¿Cuándo es útil distinguir entre vectores y pseudovectores en física experimental y teórica?

[Descargo de responsabilidad: no estoy proporcionando un argumento donde la distinción sería útil . Proporciono un argumento de que los pseudovectores y los vectores describen conceptos geométricos intrínsecamente diferentes y, para aclarar el argumento, nunca deben confundirse solo porque se ven muy similares]

El punto es que los pseudovectores, por su propia naturaleza, no son los mismos objetos que los vectores:

Un vector , tal como se entiende comúnmente en física, es un elemento del espacio vectorial$\mathbb{R}^n$abarcado por la base estándar$e_i$. Apunta en una dirección y está geométricamente conectado a una línea , es decir, un subespacio unidimensional de$\mathbb{R}^n$.

Un pseudovector , como casi nadie le dirá explícitamente, es un elemento del grado subsuperior del álgebra exterior $\Lambda^{n-1}\mathbb{R}^n$, el espacio ocupado por$e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_{n-1}}$. Esto no apunta directamente en una dirección, pero es geométricamente el$n-1$-hiperplano dimensional atravesado por los vectores$e_{i_1},\dots,e_{i_{n-1}}$, y luego puede interpretarse como apuntando en la dirección perpendicular a ese hiperplano. Formalmente, esta traducción de hiperplanos a vectores normales es el mapeo dual de Hodge$\Lambda^k\mathbb{R}^n$a$\Lambda^{n-k}\mathbb{R}^n$.

Y ahí ves por qué los pseudovectores son diferentes de los vectores bajo reflexión, geométricamente: en$\mathbb{R}^3$, es decir, nuestro mundo ordinario, los planos están atravesados ​​por dos vectores: si ambos cambian de signo, el pseudovector descrito por ellos no lo hará (ya que la cuña$\wedge$es lineal y anticonmutativa).

Una importancia de estas consideraciones es cuando desea pasar de$\mathbb{R}^3$a dimensiones superiores. Pierde el producto vectorial (que en realidad es solo la concatenación de la cuña y el Hodge), y sus antiguos pseudovectores ahora ya no son vectores en el sentido ordinario, ya que$\Lambda^2 \mathbb{R}^n$(el "espacio de planos") no se asigna a vectores normales únicos por el dual de Hodge en dimensiones que no son tres. Ahora necesita diferenciar genuinamente sus antiguos pseudovectores y vectores, ya que ahora tienen un número diferente de entradas de coordenadas independientes.

No solo puedes hacer física "en un espejo", sino que he sido parte de un experimento que involucra exactamente eso.

La interacción débil es, bueno, débil. Y eso hace que sea muy difícil acceder a él en cualquier proceso físico que también pueda proceder a través de otras interacciones. Por lo tanto, puede ver la interacción débil en funcionamiento en la desintegración beta, pero en el orden principal no puede verla en funcionamiento cuando un electrón se dispersa fuera de un protón (porque la señal de la interacción electromagnética es de aproximadamente$10^5$más grande).

Pero hay una advertencia.

Verá que la interacción electromagnética respeta la paridad en una cantidad conservada, y la interacción débil no. Esto equivale a decir que la interacción electromenética está representada por un vector y la interacción débil por la suma de un vector y un pseudo vector (aunque por razones históricas lo llamamos "vector axial" que es un sinónimo). Todo esto significa que si configura una interacción de dispersión en la que el resultado es diferente cuando se respeta la paridad y cuando se viola, entonces toda la violación de la paridad que observa se puede atribuir a la interacción débil.

Ingresar$G^0$que midió los factores de forma del protón vistos por la interacción débil (y de la que yo formé parte) y Q-débil, que es una prueba fundamental de la interacción débil.

Otras respuestas son buenas, intentaré dar una perspectiva diferente.

¿Qué es un vector? Como solía decir Feynman (" Feynman diserta sobre física "), no todos los números (es decir,$\left( a_1, a_2,..,a_n\right)$) hace un vector simplemente porque tiene$n$componentes ¿Por qué? Porque los vectores tienen una relación específica (o más correctamente una relación de transformación) con la base subyacente del espacio del que forman parte. Esto hace un vector (o vector polar) .

Obviamente , los vectores axiales (o pseudo-vectores) no comparten esta propiedad de los vectores (como también han señalado otras respuestas).

¿Por qué es esto? ¿Cuál es la relación de un vector con un vector axial? Y cuál es la representación física de cada uno. Bueno, la representación física es que los vectores representan transformaciones de traslación mientras que los vectores axiales representan transformaciones de rotación . No es correcto que los vectores axiales no representen la dirección, representan la dirección de rotación (es decir, zurdos frente a diestros) .

Ahí tienes. Esto aclara por qué las propiedades de transformación de los dos son diferentes. Dado que una rotación correlaciona los componentes básicos del espacio de una manera específica (a diferencia de una traslación o escala), cuando los componentes básicos cambian (es decir, la transformación de coordenadas), los pseudo-vectores cambian de tal manera que mantienen o compensan la representación . tienen, por ejemplo, la dirección (y magnitud) de rotación (y no la dirección y magnitud de traslación como los vectores).

El significado de lo anterior, tanto en contextos teóricos como experimentales, es el comportamiento de estas entidades frente a transformaciones del aparato experimental y/o transformaciones del espacio subyacente del que forman parte.

Una diferencia interesante para la física teórica es que$n$Las generalizaciones dimensionales de cantidades que son vectores tienen$n$componentes, mientras$n$Las generalizaciones bidimensionales de cantidades que son pseudovectores, como el momento angular, tienen$\frac{1}{2}n(n-1)$componentes

Esto coincide para 3 dimensiones, por lo que se suele usar la misma notación vectorial para ambas, en lugar de usarla solo para vectores y usar$n\times n$matrices antisimétricas para cantidades que son pseudovectores.

Todos los términos de una suma o ambos lados de una igualdad deben ser del mismo tipo, ya sea vector o pseudo vector. De lo contrario, la expresión romperá la simetría de reflexión. Esta es una verificación útil de fórmulas y posibles explicaciones físicas de diferentes fenómenos.