¿Distribución de probabilidad gaussiana?

Creo que esto se puede atribuir al teorema del límite central , que establece que una gran cantidad de muestras de una población con una varianza bien definida seguirán una distribución gaussiana. La idea clave es que, debido a la mecánica cuántica, debemos tratar tanto la posición como el momento como variables aleatorias ; el principio de incertidumbre nos da una relación entre la varianza de las dos cantidades.

No podemos hablar de la "fórmula para la posición" per se ; sin embargo, podemos derivar una fórmula determinista para la función de onda , que representa la densidad de probabilidad de estas variables aleatorias. La forma exacta de la función de onda depende del problema, pero generalmente (en principio) puede obtenerse de la ecuación de Schrödinger .

Wikipedia tiene una buena reseña de la partícula libre . El hamiltoniano para una partícula libre con momento fijo$\mathbf{p}$es$\mathcal{H} = \mathbf{p}^2/2m$(el potencial es cero). Los estados propios de este hamiltoniano son ondas planas en posición-espacio (es decir, sus funciones de onda oscilan en el espacio y el tiempo):

Para sistemas más complejos, el hamiltoniano no siempre se conoce con exactitud; este suele ser el caso en sistemas de múltiples partículas, como los átomos. En otros casos, el hamiltoniano se conoce pero no se puede resolver analíticamente.

No es correcto que la distribución de probabilidad de$x$y$p$son gaussianas en general.

Tome un sistema simple de una partícula que se mueve en algún potencial$V(x)$.

La distribución de probabilidad de$x$es el cuadrado de la función de onda$\Psi(x)$de la partícula, es decir, la probabilidad de encontrar su partícula en$[x,x+dx]$es$|\Psi(x)|^2dx$.

La distribución de probabilidad de$p$es el cuadrado de la función de onda espacio-momento$\Psi(p) = \int dx \Psi(x) e^{ipx}$(la transformada de Fourier de$\Psi(x)$).

Sólo cuando la función de onda$\Psi(x)$es una gaussiana en la que el principio de incertidumbre se minimiza, es decir$\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2}$. Ver ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Uncertainty_principle ) para una prueba de que$\frac{\hbar}{2}$es el límite inferior.

Ahora, ¿por qué exactamente el Gaussiano? Para minimizar el producto de incertidumbre, necesitamos una función de onda que esté lo suficientemente bien localizada tanto en el espacio real como en el espacio de Fourier. Si comprimimos una función en el espacio real y la ensanchamos en el espacio de Fourier y viceversa. La gaussiana resulta ser la única función que mantiene su 'forma' cuando se transforma Fourier, es decir, la transformada de Fourier de una gaussiana (con varianza$\sigma^2$) es simplemente otra Gaussiana (con varianza$1/(4\sigma^2)$) y el producto de la varianza (incertidumbre) sigue siendo una constante independiente de$\sigma$.

Finalmente, existen muchos sistemas donde el principio de incertidumbre no se minimiza. El ejemplo más simple es una 'partícula en una caja' ( http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box ). Aquí el estado fundamental tiene$\sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2} \times \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2}$