Evolución unitaria incluso después de trazar grados de libertad

La respuesta a su pregunta es un poco sutil y tiene que ver con las diversas formas en que podemos ignorar los grados de libertad en la física. Una forma, como mencionó, es si tiene un sistema que interactúa con su entorno pero no le importa el estado del entorno. Luego, puede realizar un seguimiento parcial de los estados ambientales y obtener una matriz de densidad reducida que describa el estado cuántico del sistema. Esta matriz de densidad reducida$not$evolucionar unitariamente.

Sin embargo, hay otra forma de eliminar grados de libertad para simplificar su problema. Esto se llama integrar variables/campos. Supongamos que tiene una teoría que funciona con una energía arbitrariamente alta, pero solo le importan las excitaciones de baja energía de su sistema. Puede "integrar" los modos de alta energía de su sistema y obtener una teoría de campo efectivo de baja energía que aún es unitaria (siempre que permanezca en baja energía). Si está familiarizado con QFT, un ejemplo común de esto es la teoría de los Cuatro Fermi obtenida al integrar los bosones W y Z muy pesados ​​del modelo estándar.

La razón por la que puedes integrar los bosones W y Z a baja energía es que son extremadamente masivos en comparación con las otras partículas de la teoría. Por lo tanto, a baja energía nunca se pueden producir. Entonces, cuando integras la W y la Z, en realidad no estás ignorando nada.$physical$como si realizara un seguimiento parcial de un entorno. (Si estuviera trabajando a energías lo suficientemente altas como para producir bosones W y Z, estaría ignorando las partículas físicas, por lo que su teoría ya no sería unitaria).

Para usar un ejemplo que mencionó: ¿por qué no puede integrar los campos EM para obtener una teoría efectiva para los átomos de hidrógeno? La razón es que los fotones no tienen masa, por lo que no importa en qué energías esté trabajando, siempre se pueden crear fotones. Por lo tanto, la integración de fotones implicaría ignorar los objetos físicos y daría como resultado un comportamiento no unitario.

En resumen: hay dos formas de ignorar los grados de libertad:

(1) Si ignora las cosas físicas, por ejemplo, a través de rastros parciales, entonces no tendrá un comportamiento unitario.

(2) Si está trabajando con baja energía pero simplifica su teoría ignorando la física de alta energía, entonces puede obtener una teoría efectiva de baja energía que es unitaria. Sin embargo, si lleva esta teoría de baja energía a alta energía, (generalmente) no será unitaria.

Matemáticamente es bastante simple: si su sistema general es unitario$U_{tot}$se puede expresar como$U_{tot} = U_1 \otimes U_2$, entonces los subsistemas 1 y 2 tienen evolución unitaria incluso cuando rastreas al compañero.

El conteo de parámetros puede darle una idea muy aproximada de cuán fácil o difícil es esto. Por ejemplo, en un sistema de 2 qubits, el operador unitario general tiene 16 parámetros libres. Un unitario de 1 qubit tiene 4 parámetros. Entonces, la dimensionalidad total del espacio separable de los unitarios es 8 de las 16 dimensiones totales. A medida que su sistema se hace más grande, el unitario separable se convierte en un subespacio cada vez más pequeño del sistema total. En el mundo real, por supuesto, esto es una gran simplificación. Algunos de esos parámetros son automáticamente pequeños o cero, otros son muy difíciles de controlar.

Sin embargo, no existe ningún límite intrínseco conocido a la precisión con la que un subsistema puede hacerse unitario. Incluso su ejemplo de un átomo en un estado excitado no es tan limitado. La emisión espontánea es un proceso unitario y reversible, por lo que podemos controlarlo. Al colocar un átomo en una cavidad, es posible suprimir o mejorar la tasa de emisión espontánea. Esto se conoce como el Efecto Purcell . El límite último de la vida atómica viene dado por lo bien que se puede diseñar la cavidad.