,\xi^n)$. Cambio de coordenadas en$U$:$x^{\nu}→x^{{\nu^{\prime}}}=x^{{\nu^{\prime}}}(x)$define la transformación local:

$\xi^\nu→\xi^{\nu^\prime} = \frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\xi^\nu = g(x)\xi$.

Aquí matriz$g(x) = (\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu})$pertenece a$GL(n,R)$, y la matriz inversa tiene la forma$g^{-1}(x)=(\frac{∂x^\nu}{∂x^{\nu^\prime}})$.

álgebra de mentiras$GL(n,R)$está formada por todas las matrices de grado$n$, por lo que el "campo patrón"$A_\mu (x)$es también matriz de grado$n$. Denotemos sus elementos de la siguiente manera:

$(A_\mu)^{\nu}_{\lambda}=\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}$.

Derivada covariante del vector$\xi$dice lo siguiente:

$(\nabla_{\mu}\xi)^\nu=\frac{∂\xi^\nu}{∂x^\mu}+\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\xi^\lambda ↔ \nabla_\mu \xi=\frac{∂\xi}{∂x^\mu}+A_\mu \xi$(¡El lado derecho está en forma de matriz!)

Solo queda una cosa por verificar, a saber, la forma de transformación del campo de indicador.

Usando la regla general de transformar el campo de calibre obtenemos:

$\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}→\Gamma^{\nu^\prime}_{\lambda^\prime \mu}=\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\frac{∂x^\lambda}{∂x^{\lambda^\prime}}+\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\frac{∂}{∂x^\mu}(\frac{∂x^\nu}{∂x^{\lambda^\prime}})$.

Ya que$A_\mu$es un vector covariante, entonces$A_{\mu^\prime}=\frac{∂x^\mu}{∂x^{\mu^\prime}}A_\mu$. Por lo tanto obtenemos:

$\Gamma^{\nu^\prime}_{\lambda^\prime \mu^\prime}=\frac{∂x^\mu}{∂x^{\mu^\prime}}\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\frac{∂x^\lambda}{∂x^{\lambda^\prime}}+\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\frac{∂^2 x^\nu}{∂x^{\lambda^\prime}∂x^{\mu^\prime}}$.

QED

Y observación final: el conmutador de dos derivadas covariantes conduce a la expresión del tensor de Riemann:

$(F_{\mu\nu})^\rho_\lambda = R^\rho_{\lambda ,\mu\nu}$

EDITAR:

Estimado Oaoa,

No soy un especialista en GR, por lo que lo que he escrito a continuación podría estar equivocado.

Mi primer consejo es el siguiente: no leas a Landau que está mezclando dos conceptos fundamentales: conexión y métrica.

En su lugar, le animo a leer "Estructura del espacio-tiempo" de Erwin Schrödinger.

Para responder a su pregunta, separemos primero los roles de conexión y métrica.

1. La conexión se utiliza para el transporte paralelo y permite comparar dos vectores en diferentes puntos. Una consecuencia importante es que al usar la conexión se puede introducir el tensor de curvatura (que además se puede contraer a escalar de curvatura ). La curvatura aparece cuando transporta el vector a lo largo de la curva cerrada y luego lo compara con el vector inicial. El escalar de curvatura se usa luego para construir una "acción de campo" al igual que en todas las teorías de calibre.

Como se muestra en el libro de Schrödinger, la conexión también se puede usar para medir la distancia a lo largo de la línea geodésica (¡vale la pena señalar que la expresión para tal "medida" es muy similar a la expresión de la acción integral del camino de Feynman!). Pero, en general, la conexión no se puede utilizar para medir distancias entre puntos arbitrarios.

1. Se introduce la métrica para medir distancias entre puntos arbitrarios y definir productos vectoriales.

2. Conexión y Métrica son conceptos independientes. Solo la condición adicional de su consistencia (es decir, cuando se requiere que el producto vectorial sea invariante cuando ambos vectores se transportan en paralelo) permite expresar la conexión a través del tensor métrico .

Volvamos a tu pregunta ahora. Todo lo que está escrito sobre$GL(n,R)$anterior está relacionado solo con la conexión . En primer lugar, permite expresar la “acción de campo” en términos de una curvatura escalar. Pero probablemente lo que más te interese no sea esto, sino las leyes de conservación relacionadas con los campos de la materia. En la teoría con funciones de partículas puntuales$\xi$(o$\psi$) se puede asociar con vectores$\frac{dx^\nu}{ds}$. No estoy seguro, pero la ley de conservación consecuente es probablemente la conservación del impulso de energía. Creo que es lo mismo en la relatividad especial donde el espacio es plano y todas las conexiones son cero, pero indirectamente la conservación de la energía-momento en SR podría ser una consecuencia de la "conservación" de la curvatura nula por las transformaciones de Lorentz (tenga en cuenta que la homogeneidad del espacio -tiempo significa curvatura cero). Sé que espera ver algunas otras cantidades conservadas similares a la conservación de la "carga eléctrica" ​​en la teoría del electrón de Dirac. Pero tenga en cuenta que en la teoría de Dirac, la conservación "global" de la "carga" es prácticamente indistinguible de la conservación de la energía-momentum. En cuanto a las teorías locales, no sé, se debe considerar un modelo concreto.

GR tiene cierto parecido formal con la teoría de calibre de Yang-Mills. Pero no es exactamente lo mismo.

Formulamos YM en términos de campos de calibre, AKA, conexiones en paquetes G en nuestro colector. También hacemos uso de una conexión cuando formulamos GR, la conexión Levi-Civita en el paquete tangente de nuestro espacio-tiempo, que está determinada por la métrica y algunas suposiciones (la métrica es covariantemente constante, sin torsión). Pero la métrica es el grado de libertad más fundamental, y no hay nada como esto en la teoría YM. (Puede hacer una integración funcional en el espacio de los campos YM con suficiente rigor matemático para satisfacer a la mayoría de los físicos, pero en 4d no es posible hacer esto con métricas).

Otra similitud: los observables en la teoría YM son invariantes del grupo de transformaciones de calibre. De manera similar, en GR, generalmente se supone que los verdaderos observables son invariantes bajo el grupo de difeomorfismos del espacio-tiempo (nota, no es lo mismo que el grupo de transformaciones de calibre para el paquete tangente). Estos observables generalmente no son observables locales, como la curvatura en un punto, sino expresiones más complicadas construidas a partir de observables locales, como el promedio de la curvatura en el espacio-tiempo. Esto también contrasta con la teoría de Yang-Mills, donde hay muchos observables locales, como la densidad de energía del campo YM en un punto.

El tema común es que tenemos que introducir extrañas variables no físicas auxiliares en ambas teorías para hacer que la localidad y la invariancia de Lorentz se manifiesten; Luego, los observables físicos se obtienen olvidando la información redundante.

El sentido preciso en el que la relatividad general es una teoría de medida se conoce (pero aparentemente se pasa por alto en gran medida) desde hace décadas. Las fuentes originales de lo que resumo a continuación son una serie de artículos de Andrzej Trautman , en particular "Fibre bundles Associated with space-time" , "On Gauge Transformations and Symmetries" y "Fiber Bundles, Gauge Fields and Gravitation". . Esta respuesta será un poco larga, ya que repite las partes esenciales de la teoría de paquetes necesarias para tener al menos una idea de lo que estamos haciendo. El resultado es este:

Tanto las teorías de Yang-Mills como la relatividad general son "teorías de calibre" si elegimos una idea de una teoría de calibre donde algún paquete, una estructura "sobre el espacio-tiempo", tiene transformaciones, y algunas de estas transformaciones pueden preservar la física que nos importa. Las teorías de Yang-Mills son casos en los que estas transformaciones se dividen claramente en "espacio-tiempo" de dimensión finita y simetrías "internas" de dimensión infinita, mientras que la relatividad general produce espacio-tiempo de dimensión infinita y ninguna simetría interna. Esta falta de simetrías internas, generalmente vista como el sello distintivo de las "teorías de calibre", explica por qué hay muchas afirmaciones de que la relatividad general "no es una teoría de calibre":

En cualquier caso, nuestra noción genérica de una teoría de calibre que abarcará tanto las teorías de tipo Yang-Mills como GR es la de un$G$-paquete principal $\pi : P\to M$sobre nuestro espacio-tiempo$M$en el que tenemos una conexión de 1 forma $\omega$.$\omega$desciende para gráficos$\phi_i : U_i \to M$sobre cual$P$es trivial para$\mathfrak{g}$-valorado 1-formas$\omega_i$en$M$, estas$\omega_i$son lo que solemos llamar "el campo de calibre". Tenemos$\omega_i = (\omega_i)_\mu^a T^a\mathrm{d}x^\mu$por$T^a$un conjunto de generadores para el grupo, el$(\omega_i)_\mu^a$son los coeficientes de conexión. En el caso de una teoría de Yang-Mills, generalmente las escribimos como$A_\mu^a$y llámelos campo de calibre o potencial de calibre.

El grupo de transformaciones de calibre.$\mathscr{G}$es el grupo de todos los automorfismos de haz$P\to P$(este grupo completo lo escribiremos como$\mathrm{Aut}(P)$) que además preservan las "estructuras fundamentales" de nuestra teoría. un difeomorfismo$f : P\to P$es un automorfismo de haz si hay un difeomorfismo de la base$\bar{f} : M \to M$tal que$\pi\circ f = \bar{f}\circ \pi$. Una transformación de calibre pura o vertical$g : P\to P$es aquel que conserva las fibras$\pi\circ g = \pi$, es decir, actúa sólo en el "espacio interno" de la teoría gauge. Llamamos al grupo de transformaciones de norma puras$\mathscr{G}_0$. Suele ocurrir que$\mathscr{G_0}$conecta configuraciones "físicamente equivalentes", mientras que$\mathscr{G}/\mathscr{G}_0$es una especie de simetría del espacio-tiempo. Tenga en cuenta que por la definición de un automorfismo paquete, tenemos un mapa$\bar{} : \mathscr{G}\to \mathrm{Diff}(M)$, y dos transformaciones de calibre que difieren solo en una transformación de calibre pura tienen la misma imagen debajo de este mapa, por lo que podemos pensar en$\mathscr{G}/\mathscr{G}_0\subset \mathrm{Diff}(M)$.

Por ejemplo, para una teoría de tipos de Yang-Mills, la estructura esencial que debe conservarse es el lagrangiano de Yang-Mills.$\mathrm{tr}(F\wedge{\star}F)$, dónde$F = \mathrm{d}_\omega \omega$es la curvatura asociada con una conexión$\omega$. Todas las transformaciones verticales conservan esto ya que la traza es invariante bajo la acción del grupo calibre, por lo que$\mathscr{G}_0$es solo todas las funciones suaves$g : P\to G$, que están en biyección con transformaciones de norma locales$g_i : U_i\to G$para trivializar parches$U_i$. la estrella hodge$\star$implica la métrica del espacio subyacente, por lo que$\mathscr{G}/\mathscr{G_0}$son solo las isometrías de$M$conectado con la identidad. ¹ Para el caso de$M=\mathbb{R}^{3,1}$y un paquete trivial$M\times G$, tenemos$\mathscr{G} = \mathscr{G}_0 \ltimes \mathrm{P}_0(3,1)$, dónde$\mathrm{P}_0$es el componente identitario del grupo de Poincaré.

Para la relatividad general, la métrica en el espacio base es dinámica y, por lo tanto, no necesitamos preservar nada. Esto hace que la teoría sea diferente desde el principio, ya que nada parece restringir realmente$\mathscr{G}/\mathscr{G}_0$. Además, el paquete principal$P$en la relatividad general es el haz de tramas $FM$, que es el conjunto de todas las elecciones posibles de bases para los espacios tangentes de$M$. Es decir, un punto en$FM$es dado por$(x,v)$, dónde$x\in M$y$v$es una base de$T_x M$. Podemos pensar en los datos necesarios para una base en términos de un isomorfismo lineal$v : \mathbb{R}^{\mathrm{dim}(M)}\to T_x M$, o como las imágenes de la base estándar$e_i$de$\mathbb{R}^n$,$v_i := v(e_i)$. En cualquier caso, el paquete de cuadros es un$\mathrm{GL}(n)$-paquete principal sobre$M$que hereda su estructura de paquete del paquete tangente: Si$\phi_i : \pi_T^{-1}(U_i) \to U_i\times\mathbb{R}^n$son una trivialización del fibrado tangente, entonces$F(\phi_i) : \pi_F^{-1}(U_i) \to U_i\times\mathrm{GL}(n), (x,v)\mapsto (x,\phi_{i,x}\circ v)$es una trivialización del paquete de tramas. Hay coordenadas naturales para el paquete de marcos inducido por un gráfico de coordenadas de$M$, lo que significa que a menudo no apreciamos realmente cuando un objeto vive en el paquete de marcos en lugar de en$M$sí mismo. ²

Ya que hemos definido$FM$a través del haz tangente$TM$, está "unido" a$TM$y por lo tanto$M$en sí mismo de una manera que no lo es un paquete principal genérico. Decimos que está soldado a$M$, y esta soldadura se expresa por la forma de soldadura $\theta_{(x,v)}(X) = v^{-1}\mathrm{d}\pi_F(X)$, el cual es un$\mathbb{R}^n$-valorado 1-formulario en$FM$. Esta forma es horizontal y equivariante, y por argumentos generales corresponde por lo tanto a una$TM$-forma valorada en$M$. La forma a la que corresponde es solo la identidad.$TM\to TM$, leído como un formulario$\mathrm{id}_x(X) = X$(o, en coordenadas,$\mathrm{id} = \delta^\mu_\nu \partial_\mu\otimes \mathrm{d}x^\nu$).

Esta forma es el objeto crucial que distingue a la relatividad general de las teorías de tipo Yang-Mills. Nos permite definir muchos de los objetos estudiados a menudo, como la curvatura de Ricci y el escalar de Ricci: podemos pensar en la forma de soldadura como una colección de$\mathbb{R}$-valorado 1-formas$\theta^\mu$. Estos forman una base de 1-formas equivariantes horizontales, es decir, tenemos$G = G_{\mu_1\dots \mu_k} \theta^{\mu_1}\wedge\dots\wedge \theta^{\mu_k}$para cualquier equivalente horizontal$k$-forma$G$y en particular$x^\ast \theta^\mu = \mathrm{d}x^\mu$para cualquier sistema de coordenadas$x$. Esto nos permite escribir cosas como$F_\omega = {{F_\omega}^\mu}_\nu {T^\nu}_\mu = {R^\mu}_{\nu\sigma\rho}{T^\nu}_\mu (\theta^\sigma\wedge \theta^\rho)$y defina el tensor de Riemann con sus cuatro índices habituales sin referencia a ningún sistema de coordenadas en particular: sus contracciones producen las cantidades habituales de interés. Para que se conserven estas construcciones, las transformaciones de calibre deben conservar la forma de la soldadura, es decir$g\in\mathscr{G}$debe cumplir$g^\ast\theta = \theta$.

Resulta que esto significa$\mathscr{G}\cong \mathrm{Diff}_0(M)$y$\mathscr{G}_0\cong \{1\}$( consulte esta respuesta mía para obtener una explicación del argumento de Trautman), es decir, el grupo de transformaciones de calibre es isomorfo al grupo de pequeños (= generados como el flujo de campos vectoriales) difeomorfismos y no contiene transformaciones de calibre puras no triviales. Esto explica a) cómo la relatividad general es una "teoría de calibre" en un sentido amplio yb) por qué a menudo encontramos la afirmación desconcertante de que el quid de la relatividad general es la "invariancia del difeomorfismo". Bajo lo que es invariante no son en realidad simples "difeomorfismos", sino transformaciones del paquete de marcos que están en biyección a estos difeomorfismos. Infinitesimalmente y para una conexión sin torsión, los generadores de estas transformaciones inducidas del haz de pórticos vienen dados por un campo vectorial$X^\mu$y sus derivadas covariantes$\nabla_\mu X^\nu$, interpretado como un$\mathfrak{gl}(n)$matriz.

notas al pie

1. Los difeomorfismos que no están conectados a la identidad no pueden, en general, levantarse para agrupar automorfismos, consulte esta respuesta de MO .

2. Un gráfico de coordenadas$x:\mathbb{R}^n\to U\subset M$define un marco$F(x)$en$U$por$e_i\mapsto \partial_i$y un marco$v$a su vez define coordenadas en$FU$expandiendo cualquier$(y,w)\in F_y M$dentro$w_i = w^j_i v_j$y el$w^j_i$son$\mathbb{R}^{n^2}$-coordenadas valoradas para$FU$, entonces usando esto para el marco$F(x)$da coordenadas$(x^\mu, w^\nu_\sigma)$. En estas coordenadas tenemos una base$T^i_j$de la parte vertical$V(FM)\subset T(FM)$dada por$T^i_j = \partial_{w^i_j}$, y expandiendo$\omega$en esta base da los símbolos de Christoffel:$\omega = \Gamma_\mu \mathrm{d}x^\mu = {{\Gamma_\mu}^\nu}_\sigma \partial_{w^\nu_\sigma} \otimes \mathrm{d}x^\mu$.

En la relatividad general, los campos de tensores (p. ej., el tensor métrico, el tensor de curvatura de Riemann, el tensor de momento de energía) no se modifican por los cambios de marcos. Los tensores no cambian naturalmente bajo cambios de marcos. Forman la base de la relatividad general y es la clave de cómo la relatividad general es generalmente covariante.

Actualizar:

Una nota sobre la invariancia de los tensores: mientras que los tensores son invariantes, sus componentes ciertamente varían bajo diferentes marcos. También hay escalares que son 'números únicos' que no cambian en absoluto.

No creo que la relatividad general pueda considerarse una teoría de calibre en absoluto. En general, no existen simetrías locales o globales en el Langrangiano de la relatividad general. Cualquier espacio-tiempo puede ocurrir en la relatividad general; solo defina el tensor de impulso de energía de acuerdo con las ecuaciones de campo de Einstein.

En arXiv:physics/9801019 , la gravedad se clasifica como una teoría de campo clásica parametrizada con métrica dinámica .

La siguiente cita es la mejor que pude encontrar a corto plazo:

Considere una teoría de campo clásica con grupo calibre$\mathcal G$. Suponer que$\mathcal G ⊂ \mathrm{Aut}(Y)$, el grupo de automorfismos del paquete de configuración covariante$Y$. Podemos distinguir dos tipos básicos de teorías de campo basadas en la relación entre el grupo de calibre$\mathcal G$y el grupo de difeomorfismo (espaciotemporal)$\mathrm{Diff}(X)$.

El primero consiste en aquellos que están parametrizados en el sentido de que el homomorfismo natural$\mathrm{Aut}(Y) \to \mathrm{Diff}(X)$dada por$η_Y \mapsto η_X$mapas$\mathcal G$sobre$\mathrm{Diff}(X)$(o al menos en un subgrupo "suficientemente grande", como los difeomorfismos de soporte compacto). Esta terminología refleja el hecho de que tal teoría es invariable bajo (esencialmente) el reetiquetado arbitrario de los puntos del parámetro "espacio-tiempo".$X$. (En la teoría de la relatividad, cf. Anderson [1967], uno diría que$X$es un objeto relativo en la teoría). La teoría parametrizada por excelencia es, por supuesto, la relatividad general, en cuyo caso$\mathcal G$es igual al grupo de difeomorfismo del espacio-tiempo.

Recomendaría mirar la llamada "teoría de la doble copia". Discute la dualidad entre calibre y gravedad en el nivel de amplitudes de transición. Un artículo arxiv de ejemplo está aquí: Gravedad cuántica perturbadora como una copia doble de la teoría de calibre o aquí: Relaciones de amplitud de calibre y gravedad