¿Cuál es la distancia entre dos objetos en el espacio en función del tiempo, considerando sólo la fuerza de la gravedad? [duplicar]

Lo que tienes es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. Digamos que la posición de las masas es$m_1$y$m_2$. Las posiciones son$x_1(t)$y$x_2(t)$. Asumiremos que$x_1<x_2$. Tenga en cuenta que permanecerán en una línea, por lo que basta con considerar una dimensión.

Ahora, usamos$F=mx''$para construir nuestras ODEs:

$$G \frac{m_1 m_2}{(x_2(t)-x_1(t))^2} = m_1 x_1''(t)$$ $$G \frac{m_1 m_2}{(x_2(t)-x_1(t))^2} = m_2 x_2''(t)$$

El proceso de resolución de estas EDO puede ser bastante complicado. Lo dirigiría hacia el artículo de Wikipedia sobre el problema de los dos cuerpos para obtener una respuesta completa.

Las dos ecuaciones de movimiento se reducen a una ecuación de movimiento al considerar la separación$x=x_2-x_1$y la aceleración de separación$\ddot{x} = \ddot{x}_2 -\ddot{x}_1$

$$\ddot{x} = -\frac{G (m_1+m_2)}{x^2}$$

o$\ddot{x} = -K/x^2$con$K=G (m_1+m_2)$

Esto se puede reescribir como$\frac{{\rm d} \dot{x}}{{\rm d} t} =\frac{{\rm d} \dot{x}}{{\rm d} x} \frac{{\rm d} x}{{\rm d} t} =\frac{{\rm d} \dot{x}}{{\rm d} x} \dot x = -\frac{K}{x^2}$

$$\int \dot{x} {\rm d} \dot{x} = -\int \tfrac{K}{x^2}\,{\rm d}x + C_1$$ $$\frac{1}{2} \dot{x}^2 = C_1 + \frac{K}{x}$$

Si inicialmente los cuerpos están en reposo, separados por$d$entonces

$$\frac{1}{2} \dot{x}^2 = -\frac{K}{d} + \frac{K}{x}$$ o $$\dot{x} = \sqrt{\frac{2 K (d-x)}{d\, x}}$$

Esto tiene solución por tiempo.$t$en función de la separación$x$de

$$t= \sqrt{ \frac{d^3}{2 K}} \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{x}{d}}\right) - \sqrt{ \frac{d^2 x-d x^2}{2 K}}$$

Esto significa que el tiempo para llegar a la colisión$x=0$es

$$t_C = \frac{\pi}{2}\sqrt{ \frac{d^3}{2 K}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{ \frac{d^3}{2 G (m_1+m_2)}}$$

Este es el caso elíptico del problema radial de Kepler , la ecuación del tiempo en función de la posición es

$$t(r) = \sqrt{ \frac{d^3}{2 g} } \left( \arccos\left( \sqrt{ \frac{r}{d} } \right) + \sqrt{ \frac{r}{d} \left(1 - \frac{r}{d} \right) } \right)$$

donde t es el tiempo, r es la posición, d es la separación inicial (máxima) y g=G(m ₁ +m ₂ ).

En este caso, las dos masas tardarán 14.930 millones de años en pasar de 6 millones de millas a 3 millones de millas, y luego otros 3.320 millones de años en pasar de 3 millones a cero millas (colisión). La gravedad es una fuerza muy débil.

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La solución al problema inverso (encontrar la distancia en función del tiempo) es:

$r(t) = d \left( y - \frac15 y^2 - \frac{3}{175} y^3 - \frac{23}{7875} y^4 - \frac{1894}{3931875} y^5 - \frac{3293}{21896875} y^6 \cdots \right) \Bigg|_{y = \frac{1}{d} \left(\frac92 g \right)^{1/3} (t_\rm{freefall}-t)^{2/3} }$

dónde$t_\rm{freefall} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{d^3}{2g} }$, y t es el tiempo.

Para obtener más información, consulte mi sitio web aquí , y aquí .