¿Es posible una "tercera cuantización"?

Question

¿Es posible una "tercera cuantización"?

Física
cuantización
segunda cuantización
teoría cuántica de campos

Tobias Kienzler

Mecanica clasica: $t\mapsto \vec x(t)$ , el mundo se describe mediante trayectorias de partículas $\vec x(t)$ o $x^\mu(\lambda)$ , es decir, el vector de Hilbert es la función de coordenadas de partículas $\vec x$ (o $x^\mu$ ), que luego se proyecta en el espacio parametrizado por el tiempo "coordenado" $t$ o el parámetro relativista $\lambda$ (que no es necesariamente monótono en $t$ ).
Interpretación: Para cada valor de parámetro, se describe la coordenada de una partícula.
Determinista: la posición de la partícula en sí misma
Mecánica cuántica: $x^\mu\mapsto\psi(x^\mu)$ , (a veces llamado "la primera cuantización ") produce la mecánica cuántica , donde el vector de Hilbert es la función de onda (siendo un campo) $|\Psi\rangle$ que se proyecta, por ejemplo, en el espacio de coordenadas, por lo que los parámetros son $(\vec x,t)$ o $x^\mu$ .
Interpretación: para cada coordenada, el campo cuántico describe la densidad de carga (o la probabilidad de medir la partícula en esa posición si te apegas a la teoría no relativista).
Determinista: La función
de onda No determinista: La posición de la partícula
Teoría cuántica de campos : $\psi(x^\mu)\mapsto \Phi[\psi]$ , (llamada la segunda cuantización a pesar de que ahora el campo de onda está cuantizado, no las coordenadas por segunda vez) básicamente produce un funcional $\Phi$ como vector de Hilbert proyectado en el espacio de campo cuántico parametrizado por las funciones de onda $\psi(x^\mu)$ .
Interpretación: para cada función de onda posible, la (que yo sepa, sin nombre) $\Phi$ describe algo así como la probabilidad de que ocurra esa función de onda (lo siento, no sé cómo formular esto mejor, en realidad no es una probabilidad). Un efecto es, por ejemplo, la generación de partículas, por lo que la noción de "partícula" es sospechosa ahora
determinista: el funcional $\Phi$ No determinista: la función de onda $\psi$ y la posición de "partícula"

Ahora bien, ¿podría haber una tercera cuantización $\Phi[\psi(x^\mu)] \mapsto \xi\{\Phi\}$ ? ¿Qué significaría? ¿Y qué hay de la cuarta, quinta,... cuantización? ¿O la segunda cuantización es algo definitivo?

Kostya

Hasta donde yo sé, "segunda cuantización" es solo un término obsoleto, usado tradicionalmente. Véase, por ejemplo , aquí .

DanielSank

Creo que puede estar haciendo que la segunda cuantificación sea más de lo que es. Eche un vistazo aquí ( physics.stackexchange.com/questions/122570/… ) donde explico que la segunda cuantización simplemente no es ser estúpido sobre cómo escribir estados de sistemas con múltiples excitaciones.

Tobias Kienzler

@DanielSank Gran respuesta que publicaste allí :) Sin embargo, en tu explicación estás asumiendo estados suficientemente distinguibles (aunque no necesariamente no interactivos) que pueden tomar (cantidad fija de) partículas, estados que dependen en gran medida del sistema considerado. Lo que quiero decir es la idea muy general de que al igual que

| 1 ⟩

$|1\rangle$ se puede representar como

\int d^{3} x | x ⟩ \underset{= ψ_{1} (x)}{\underset{⏟}{⟨ x | 1 ⟩}}

$\int\,d^3x\,|x\rangle\underbrace{\langle x|1\rangle}_{=\psi_1(x)}$ , el estado multipartícula

| 112 ⟩

$|112\rangle$ es algo como

\int D ψ | ψ (x) ⟩ \underset{=: Φ (ψ)}{\underset{⏟}{⟨ ψ (x) | 112 ⟩}}

$\int\mathcal D\psi\,|\psi(x)\rangle\underbrace{\langle\psi(x)|112\rangle}_{=:\Phi(\psi)}$ ...

Tobias Kienzler

... Sin embargo, su punto me inspira a afirmar que la generalización "obvia" a la "tercera" cuantización sería de "partícula única en estados distinguibles" a través de "partículas indistinguibles en estados" a "varias partículas en estados de partículas distinguibles", es decir, una cuantización del tipo de partículas, que sería básicamente Teoría de Cuerdas...

DanielSank

@TobiasKienzler: Si se entiende que "partícula" significa "excitación de un modo", entonces no sé si lo que está proponiendo ahora es realmente un tipo diferente de cuantización. Creo que es solo una reasignación de lo que llamas "modos".

Tobias Kienzler

@DanielSank Precisamente: básicamente, una interpretación podría ser la primera cuantificación: modos individuales por partícula, la segunda cuantificación: los "modos" son las diversas poblaciones de conjuntos, la tercera cuantificación: modos = qué campos de partículas se excitan en un campo-campo (o "supercampo" quizás)

DanielSank

@TobiasKienzler: Está bien. Para ser claros, la primera cuantificación está fundamentalmente rota, mientras que la segunda cuantificación y otras cosas similares (por ejemplo, su idea propuesta) tienen sentido.

Respuestas (9)

¿Es posible una "tercera cuantización"?

Hasta donde yo sé, "segunda cuantización" es solo un término obsoleto, usado tradicionalmente. Véase, por ejemplo , aquí .
Creo que puede estar haciendo que la segunda cuantificación sea más de lo que es. Eche un vistazo aquí ( physics.stackexchange.com/questions/122570/… ) donde explico que la segunda cuantización simplemente no es ser estúpido sobre cómo escribir estados de sistemas con múltiples excitaciones.
@DanielSank Gran respuesta que publicaste allí :) Sin embargo, en tu explicación estás asumiendo estados suficientemente distinguibles (aunque no necesariamente no interactivos) que pueden tomar (cantidad fija de) partículas, estados que dependen en gran medida del sistema considerado. Lo que quiero decir es la idea muy general de que al igual que $|1\rangle$ se puede representar como $\int\,d^3x\,|x\rangle\underbrace{\langle x|1\rangle}_{=\psi_1(x)}$ , el estado multipartícula $|112\rangle$ es algo como $\int\mathcal D\psi\,|\psi(x)\rangle\underbrace{\langle\psi(x)|112\rangle}_{=:\Phi(\psi)}$ ...
... Sin embargo, su punto me inspira a afirmar que la generalización "obvia" a la "tercera" cuantización sería de "partícula única en estados distinguibles" a través de "partículas indistinguibles en estados" a "varias partículas en estados de partículas distinguibles", es decir, una cuantización del tipo de partículas, que sería básicamente Teoría de Cuerdas...
@TobiasKienzler: Si se entiende que "partícula" significa "excitación de un modo", entonces no sé si lo que está proponiendo ahora es realmente un tipo diferente de cuantización. Creo que es solo una reasignación de lo que llamas "modos".
@DanielSank Precisamente: básicamente, una interpretación podría ser la primera cuantificación: modos individuales por partícula, la segunda cuantificación: los "modos" son las diversas poblaciones de conjuntos, la tercera cuantificación: modos = qué campos de partículas se excitan en un campo-campo (o "supercampo" quizás)
@TobiasKienzler: Está bien. Para ser claros, la primera cuantificación está fundamentalmente rota, mientras que la segunda cuantificación y otras cosas similares (por ejemplo, su idea propuesta) tienen sentido.

grisha kirilin · Answer 1

Una respuesta más contra la "segunda cuantización", porque creo que es una buena demostración de cómo una notación poco convincente puede oscurecer un significado físico.

La primera declaración es : no hay una segunda cuantización. Por ejemplo, aquí hay una cita del libro de Steven Weinberg " The Quantum Theory of Fields " Vol.I:

Sería bueno que la expresión engañosa "segunda cuantización" se retirara de forma permanente.

[Incluso diría que no hay cuantización en absoluto, como un procedimiento para pasar de la teoría clásica a la cuántica, porque (por ejemplo) la mecánica cuántica de una sola partícula es más fundamental que la mecánica clásica, por lo tanto, se pueden derivar todos los "clásicos". ” resulta de QM pero no viceversa. Pero entiendo que es una respuesta demasiado especulativa.]

Existe un procedimiento llamado “cuantización canónica”, que se utiliza para construir una teoría cuántica para un sistema clásico que tiene dinámica hamiltoniana, o más generalmente, para construir una teoría cuántica que tiene un cierto límite clásico.

En este caso, si por la “cuantización canónica” de un sistema hamiltoniano con un número finito de grados de libertad (mecánica clásica) implicas una mecánica cuántica (QM) con un número fijo de partículas, entonces la teoría cuántica de campos (QFT) es la “cuantificación canónica”. cuantización” de un sistema hamiltoniano clásico con un número infinito de grados de libertad: teoría de campos clásica, no mecánica cuántica . Para tal procedimiento, no hay diferencia entre la cuantificación de los modos del campo electromagnético y la cuantificación de los modos vibratorios de la superficie de la gota de helio superfluido.

Una cita más del libro de Weinberg:

Los campos de ondas $\phi$ , $\varphi$ , etc., no son amplitudes de probabilidad en absoluto...

Es útil tener en cuenta la siguiente analogía: las coordenadas son la “configuración clásica” de una partícula. Función de onda QM $\psi(x)$ corresponde al “manchado” de una partícula cuántica sobre todas las “configuraciones clásicas” posibles. Función de onda QFT $\Psi(A)$ corresponde a la "mancha" de un campo cuántico sobre todas las configuraciones posibles de un campo clásico $A$ . Operador $\hat{A}$ corresponde a lo observable $A$ de la misma manera que observable $x$ está representado por operadores hermitianos $\hat{x}$ en QM.

La segunda declaración es : la "cuantización canónica" es irrelevante en el contexto de la teoría fundamental. QFT es la única forma de casar la mecánica cuántica con la relatividad especial y se puede contratar sin hacer referencia a ninguna "muleta clásica".

Conclusión : No hay ninguna secuencia de "cuantizaciones" (1ª, 2ª,... nª).

Realmente no tenía la intención de que esto fuera un renacimiento del término "segunda cuantificación", sé que es "malo". Pero aún así, ¿por qué no debería haber un siguiente paso? QFT es la teoría cuántica de campos, pero también su Lagrangiano "clásico" describe la ecuación de movimiento para campos QM, por ejemplo, la ecuación de Dirac. En QM, la función de onda se suele utilizar como descripción básica para luego obtener, por ejemplo, valores esperados, mientras que en QFT se suele empezar directamente con funciones de correlación/valores esperados. Sin embargo, también es un funcional de onda y un lagrangiano cuántico posible, ¿qué sucede si lo cuantificas nuevamente?
@Tobias: ¿Pero por qué harías eso? Más importante aún, ¿qué objeto obtendrías si hicieras eso? Permítanme intentar resumir una historia larga, amputada: la métrica de Jacobi está dada por $\tilde{g}_E = \sqrt{2 (E - V(q))}$ , dónde $V$ es la energía potencial para su sistema (ya sean partículas, campos, etc.). Una vez que vuelva a escribir su Lagrangiano en términos de la métrica de Jacobi, mapee el flujo hamiltoniano en el geodésico. La conclusión es que los ecuaciones de movimiento, ahora, tienen un significado geométrico muy claro. (continúa…)
(continuando…) Este significado geométrico se da al notar que la Curvatura es realmente la cantidad relevante en este juego. La pregunta, entonces, es la siguiente: ¿Qué obtendrías si hicieras lo que quieres? Bien, sigue adelante y cuantiza de nuevo... ¿qué tipo de estructuras obtienes? ¿Qué representan? Insinué esto en mi respuesta anterior ...
Tobias, no entiendes mi punto de vista (en realidad, el de Weinberg). En el contexto de la "cuantización canónica", el "Lagrangiano clásico" de QFT describe la ecuación de movimiento para campos clásicos, no amplitudes de probabilidad. $\psi(x)$ . De hecho, no es posible realizar una "cuantización canónica" para la ecuación de Dirac de forma estrictamente matemática (todos los intentos son una especie de trampa), es por eso que debemos considerar Dirac QF en el contexto de la segunda declaración que hice. No hay dos pasos, solo uno: la teoría cuántica.
Una cita más de Weinberg (realmente me gusta su "La teoría cuántica de los campos", porque es bastante simple y consistente): Desde el punto de vista adoptado aquí, la ecuación de Dirac de partículas libres no es más que un registro invariante de Lorentz de la convención que hemos usado al juntar las dos representaciones irreducibles del grupo de Lorentz ortocrónico propio para formar un campo que se transforma simplemente también bajo inversión espacial.
Y una más (perdón): La ecuación de Dirac para un electrón en un campo electromagnético externo, que históricamente apareció casi al comienzo de la mecánica cuántica relativista, no se ve aquí hasta el Capítulo 14, sobre problemas de estado ligado, porque esta ecuación no debería ser visto (como lo hizo Dirac) como una versión relativista de la ecuación de Schrödinger, sino más bien como una aproximación a una verdadera teoría cuántica relativista, la teoría cuántica de campos de fotones y electrones.
@ Grisha Kirilin - ''Weinberg... es... simple''. ¿Eres Wilczek disfrazado?

yuggib · Answer 2

La (primera) cuantización es un sólido procedimiento matemático: generalmente se asocia a una función de dos variables $a(x,\xi):\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ , un operador $a(x,D_x)$ ( $D_x$ es la derivación multiplicada por $-i$ ) en $L^2(\mathbb{R}^d)$ . Hay varios tipos de cuantización (por ejemplo, Weyl, Wick, Anti-Wick, Born-Jordan) que tratan de manera diferente las ambigüedades en el orden del operador de multiplicación. $x$ y la derivacion $D_x$ . La interpretación física en la mecánica cuántica es sencilla: una función clásica de posición y momento corresponde a un operador (dependiendo de las variables canónicas cuánticas) en el espacio de Hilbert.

El espacio de Fock de la teoría cuántica de campos es una suma infinita de espacios de Hilbert, cada uno producto tensorial del espacio de una partícula ( $L^2$ ), debidamente simetrizada. Debido a su estructura particular, a un operador dado en el espacio de una partícula se le puede asociar un operador en el espacio de Fock completo. Este procedimiento puede volver a ser riguroso desde un punto de vista matemático y se denomina segunda cuantificación. El nombre se debe a la analogía con la cuantización descrita anteriormente: el operador de una partícula es el análogo de la función de espacio de fase, y el operador en el espacio de Fock completo depende de las variables canónicas, es decir, los operadores de creación y aniquilación. Es posible cuantificar primero una función del espacio de fase y luego cuantificar el resultado para obtener un operador del espacio de Fock.

Esto es solo una cuestión de terminología; sin embargo, es el procedimiento estándar utilizado para deducir la estructura de los sistemas cuánticos, a partir de lo que podemos observar fácilmente (los análogos clásicos). La cuantización también es una herramienta matemática muy poderosa, incluso si puede verse como lo opuesto a cómo funciona la naturaleza.

El espacio de Fock se puede construir a partir de cualquier espacio de Hilbert separable, y el espacio de Fock es un espacio de Hilbert separable. Entonces podemos pensar en un espacio Fock de espacios Fock. Dejar $\Gamma(L^2)$ ser el primer espacio Fock, y $\Gamma(\Gamma(L^2))$ el segundo. Entonces la segunda cuantización de un operador en $\Gamma(L^2)$ daría como resultado un operador en $\Gamma(\Gamma(L^2))$ , y podemos llamarlo la tercera cuantización del operador. Obviamente esta idea puede ser iterada para obtener $n$ ª cuantización. Pero, aparte de ser una curiosidad matemática, no tengo ni idea de cuál puede ser la interpretación física de estas cuantizaciones adicionales.

Para obtener información matemática sobre el procedimiento de la segunda cuantización, consulte, por ejemplo, el segundo volumen del libro de Reed y Simon. Para la primera cuantización se pueden consultar los libros de Hormander "análisis de operadores diferenciales parciales lineales", especialmente el capítulo XVIII; pero este libro necesita mucha base matemática.

Daniel · Answer 3

Estoy de acuerdo con Kostya en que estos nombres están en desuso y, en este sentido, deben evitarse (el libro de A. Zee, "QFT in a Nutshell", expone este punto de manera bastante directa).

Ahora, si piensas en el proceso de "cuantización" como un funtor , llegas a las construcciones de Baez. Pero tenga en cuenta que los objetos sobre los que actúa este 'funtor de cuantización' se vuelven progresivamente diferentes de lo que puede estar esperando.

Un ejemplo que me viene a la mente es la cuantización de gerbes , que aparece en la física de alta energía (ver la sección 3 de Geometric Langlands From Six Dimensions ). Pero estos objetos son muy poco intuitivos desde el punto de vista de la Física: ni siquiera obtienes una Acción asociada a esta construcción.

Entonces, en este punto, lo más lejos que nos hemos movido en esta dirección es la Teoría de Campos de Cuerdas. Pero, en cierto sentido, la "cuantización" sigue siendo un misterio...

Philip Gibbs - inactivo · Answer 4

En el contexto de la teoría cuántica de campos, el consejo de Weinberg de ignorar el término "segunda cuantización" es un buen consejo. Sin embargo, para ir más allá de la teoría cuántica de campos todo vale y algunas personas han promovido la idea de la cuantización múltiple como una idea especulativa que podría ser fructífera. No es una idea popular como puede ver en las otras respuestas, pero la respuesta a esta pregunta no estaría completa sin mencionarla.

Tenga en cuenta que el término "tercera cuantización" se usa en el contexto de la cosmología cuántica y en realidad no significa una cuantización adicional después de la segunda cuantización. Si desea obtener información sobre la realidad, intente buscar términos como "cuantificación múltiple", "cuantificación iterada", "cuantificación repetida", "cuarta cuantificación" o "cuantificación infinita" (e ignore todo lo relacionado con la compresión de datos).

Encontrará que los resultados son especulativos, variados e incompletos, pero no siempre totalmente locos. No creo que la gente deba entusiasmarse demasiado con la idea, pero tampoco debe descartarse alegremente. Es algo que debe tener en cuenta si está tratando de comprender la estructura de las teorías sobre la gravedad cuántica, por ejemplo.

asanlua · Answer 5

Vaya, esa es una muy buena pregunta. Desafortunadamente, no puedo escribir una pregunta porque no tengo una.

Sin embargo, traté de encontrar algo relacionado con la tercera cuantización en arxiv y, sorprendentemente (o no tan sorprendentemente), puedes encontrar algunos documentos relacionados con este nuevo paso.

Sólo para nombrar unos pocos:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606021

http://arxiv.org/abs/hep-th/9212044

Realmente espero que alguien pueda obtener una respuesta completa aquí.

+1 Esos son algunos buenos hallazgos. Luego también me topé con la enésima cuantización (Baez) y Strominger, Tercera Cuantización (y Discusión) , este último sugiriendo (después de un breve vistazo solamente) que la tercera cuantización cuantificaría el espacio-tiempo como resultado de la teoría de Cuerdas...
La descripción funcional de la cuantización de Báez, aunque agradable, no incluye la mecánica clásica como uno de los pasos. Mi opinión personal sobre esta pregunta es que "primera cuantificación" y "segunda cuantificación" son en realidad nombres inapropiados porque describen procesos matemáticos muy diferentes. Si nadie más viene, podría intentar expandir esto en una respuesta.

Lawrence B Crowell · Answer 6

La segunda cuantización es una forma de reformular las cosas. La segunda cuantización define los campos sobre el espacio de Fock, por lo que anteriormente las ondas ahora son parámetros de amplitudes de campo. Escuché que la teoría de cuerdas se llama "tercera cuantización", pero tal como yo lo veo, probablemente sea un abuso del lenguaje. En un momento en que las membranas se consideraron por primera vez, el término cuarta cuantización se planteó varias veces, aunque creo que más en broma.

Al final, todo es solo cuantización, y Weinberg probablemente tenga razón al ignorar el orden numérico de la cuantización. Escribiendo QM no relativista de acuerdo con $a$ y $a^\dagger$ algunos lo llaman segunda cuantización, pero en realidad nada ha cambiado mucho.

Arnold Neumaier · Answer 7

Por lo que yo entiendo, la teoría de cuerdas es la cuantización de una teoría cuántica de campos conforme, tratada como una teoría clásica, aparentemente de la misma manera que un campo cuántico espinoso es la cuantización de la partícula de Dirac, tratada como un campo clásico. Por lo tanto, es un ejemplo destacado de tercera cuantización.

wsc · Answer 8

Hay un artículo bastante interesante en el que usan un truco que llaman "Tercera cuantificación" para estudiar sistemas abiertos de fermi.

http://iopscience.iop.org/1367-2630/10/4/043026 (¡nada menos que acceso abierto!)

No es exactamente lo que tiene en mente, pero como lo ilustran claramente todas estas otras respuestas, la "tercera cuantización" no es realmente un canon entre los físicos.

También se puede encontrar en arXiv: arxiv.org/abs/0801.1257 .

Jimbo · Answer 9

3rd Quant NO solo es posible, sino que ahora se está empleando para desarrollar una teoría cuántica del Multiverso. Inventado por primera vez hace 60 años por Nambu, se empleó por primera vez en la teoría de cuerdas (Strominger), como necesario para describir el cambio de topología, en analogía con el segundo cuanto, que se usa para explicar la creación/aniquilación de partículas.

Estoy de acuerdo con @Tobias Kleinzier, sería bueno si diera una referencia, para que podamos creer esta idea tan exótica.
Tercer trato de cuantización con multiverso ver, Mod. física Letón. A27: 1250007, 2012, Phys.Lett.B683:1-6,2010, Phys.Rev.D81:083529,2010, Int.J.Mod.Phys. D23 (2014) 1450043 Cuarto trato de cuantización con multi-multiverso ver, Phys. Letón. B727: 536, 2013

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