Desplazamiento Doppler y cambio en la intensidad de una onda de sonido

En este tipo de problemas hay que tener mucho cuidado al definir las intensidades. En este caso hay 4 intensidades diferentes: 1.$I_{ss}$, la intensidad recibida por el observador estático tal como la percibe él mismo, 2.$I_{ms}$, la intensidad recibida por el observador en movimiento tal como la percibe un observador estático. 3$I_sm$, la intensidad recibida por el observador estático tal como la percibe el observador en movimiento y 4$I_mm$, la intensidad recibida por el observador en movimiento tal como la percibe él mismo.

Estás tratando de comparar$I_{mm}$a$I_{ss}$. Estas son intensidades de dos marcos de referencia diferentes y, por lo tanto, incomparables. deberías estar comparando$I_{ms}$a$I_{ss}$o$I_{mm}$a$I_{sm}$.

La forma más fácil de ver qué sucede con la intensidad cuando uno se acerca a una fuente es compararla con alguien que dispara bolas de pintura a dos observadores. Uno parado y el otro acercándose al tirador. En$t=0$los dos observadores están a la misma distancia del tirador. Después de un tiempo$\Delta t$, el observador estático ha recibido$N=\Delta t F$bolas de pintura., donde el fundente$F$es el número de bolas de pintura por segundo disparadas al observador. El observador en movimiento habrá sido golpeado por más bolas de pintura, porque durante el tiempo$\Delta t$se ha mudado$\Delta x$más cerca del tirador. Por lo tanto, hay algunas bolas de pintura que ya han alcanzado la posición del observador en movimiento pero aún no la del observador estático. El número de bolas de pintura en el aire entre los dos observadores en$t=\Delta t$es:$N_{diff}=F\frac{\Delta x}{c}=F\frac{v_{obs} \Delta t}{c}$. El número de bolas de pintura recibidas por el observador en movimiento es, por lo tanto,$N'=F \Delta t + F\frac{v_{obs}}{c} \Delta t$. El flujo relativo es por lo tanto

La intensidad$I$, la cantidad de energía por segundo se obtiene multiplicando el flujo por la cantidad de energía por bola de pintura. Las bolas llegan a ambos observadores con la misma velocidad. Sin embargo, dado que ambos observadores asignarán un valor diferente para esta velocidad, también percibirán intensidades diferentes. Aún así, la relación entre las intensidades percibidas por un observador será la misma para ambos observadores y es idéntica a la relación de los flujos.

La intensidad es energía por unidad de área; en distancias cortas, la intensidad puede considerarse constante. En un tiempo dt, la onda sonora recorre una distancia c.dt, por lo que la energía total que pasa por un área A será igual a la energía sonora presente en un volumen cAdt. (Piense en el agua que fluye a través de una tubería, si viaja a 10 m/s a través de una tubería con una sección transversal de 0,1 m, la energía por segundo que pasa es la energía del agua en una tubería de 10 m).

La densidad de energía$w(R)$es el mismo para ambos observadores ya que están a la misma distancia R de la fuente. La energía total que pasa por el área$A$es para el observador A:$I_AAdt=w(R)Acdt$, y para el observador B:$I_BAdt=w(R)A(c+v_B)dt$ya que el observador B se mueve hacia la fuente con velocidad$v_B$

que te da$\frac{I_A}{c}=\frac{I_B}{(c+v_B)}$