¿Cuál es la diferencia entre la mecánica newtoniana y lagrangiana en pocas palabras?

En la mecánica newtoniana, debe usar principalmente un sistema de coordenadas rectangulares y considerar todas las fuerzas de restricción. El esquema de Lagrange evita hábilmente las consideraciones de las fuerzas de restricción y puede usar cualquier conjunto de "coordenadas generalizadas" como ángulo, distancia radial, etc. de acuerdo con las relaciones de restricción. El número de esas coordenadas generalizadas es el mismo que el número de grados de libertad del sistema.

En todos los sistemas dinámicos elegimos arbitrariamente algunas coordenadas generalizadas consistentes con las restricciones del sistema. En la mecánica newtoniana, la diferencia entre la energía cinética y potencial del sistema te da el llamado Lagrangiano. Entonces tenemos n número de ecuaciones diferenciales.$n$es el número de grados de libertad del sistema.

La principal ventaja de la mecánica lagrangiana es que no tenemos que considerar las fuerzas de las restricciones y, dadas las energías cinética y potencial totales del sistema, podemos elegir algunas coordenadas generalizadas y calcular a ciegas la ecuación de movimientos de forma totalmente analítica, a diferencia del caso newtoniano en el que uno tiene que considerar las restricciones y la naturaleza geométrica del sistema.

Para responder a la segunda parte de su pregunta, daré un ejemplo clásico de movimiento armónico. La energía potencial de un resorte es$U=\frac{1}{2}kx^2$, dónde$k$es la constante del resorte y$x$es el desplazamiento.

Mecánica newtoniana:

$F=m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{-dU}{dx}=-kx$

Asi que$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$, que es una ecuación diferencial fácil.

Mecánica Lagrangiana:

Primero conocemos las ecuaciones de Euler-Lagrange$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, identificamos coordenadas$q=x$, y definimos nuestro Lagrangiano$L=T-V$($T$es energía cinética y$V$es energía potencial).

$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$

$V=\frac{1}{2}kx^2$

Así que conectamos todo esto en nuestra pequeña ecuación de Euler Lagrange y, resolviendo, obtienes (redoble de tambores),$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$!

Conclusión

Entonces, después de todo esto, obtenemos la misma ecuación que con la mecánica newtoniana y con mucho más trabajo, ¿no? En este ejemplo, probablemente, y en la mayoría de los otros sistemas simples. Sin embargo, la Mecánica Lagrangiana tiene algunas aplicaciones muy poderosas.

Considere el siguiente sistema: tiene múltiples péndulos conectados por resortes, y cada péndulo comienza con alguna posición y velocidad inicial. ¿Cómo haces para resolver este sistema? En Mecánica Newtoniana se volverá extremadamente complejo calcular todas las fuerzas involucradas. Sin embargo, desde una perspectiva lagrangiana, se resuelve gran parte del trabajo duro, como se puede definir fácilmente$q_i=\theta_i$,$\theta$siendo el desplazamiento angular de cada uno el péndulo. Y en lugar de tener que lidiar con las diversas fuerzas, solo se trata de la energía potencial y cinética.

Una aplicación aún más, exponencialmente más importante, es en la teoría clásica de campos (sé que tiene algunas conexiones importantes con QFT, pero no estoy en posición de comentar con conocimiento sobre eso). El electromagnetismo y la relatividad general son dos excelentes ejemplos. Puede derivar las ecuaciones de Maxwell completamente del Lagrangiano electromagnético ($L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_{\mu}J^\mu$) y puede derivar resultados extremadamente importantes en relatividad general a partir de la Acción de Hilbert ($S_H=\int \sqrt{-g}Rd^nx$) y principios variacionales similares.

• La mecánica lagrangiana se puede derivar del principio de acción mínima o de la mecánica newtoniana. Esta no es una diferencia fundamental.
• bastante En la mecánica newtoniana, comienzas dibujando un montón de vectores y luego enumeras tus ecuaciones. En la mecánica lagrangiana, primero identifica todas las restricciones, elige las coordenadas generalizadas, luego escribe el lagrangiano y lo conecta a la ecuación lagrangiana.$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{dL}{dq_i}=0$
• • La mecánica lagrangiana es mejor cuando hay muchas restricciones. Cuantas más restricciones, más simples son las ecuaciones lagrangianas, pero más complejas se vuelven las newtonianas. La mecánica lagrangiana no es muy adecuada para sistemas no ideales o no holonómicos, como los sistemas con fricción.
    
  • La mecánica lagrangiana también es mucho más extensible. Puede permanecer casi de la misma forma en hidrodinámica, electrodinámica, circuitos eléctricos, relatividad especial y general, etc.
  • El Principio de Tiempo Mínimo está estrechamente relacionado con el Principio de Acción Mínima, pero en realidad son muy diferentes. No veo cómo se puede derivar lo primero de lo segundo.

La formulación lagrangiana asume que en un sistema, las fuerzas de las restricciones no realizan ningún trabajo, solo reducen el número de grados de libertad del sistema. ¡Así que uno no necesita saber la forma de fuerza que tienen las fuerzas de restricción a diferencia de la mecánica newtoniana!

La principal ventaja de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana sobre la mecánica newtoniana es que podemos tratar con cantidades escalares, energía, mientras que en esta última tenemos que tratar con cantidades vectoriales. Además de esto, podemos aproximarnos fácilmente a cualquier sistema (por ejemplo, mecánico, eléctrico, óptico, etc.) con la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. Pero este fácil acceso no se puede lograr con la MECÁNICA NEWTONIANA.

Se trata de marco de referencia. En la física newtoniana, te paras en un punto y observas que algo se mueve en relación con el punto de observación estacionario en función de las fuerzas aplicadas. En la física lagrangiana eres algo en movimiento que experimenta las fuerzas. El teorema del transporte de Reynolds relaciona los dos marcos de referencia.

Según Newton:

$r(t+dt)=r(t)+v(t)dt$

y

$\dot{r}(t+dt)=\dot{r}(t)+\frac{F(t)}{m}dt$.

Como puede ver, no hay libertad para elegir la trayectoria: se determina con los valores instantáneos de fuerza y ​​​​velocidad. El "futuro" se determina con el "presente".

Una partícula nunca "elige" la trayectoria óptima para ir desde una posición conocida en el pasado$r(t_1)$a una posición conocida en el futuro$r(t_2)$. Los datos futuros no están involucrados en la dinámica. Pero el "principio de mínima acción", además de buenas ecuaciones, se basa en los datos futuros$r(t_2)$lo cual es matemáticamente posible pero físicamente sin sentido.

No existe un "principio de acción mínima" que proceda únicamente de los datos iniciales. En cambio, las ecuaciones de Newton con los datos iniciales son suficientes para resolver problemas físicos ;-)