¿Existe algo similar al teorema de Noether para simetrías discretas?

Para simetrías globales continuas, el teorema de Noether proporciona una densidad de carga conservada localmente (y una corriente asociada), cuya integral en todo el espacio se conserva (es decir, independiente del tiempo).

Para simetrías discretas globales, debe distinguir entre los casos en que la carga conservada es continua o discreta. Para simetrías infinitas como las traslaciones de red, la cantidad conservada es continua, aunque periódica. Entonces, en tal caso, el impulso se conserva en los vectores de módulo en la red recíproca. La conservación es local como en el caso de las simetrías continuas.

En el caso de un grupo finito de simetrías, la cantidad conservada es en sí misma discreta. Entonces no tienes leyes locales de conservación porque la cantidad conservada no puede variar continuamente en el espacio. Sin embargo, para tales simetrías, todavía tiene una carga conservada que genera restricciones (reglas de selección) en los procesos permitidos. Por ejemplo, para las teorías de paridad invariante, puede dar a cada estado de una partícula una "carga de paridad", que es simplemente un signo, y la carga total debe conservarse para cualquier proceso; de lo contrario, la amplitud es cero.

Expresado en una oración, el primer teorema de Noether establece que una simetría continua, global y fuera de la capa de una acción$S$implica una ley local de conservación en la concha. Por las palabras on-shell y off-shell se entiende si se satisfacen o no las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange.

Ahora la pregunta es si el continuo puede ser reemplazado por discreto.

Debe enfatizarse inmediatamente que el Teorema de Noether es una máquina que para cada entrada en forma de simetría apropiada produce una salida en forma de ley de conservación. Para afirmar que un Teorema de Noether está detrás, no es suficiente enumerar solo un par de pares (simetría, ley de conservación).

Ahora bien, ¿dónde podría vivir una versión discreta del Teorema de Noether? Una buena apuesta es en un mundo reticular discreto, si se usan diferencias finitas en lugar de diferenciación. Investiguemos la situación.

Nuestra idea intuitiva es que las simetrías finitas, por ejemplo, la simetría de inversión de tiempo, etc., no se pueden usar en un Teorema de Noether en un mundo reticular porque no funcionan en un mundo continuo. En cambio, ponemos nuestras esperanzas en que se puedan usar simetrías infinitas discretas que se convierten en simetrías continuas cuando los espacios de la red llegan a cero.

Imagine por simplicidad una partícula puntual 1D que solo puede estar en posiciones discretas$q_t\in\mathbb{Z}a$en una red 1D$\mathbb{Z}a$con espaciado de celosía$a$, y esa vez$t\in\mathbb{Z}$es discreto también. (Esto fue, por ejemplo, estudiado en JC Baez y JM Gilliam, Lett. Math. Phys. 31 (1994) 205; hat tip: Edward.) La velocidad es la diferencia finita

y es discreto también. La acción$S$es

con lagrangiano$L_t$en forma

Definir impulso$p_{t+\frac{1}{2}}$como

Ingenuamente, la acción$S$debe ser extremizado wrt. rutas discretas virtuales vecinas$q:\mathbb{Z} \to\mathbb{Z}a$para encontrar la ecuación de movimiento. Sin embargo, no parece factible extraer una ecuación de Euler-Lagrange discreta de esta forma, básicamente porque no es suficiente con expandir a Taylor al primer orden en la variación$\Delta q$cuando la variación$\Delta q\in\mathbb{Z}a$no es infinitesimal. En este punto, lanzamos nuestras manos al aire y declaramos que el camino virtual$q+\Delta q$(a diferencia de la trayectoria estacionaria$q$) no tiene que estar en la red, sino que es libre de tomar valores continuos en$\mathbb{R}$. Ahora podemos realizar una variación infinitesimal sin preocuparnos por las contribuciones de orden superior,

Tenga en cuenta que la última suma es telescópica. Esto implica (con condiciones de contorno adecuadas) la ecuación discreta de Euler-Lagrange

Esta es la ecuación de la evolución. En este punto no está claro si una solución para$q:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$permanecerá en la red$\mathbb{Z}a$si especificamos dos valores iniciales en la red. De ahora en adelante restringiremos nuestras consideraciones a tales sistemas por consistencia.

Como ejemplo, uno puede imaginar que$q_t$es una variable cíclica, es decir, que$L_t$no depende de$q_t$. Por lo tanto, tenemos una simetría de traslación global discreta$\Delta q_t=a$. La corriente de Noether es el impulso$p_{t+\frac{1}{2}}$, y la ley de conservación de Noether es que el impulso$p_{t+\frac{1}{2}}$se conserva Esta es sin duda una buena observación. Pero esto no significa necesariamente que haya un Teorema de Noether detrás.

Imagina que el enemigo nos ha dado una simetría vertical global.$\Delta q_t = Y(q_t)\in\mathbb{Z}a$, dónde$Y$es una función arbitraria. (Las palabras vertical y horizontal se refieren a la traducción en el$q$dirección y la$t$dirección, respectivamente. Por simplicidad, no discutiremos las simetrías con componentes horizontales.) El candidato obvio para la corriente de Noether desnuda es

Pero es poco probable que podamos probar que$j_t$se conserva meramente por la simetría$0=S[q+\Delta q] - S[q]$, que ahora implicaría inevitablemente contribuciones de orden superior. Entonces, si bien nos detenemos antes de declarar un teorema de no-go, ciertamente no parece prometedor.

¿Tal vez tendríamos más éxito si solo discretizáramos el tiempo y dejáramos continuo el espacio de coordenadas? Podría volver con una actualización sobre esto en el futuro.

Un ejemplo del mundo continuo que puede ser bueno tener en cuenta: Considere un péndulo de gravedad simple con Lagrangian

Tiene una simetría periódica discreta global.$\varphi\to\varphi+2\pi$, pero el momento (angular)$p_{\varphi}:=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}= m\ell^2\dot{\varphi}$no se conserva si$g\neq 0$.

Mencionaste simetrías de cristal. Los cristales tienen una invariancia de traslación discreta: no es invariante bajo una traslación infinitesimal, sino invariante bajo traslación por un vector de red. El resultado de esto es la conservación del impulso hasta un vector reticular recíproco .

Hay un resultado adicional: supongamos que el propio hamiltoniano es independiente del tiempo, y supongamos que la simetría está relacionada con un operador$\hat S$. Un ejemplo sería el operador de paridad$\hat P|x\rangle = |-x\rangle$. Si este operador es una simetría, entonces$[H,P] = 0$. Pero como el conmutador de un operador con el hamiltoniano también te da la derivada, tienes$\dot P = 0$.

En realidad, hay analogías o generalizaciones de resultados que se reducen a los teoremas de Noether en casos habituales y que se cumplen para simetrías discretas (y no necesariamente discretizadas ) (incluidas las simetrías tipo CPT )

Por ejemplo, consulte: Anthony CL Ashton (2008) Leyes de conservación y simetrías sin mentiras para PDE lineales, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 15:3, 316-332, DOI: 10.2991/ jnmp.2008.15.3.5

Resumen Presentamos un método para construir leyes de conservación para una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales. En contraste con el resultado clásico de Noether, las corrientes conservadas son generadas por cualquier simetría del operador, incluidas las del tipo no-Lie. Se hace un ejemplo explícito de la ecuación de Dirac donde usamos nuestra construcción para encontrar una clase de leyes de conservación asociadas con un álgebra de Lie de 64 dimensiones de simetrías discretas que incluye CPT.

El camino seguido es una relajación sucesiva de las condiciones del teorema de Noether sobre simetrías continuas (Lie), que generalizan el resultado en otros casos.

Por ejemplo (desde arriba), énfasis, adiciones mías:

La conexión entre la simetría y las leyes de conservación ha sido inherente a toda la física matemática desde que Emmy Noether publicó, en 1918, su trabajo enormemente influyente que vincula las dos. ..[M]uchos han presentado enfoques para estudiar las leyes de conservación, a través de una variedad de medios diferentes. En cada caso, una ley de conservación se define como sigue.

Definición 1. Dejar$\Delta[u] = 0$ser un sistema de ecuaciones dependiendo de las variables independientes$x = (x_1, \dots , x_n)$, las variables dependientes$u = (u_1, \dots , u_m)$y derivados de los mismos. Entonces una ley de conservación para$\Delta$se define por algunos$P = P[u]$tal que:

$${\operatorname{Div} P \; \Big|}_{\Delta=0} = 0 \tag{1.1}$$

dónde$[u]$denota las coordenadas en el$N$-th chorro de$u$, con$N$arbitrario.

El teorema [original] de Noether es aplicable en el caso [especial] donde$\Delta[u] = 0$surge como la ecuación de Euler-Lagrange a un problema variacional asociado. Es bien sabido que una PDE tiene una formulación variacional si y solo si tiene una derivada de Frechet autoadjunta . Es decir: si el sistema de ecuaciones$\Delta[u] = 0$es tal que$D_{\Delta} = {D_{\Delta}}^*$entonces se aplica el siguiente resultado.

Teorema (Noether). Para un problema variacional no degenerado con$L[u] = \int_{\Omega} \mathfrak{L} dx$, la correspondencia entre clases de equivalencia no triviales de simetrías variacionales de$L[u]$y las clases de equivalencia no trivial de las leyes de conservación es uno a uno.

[..]Dado que [el conjunto general de simetrías] es mucho mayor que las consideradas en el trabajo clásico de Noether, existe potencialmente una correspondencia aún más fuerte entre la simetría y las leyes de conservación para las EDP[..]

Definición 2. Decimos el operador$\Gamma$es una simetría de la PDE lineal$\Delta[u] \equiv L[u] = 0$si existe un operador$\alpha_{\Gamma}$tal que:

$$[L, \Gamma] = \alpha_{\Gamma} L$$ dónde $[\cdot, \cdot]$denota el conmutador por composición de operadores por lo que $L \Gamma = L \circ \Gamma$. Denotamos el conjunto de todas estas simetrías por $sym(\Delta)$.

Corolario 1. Si$L$es auto-adjunto o sesgado-adjunto, entonces cada$\Gamma \in sym(L)$genera una ley de conservación.

En concreto, para la Ecuación de Dirac y la simetría CPT se deriva la siguiente ley de conservación ( ibíd. ):

Pensamientos aleccionadores:

Las leyes de conservación no están relacionadas con ninguna simetría , a decir verdad. Para un sistema mecánico con N grados de libertad siempre hay N cantidades conservadas. Son combinaciones complicadas de las variables dinámicas. Su existencia es abastecida de la existencia de las soluciones del problema.

Cuando hay una simetría, las cantidades conservadas tienen un aspecto más simple.

EDITAR: No sé cómo te enseñan, pero las leyes de conservación no están relacionadas con el teorema de Noether. Este último solo muestra cómo construir algunas de las cantidades conservadas del problema Lagrangiano y las soluciones del problema. Cualquier combinación de cantidades conservadas también es una cantidad conservada. Entonces, lo que da Noether no es único en absoluto.

No, porque las simetrías discretas no tienen una forma infinitesimal que dé lugar a la (característica de) ley de conservación. Ver también este artículo para una discusión más detallada.

Como se dijo antes, esto depende del tipo de simetría 'discreta' que tenga: si tiene una simetría discreta de buena fe , como por ejemplo$\mathbb{Z}_n$, entonces la respuesta es negativa en el contexto de los teoremas de Nöther, aunque hay conclusiones que puedes sacar, como explicó Moshe R ..

Sin embargo, si está hablando de una simetría discretizada, es decir, una simetría continua (global o local) que ha sido discretizada de alguna manera, entonces tiene un análogo al teorema(s) de Nöther à la Regge cálculo. Una buena charla que presenta algunos de estos conceptos es Formas diferenciales discretas, teoría de calibre y cálculo de Regge (PDF) : la conclusión es que debe encontrar un esquema de diferencias finitas que conserve su estructura diferencial (y/o de calibre).

Existe una gran literatura sobre esquemas de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales).

Quizás,

http://www.technologyreview.com/blog/arxiv/26580/

No soy un experto, pero leí esto hace unas semanas. En ese documento, consideran una red 2d y construyen un análogo de energía. Muestran que se comporta como debería ser la energía, y luego concluyen que para que esta energía se conserve, el espacio-tiempo tendría que ser invariable.

Ver:

• John David Logan, “ Primeras integrales en el cálculo variacional discreto ”, Æquationes Mathematicæ 9, no. 2 (1 de junio de 1973): 210–20. DOI: 10.1007/BF01832628 .

  La intención de este artículo es mostrar que las primeras integrales de la ecuación de Euler discreta se pueden determinar explícitamente investigando las propiedades de invariancia de la lagrangiana discreta. El resultado obtenido es un análogo discreto del teorema clásico de E. Noether en el Cálculo de Variaciones.

Si podemos incrustar alguna simetría discreta como$\mathbb{Z}/N$a través de la incrustación de una simetría continua$U(1)$, entonces primero podemos derivar el teorema de Noether para la simetría continua$U(1)$. A continuación podemos encontrar la versión conservada discretizada de la corriente de Noether que debe conservarse con valores mod$N$.

Será interesante saber si este pensamiento se aplica a la simetría no abeliana discreta mediante la incorporación a un grupo de simetría continua no abeliana y volver a realizar el mismo procedimiento.

La conservación de la carga eléctrica es una simetría "discreta". Los quarks y antiquarks tienen cargas eléctricas fraccionarias discretas (±1/3, ±2/3), los electrones, los positrones y los protones tienen cargas enteras.