¿De qué se trata realmente la Mecánica Cuántica? [duplicar]

La mecánica cuántica es, hasta donde sabemos, la forma en que funciona (casi todo en) el mundo.

No se trata únicamente de describir "ondas de materia", aunque esto fue fundamental para su inicio. No se trata únicamente de describir fenómenos microscópicos.

Se trata de una concepción fundamental de la "mecánica" (¡está en el nombre!), un intento de describir cómo se comportan los sistemas físicos. Todos los sistemas físicos. No hay frontera entre lo clásico y lo cuántico. Hay una escala suave en la que la aproximación clásica a la mecánica cuántica se vuelve lo suficientemente buena, y la descripción cuántica se complica irremediablemente en exceso.

Pero la física cuántica no está restringida a un tipo particular de sistemas (bueno, casi, no puede tratar adecuadamente con sistemas en los que la gravedad debería describirse completamente cuánticamente, ¡pero esas situaciones son extremadamente raras!). La física clásica surge de él en muchos sentidos, aunque es posible que no esté de acuerdo sobre cómo lo hace exactamente en general.

Y, en cuanto a todas sus otras preguntas, le pediría que mirara primero la física clásica: ¿De qué se trata? Partículas en movimiento? ¿Olas extendiéndose en la superficie de un lago? ¿Planetas que orbitan alrededor del sol? ¿Electromagnetismo? ¿Teoría cinética y, por tanto, termodinámica? La respuesta es: Todas las anteriores, pero ninguna exclusivamente. Se trata solo de cómo se comportan las cosas.

Incluso puedes describir la física clásica en términos de espacios de Hilbert, se llama mecánica de Koopman-von Neumann . Entonces, tanto la mecánica clásica como la cuántica se unifican al ser descritas por vectores en un espacio de Hilbert, con un álgebra de observables actuando sobre él y valores esperados dados por la regla de Born. Esencialmente, toda la diferencia entre la mecánica clásica y la cuántica es que los observables de la mecánica cuántica no conmutan, la idea de que es posible que un estado tenga un valor bien definido para$A$, pero no para$B$.

Para agregar a la respuesta de ACuriousMindal traer mi experiencia personal a la mesa, yo también tenía conocimientos básicos de matemáticas durante muchos años y entendía perfectamente todas las maquinaciones algebraicas en muchos libros de texto, pero estaba completamente desconcertado. Mi problema era que estuve "fuera" de QM durante mucho tiempo: tuve una exposición elemental a ella en ingeniería de pregrado que se enseñó de una manera muy desactualizada (aproximadamente ochenta años): todo sobre dualidad onda-partícula y partícula a veces , saludo a los demás, nunca se encontrarán los dos y todo lo demás, así que cuando tuve que profundizar en QM profesionalmente (en óptica cuántica) muchos años después, creo que esperaba que fuera más "chiflado" de lo que es. Esta visión de las ondas esquizofrénicas no ayuda, como queda claro cuando uno piensa en el mundo como compuesto de campos cuánticos,: es posible que encuentre la respuesta verdaderamente hermosa de DanielSank a la pregunta de Physics SE "¿Cuál es la interpretación física de la segunda cuantización?" útil _

Analicemos la física haciendo nuevamente la pregunta de ACuriousMind , te animo a que preguntes y reflexiones profundamente sobre,

".... mire primero la física clásica: ¿de qué se trata?... La respuesta es: todo lo anterior, pero ninguno exclusivamente. Se trata solo de cómo se comportan las cosas".

Cuando piensas así durante el tiempo suficiente, entiendes que la mecánica clásica es tan chiflada como QM y que, en última instancia, todo lo que podemos probar la naturaleza de estar con es experimentar.

En realidad, incluso si dejamos de lado las analogías con la mecánica hamiltoniana y lagrangiana y la narrativa habitual de "cuantización de la teoría clásica", la mayor parte de la mecánica cuántica se parece exactamente a una cierta formulación de la mecánica clásica:

1. Hay un estado que define totalmente el sistema tanto en el pasado desde la última "medida" como en el futuro hasta que sea "medido";

2. El estado vive en un espacio de Hilbert (espacio de producto interior completo) y su evolución en el tiempo es lineal.

3. En un sistema aislado e invariante en el tiempo, el operador de evolución lineal debe tener la forma$\exp(K\,t)$porque, dados los supuestos de reversibilidad (uno puede inferir el estado en cualquier momento a partir de cualquier otro momento), los operadores de evolución temporal deben ser un grupo de un parámetro. Aquí puede definir el parámetro de tiempo para que sea uno que se suma cuando compone los miembros del grupo: esto define el tiempo como el que hace que la evolución sea "regular" o "par"; todas las demás parametrizaciones posibles son biyecciones continuas$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$de "regulares", "buen reloj" (que se definen hasta una transformación afín$t^\prime = A t + B;\,A,\,B\in\mathbb{R}$)).

La teoría de sistemas y control ve todos los sistemas lineales, clásicos o cuánticos, de esta manera. La única diferencia es que reemplazamos "todo el tiempo" por "entre mediciones", esta última noción aún por definir. La dinámica de cualquierEl sistema descrito por cualquier número finito de ED lineales de cualquier orden finito se puede convertir en la forma anterior. En teoría de control, el operador de evolución temporal se denomina matriz de transición de estado, cuya expansión para un sistema variable en el tiempo está dada por la serie de Peano-Baker, que en teoría cuántica toma una forma ligeramente diferente en la serie de Dyson. Sea testigo de que la forma anterior sería algo con lo que Laplace se sentiría totalmente cómodo, con su filosofía de un universo mecánico cuyo comportamiento está definido para todo el tiempo por un estado en cualquier momento, hasta que reemplacemos "todo el tiempo" con "entre mediciones". Porque la diferencia entre la mecánica cuántica y la teoría de sistemas clásica es precisamente la parte de medición no unitaria. Qué'

1. La medición se describe mediante "observables", que son operadores autoadjuntos que actúan sobre el espacio de estados de Hilbert junto con una receta sobre cómo interpretar sus medidas;

2. La receta es esta: en primer lugar, inmediatamente después de una medida descrita por un observable$\hat{O}$el estado del sistema está en un estado propio del observable$\hat{O}$;

3. En segundo lugar, la medida es el valor propio correspondiente al estado propio en el que la medida obliga al estado del sistema ("cómo" el estado termina en este estado propio es el problema de la medida);

4. En tercer lugar, la elección del estado propio en el punto 2 es aleatoria . La distribución de probabilidad de la medición está completamente definida por el estado cuántico, ya sea como la probabilidad del estado propio de selección de la medición$\psi_{\hat{O},\,j}$magnitud cuadrada de la proyección del estado del sistema normalizado sobre este estado propio o, equivalente, el$n^{th}$momento de la distribución de probabilidad es$\mu_n=\langle \psi|\hat{O}^n|\psi\rangle$, de donde se puede encontrar la función característica de la distribución$\langle \psi|\exp(i\,k\,\hat{O})|\psi\rangle$($k$la variable transformada de Fourier), de donde la propia distribución.

Y eso es todo para la parte física de la mecánica cuántica en lo que respecta a los estados puros . Uno necesita explorar la noción de mezclas clásicas de estados cuánticos puros a través del experimento mental del amigo de Wigner y los formalismos de matriz de densidad , pero estos están definidos en su totalidad por lo anterior.

La descripción que he dado a veces se conoce con el nombre de "Enfoque de medición cuántica". El problema de la medición es un área de investigación fundamental activa, y el significado de aleatorio no se define, al menos hasta que el problema de la medición tenga una solución aceptada. Por ahora, aleatorio simplemente significa incognoscible a través del conocimiento previo. De hecho, algunos filósofos serios prueban la naturaleza de la noción de aleatoriedad y azar aún no completamente comprendida utilizando la física cuántica como modelo para sus nociones. En lugar de comenzar con la comprensión de que las estadísticas clásicas deben ampliarse al paradigma cuántico complejizado, funcionan al revés, diciendo que la mecánica cuántica es nuestro mundo real y experimental. lo que sabemos y podemos entender directamente al cuestionar la naturaleza a través de la experimentación y el trabajo hacia una base rigurosa de la noción de probabilidad como una cierta abstracción aproximada de la mecánica cuántica "visceral" real que experimentamos en el laboratorio. A menudo, los estudiantes se sienten muy desalentados por la falta de aplicabilidad de la estadística clásica y la necesidad de nociones de estadística cuántica ampliadas y complejas. Pero QM es en realidad la materia fácil: la materia cuyas preguntas la naturaleza responderá a través de la experimentación. La noción de probabilidad es la parte difícil. Ver A menudo, los estudiantes se sienten muy desalentados por la falta de aplicabilidad de la estadística clásica y la necesidad de nociones de estadística cuántica ampliadas y complejas. Pero QM es en realidad la materia fácil: la materia cuyas preguntas la naturaleza responderá a través de la experimentación. La noción de probabilidad es la parte difícil. Ver A menudo, los estudiantes se sienten muy desalentados por la falta de aplicabilidad de la estadística clásica y la necesidad de nociones de estadística cuántica ampliadas y complejas. Pero QM es en realidad la materia fácil: la materia cuyas preguntas la naturaleza responderá a través de la experimentación. La noción de probabilidad es la parte difícil. Veresta página en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford "Chance Versus Randomness" .

Lo que consideraría mi primera introducción sólida a QM son los primeros ocho capítulos del tercer volumen de Feynman Lectures .

Así que en resumen:

1. Gran parte de la mecánica cuántica, aparte del problema de la medición, no es muy diferente de la concepción del mundo de Laplace, y la descripción del estado unitario se asemeja a la concepción teórica de los sistemas lineales modernos de cualquier sistema físico;

2. La teoría de sistemas suele ser lineal por conveniencia (como una aproximación a los comportamientos no lineales), pero varias nociones de mecánica cuántica (por ejemplo, ningún teorema de clonación) dependen de la afirmación de que QM es exactamente lineal. Esta es una diferencia curiosa;

3. La teoría de sistemas no suele tratar con sistemas de dimensión infinita. La teoría cuántica vive a menudo en el complejo y separable espacio de Hilbert;

4. La naturaleza probabilística del problema de medición significa que la norma de los estados tiene que ser la unidad (de modo que las probabilidades de todos los resultados experimentales posibles sumen uno), alternativamente, que los estados son rayos a través del origen o puntos en la esfera unitaria en el método de Hilbert. espacio, en lugar de puntos generales como en la teoría de sistemas lineales. Las fases globales aplicadas a estados no tienen significado físico;

5. La medida probabilística también implica el principio de incertidumbre cuando los observables no conmutan.

Echando un vistazo a sus preguntas, le sugiero que se olvide de que la dualidad onda-partícula es este principio fundamental de la mecánica cuántica. Más bien, diría que hay dos (al menos, estas dos son las más obvias) características definitorias importantes de QM, que se aclaran en el formalismo del espacio de Hilbert:

1. Los estados están representados por vectores, y aunque algunos estados corresponden aproximadamente a una imagen clásica (como un estado con un componente z bien definido del espín), también puede tomar superposiciones de estados, como en la "paradoja" del gato de Schrödinger. . Estas superposiciones no tienen un análogo clásico: es como si su sistema estuviera en dos estados a la vez.

2. Solo puedes calcular probabilidades. Si eres observable$A$puede tomar varios valores posibles${a_n}$y llamamos$|\phi_n\rangle$los estados correspondientes con un valor bien definido de$A$, entonces si su sistema está en algún estado$|\psi\rangle$la probabilidad de medir$a_n$es$|\langle \phi_n | \psi \rangle |^2$. Si dos observables no conmutan, no puede haber un estado en el que ambos tengan un valor definido.

Si toma estos dos principios juntos y la idea de que una partícula que se mueve en el espacio tiene una base dada por los estados$|x\rangle$de posición definida, entonces se observa interferencia al tomar el módulo al cuadrado. Este es el origen de la dualidad onda-partícula, pero es solo un caso particular de lo que te permite hacer el formalismo.

¿Has visto ejemplos de sistemas físicos resueltos usando el formalismo espacial de Hilbert? El oscilador armónico y el átomo de hidrógeno son los dos ejemplos clásicos, y te permiten conectar la idea de la función de onda con esta forma abstracta de describir las cosas, pero también echan un vistazo a cosas como la precesión de espín en un campo magnético. El enfoque de la función de onda no funcionará porque si no se preocupa por el movimiento de la partícula, no hay función de onda . Solo hay vectores complejos, y en el caso de dimensión finita, usar kets es esencialmente lo mismo que usar n-tuplas de números, solo que la notación es diferente.

Si me preguntas de qué se trata QM, probablemente mencionaría los dos principios que mencioné anteriormente. El enredo y fenómenos similares también podrían estar involucrados, pero creo que esto llega al meollo del asunto. También debería ayudarlo a ver por qué este formalismo no se usa en la mecánica clásica: la superposición y las probabilidades no son la forma de hacer CM.

No sabemos de qué se trata la mecánica cuántica, la teoría está formulada de manera instrumental. Los postulados de la mecánica cuántica te dicen cómo calcular el resultado de los experimentos. Cuando intentas mirar más allá de esto, ten en cuenta que el aparato experimental utilizado, los observadores, etc. también están hechos de átomos y moléculas, te ves obligado a modificar los postulados. Pero entonces no hay consenso en la comunidad física sobre cómo hacer esto. La causa raíz de esto es el hecho de que la mecánica cuántica ha tenido tanto éxito que no hay resultados experimentales que estén en conflicto con ella para guiarnos en la dirección correcta.

Podría ser útil distinguir dos posibles interpretaciones de la pregunta "¿de qué se trata la mecánica cuántica?":

1. ¿Qué tipo de sistemas físicos, procesos, etc., es particularmente útil para representar la mecánica cuántica? es decir, ¿cómo deberíamos usar o aplicar la mecánica cuántica?
2. ¿Qué dice la teoría sobre la naturaleza del mundo; es decir, ¿cómo debemos entender o interpretar la mecánica cuántica?

La segunda de estas preguntas no tiene una respuesta indiscutible: las cuestiones sobre cómo debe interpretarse la mecánica cuántica han sido fuertemente cuestionadas desde el inicio de la teoría. La primera pregunta, por otro lado, se responde más fácilmente, ¡excepto en la medida en que colinda con la segunda! Por lo tanto, para familiarizarse con la mecánica cuántica, es útil tener en cuenta que la mecánica cuántica es una teoría cuya aplicación está extraordinariamente bien elaborada y es exitosa, pero cuya interpretaciónsigue siendo controvertido. Algunas personas dirían que esto significa que debe resistirse a pensar en interpretaciones y simplemente aprender a manejar el mango para obtener resultados y aplicaciones. Creo que un mejor enfoque es aprender sobre diferentes interpretaciones, diferentes formalismos y diferentes "imágenes" de los fenómenos de la mecánica cuántica, pero tenga en cuenta las disputas fundamentales, trate de mantener la mente lo más abierta posible y siempre asegúrese de saber cómo traducir de una imagen a otra.

Esto se aplica, en particular, a la relación entre la función de onda y los formalismos de vector de estado. Estoy de acuerdo con usted en que el formalismo de la función de onda es algo más intuitivo: de hecho, Schrödinger sintió que una ventaja clave de su mecánica ondulatoria era su "Anschaulichkeit" o "visualizabilidad". Sin embargo, el formalismo de vector de estado se considera generalmente como el más fundamental. La relación entre los dos formalismos es material de libro de texto estándar, pero solo para ensayarlo rápidamente: el punto es que las funciones de onda surgen como una forma de representar vectores de estado, si elegimos una base particular para el espacio de Hilbert. Más específicamente (pero siendo algo descuidado con los tecnicismos), dejemos$|\delta(x)\rangle$sea ​​el vector de estado que representa una partícula localizada en el punto$x$; es un vector propio (valor propio$x$) del operador de posición$\hat{X}$. En ciertas situaciones, el conjunto$\{|\delta(x)\rangle\}_{x \in X}$forma una base para el espacio de Hilbert (donde$X$es normal, tridimensional, posición-espacio). Eso significa que dado cualquier vector de estado$|\psi\rangle$, podemos expresarlo como una suma ponderada de elementos de la base de posición$\{|\delta(x)\rangle\}_{x \in X}$:

La razón para considerar el formalismo de vector de estado como más fundamental es que las funciones de onda siempre pueden considerarse formas de representar vectores de estado, pero no todos los vectores de estado pueden representarse como funciones de onda (donde me refiero a "función de onda" para referirme específicamente a funciones en el espacio de posición). Por ejemplo, si solo estuviera observando los grados de libertad de espín de un sistema, estaría tratando con vectores de estado cuyo espacio de Hilbert no tiene como base el conjunto de vectores propios de posición. Entonces, el formalismo de vector de estado es más abstracto y general que el formalismo de función de onda.

Sin embargo, eso nos lleva naturalmente a su preocupación de que el formalismo del vector de estado es tan abstracto y general que no está seguro de qué es distintivamente mecánico-cuántico. Primero, tiene toda la razón en que "este lenguaje de" estados abstractos de un sistema "podría, en mi humilde opinión, también usarse en mecánica clásica". La diferencia, sin embargo, radica en la estructura de los espacios matemáticos que usamos para representar esos estados. Lo distintivo del espacio de estado de la mecánica cuántica es que exhibe una estructura lineal : hay una noción físicamente relevante de "sumar estados juntos" (es decir, decir de un estado$c$que es la suma de estados$a$y$b$es un reclamo físicamente importante). Este no es el caso en la mecánica clásica. Esto, por supuesto, es solo una forma de decir que la mecánica cuántica, a diferencia de la mecánica clásica, presenta la superposición como un fenómeno. (Descargo de responsabilidad: no sé lo suficiente sobre el formalismo de Koopman-von Neumann para decir exactamente cómo encaja en mis comentarios aquí).

Finalmente, una breve observación sobre si la mecánica cuántica se refiere solo a fenómenos microscópicos o no. Este tipo de tiene dos respuestas, correspondientes a las dos preguntas que distinguí anteriormente:

1. Cuando un sistema tiene muchos grados de libertad, las predicciones clásicas y cuánticas sobre cómo se comportará ese sistema convergen. Entonces, los sistemas para los que uno necesita usar la mecánica cuántica para obtener predicciones precisas son aquellos con pocos grados de libertad, lo que generalmente significa sistemas microscópicos. (Esto es un poco impreciso, pero servirá; si está interesado en los detalles, busque la teoría de la decoherencia).
2. La aplicación de la mecánica cuántica a los sistemas macroscópicos depende de la interpretación que prefiera. En interpretaciones de "colapso" como las interpretaciones de Copenhague o GRW, la mecánica cuántica solo se aplica a sistemas microscópicos; en interpretaciones "sin colapso" como de Broglie-Bohm o Everett, la mecánica cuántica se aplica a todos los sistemas, pero por razones de decoherencia, la mecánica clásica proporciona una excelente aproximación cuando se trata de sistemas macroscópicos.

La idea básica sobre la que se basa la Mecánica Cuántica es la dualidad onda-partícula.

La idea básica es que la dinámica clásica de configuraciones falla y necesita ser modificada. La dualidad de ondas de partículas es, en última instancia, demasiado vaga para ser una explicación fundamental.

Entonces parece que las partículas en estos fenómenos microscópicos se comportan como ondas. Esas ondas de materia tienen una interpretación directa en términos de amplitudes de probabilidad.

Esto está mal. En primer lugar, el razonamiento por analogía no es lo suficientemente preciso para hacer predicciones. Y en segundo lugar, incluso si coloca amplitudes delante de la palabra probabilidad, puede hacerle pensar que hay un espacio de muestra fijo y algunas variables aleatorias definidas en él y que los componentes de espín, por ejemplo, pueden asignarse a algún punto en el espacio de muestra. Lo que contradice fundamentalmente el hecho de que los operadores que no conmutan cambian el estado de manera definitiva y objetiva en lugar de revelar alguna propiedad preexistente.

En otras palabras, esos cursos introductorios me llevaron a pensar que la Mecánica Cuántica se trata de lidiar con ondas de materia gobernadas por la ecuación de Schrödinger para estudiar fenómenos microscópicos.

Eso podría ser más correcto de lo que piensas. Simplemente no se apresure a pensar que están tan ligados a la probabilidad o que algo está tan ligado a las palabras que usamos. La teoría es simplemente lo que hace las predicciones y cómo haces las predicciones es la teoría y las palabras pueden ser engañosas cuando te hacen pensar algo diferente a lo que predice la teoría.

En otras palabras, hemos abstraído la idea de estado contenida dentro de la imagen de la función de onda.

De hecho, todo lo que necesitas es la dinámica. Incluso puede usar la Imagen de Heisenberg donde los estados no cambian pero los operadores sí. O una imagen de Schrödinger donde los operadores fundamentales para un sistema autónomo son constantes pero los estados cambian. Todo lo que necesitas es suficiente para la dinámica. Y una función de onda básicamente selecciona una imagen (Imagen de Schrödinger) así como una base (la base de posición).

¿Cómo cerrar la brecha entre el lenguaje abstracto de los vectores de estado que viven en los Espacios de Hilbert y la imagen más "intuitiva" de la dualidad onda-partícula y los fenómenos microscópicos?

No hay una brecha. La versión abstracta simplemente no elige una base. Puede calcular la frecuencia de diferentes resultados usando, por ejemplo, los estados de energía si el oscilador armónico como sus estados de base o puede usar funciones de onda cuadradas integrables. En última instancia, estás hablando del mismo Espacio Hilbert. No es diferente a usar el cálculo vectorial y luego elegir una base para un problema en particular después de saber qué es lo más conveniente.

Teniendo en cuenta todo esto, mi pregunta (que creo que es bastante tonta) es: ¿de qué se trata la Mecánica Cuántica?

Si desea ver la mecánica cuántica no relativista como algo distinto de la física clásica, podría ser útil observar la teoría dBB. En la teoría de De Broglie Bohm, tiene una función de onda definida en el espacio de configuración. Y el cuadrado da una densidad de probabilidad directa para la posición (pero no creas que la teoría de probabilidad regular se aplica a cosas que no están en posición) y la fase da una velocidad para cualquier punto allí. Un punto en el espacio de configuración y luego se establece como la teoría clásica de Hamilton-Jacobi para decir cómo cambia la velocidad. Sin embargo, con un potencial extra. Entonces puede ver que una configuración dada evoluciona de una manera en la física clásica y esa manera depende únicamente de los potenciales clásicos y la configuración única.

Pero en la mecánica cuántica hay un potencial extra y ese potencial es diferente dependiendo del estado. Por ejemplo, en el estado fundamental del átomo de hidrógeno, el potencial adicional (llamado potencial cuántico) produce una fuerza adicional que es exactamente igual y opuesta a la atracción electrostática y el estado fundamental tiene al electrón en reposo en relación con el protón. Así que simplemente se sienta allí. Cada configuración única del sistema de electrones y protones tiene un potencial cuántico (cuando está en el estado fundamental) que cancela la fuerza del potencial electrostático.

Entonces obtienes diferentes dinámicas y el estado codifica cómo la dinámica para una configuración se desvía de la dinámica clásica. Por eso queríamos la mecánica cuántica y eso es lo que hace la mecánica cuántica. Eso es lo que es la mecánica cuántica.

Pero hay más, intrínsecamente más. El punto es que no sabemos cuál es la configuración. Y aquí dBB puede ser engañoso. No sabemos y nunca conocemos la configuración. Hay una onda que asigna valores a muchas configuraciones y cuando un subsistema interactúa con otro subsistema, primero no aprende la configuración de otro subsistema.

Acoplamos los estados, no las configuraciones. Usted (la dinámica) puede ramificar las colecciones de configuraciones en grupos que actúan independientemente unos de otros. Y un subsistema de la configuración puede ser una descripción de toda una constelación de ramas, pero nunca obtienes la configuración. Pero tampoco encontramos configuraciones verdaderas en la física clásica. Ningún subsistema clásico tuvo jamás en su interior una representación perfecta del verdadero estado exacto de otro subsistema, no adquiriéndola a través de una evolución de la observación.

Entonces, la dinámica que rastreamos en última instancia no son las configuraciones en sí mismas, sino las descripciones de las colecciones de ellas. Pero eso es lo que son los estados.

Cuando se desarrolló la teoría de la relatividad, Minkowski creó la herramienta matemática del espacio-tiempo para describir y resolver fácilmente las transformaciones utilizando métodos geométricos. Incluso Einstein en ese momento vio esto como una herramienta matemática, pero luego se dio cuenta de que la geometría real del espacio-tiempo era la explicación de la gravedad y la geometría no euclidiana del espacio-tiempo se acepta como una descripción de nuestro universo físico.

Como analogía, el espacio de Hilbert es una herramienta matemática similar para facilitar la solución de problemas de mecánica cuántica. Incluso la energía es un concepto abstracto, pero muchos problemas no podrían resolverse fácilmente sin el uso de la energía. Ahora bien, si existe un vínculo entre el espacio de Hilbert y el mundo físico es un asunto diferente. ¿Quién sabe qué es la realidad física oculta?