¿Cuál es el punto de la mecánica hamiltoniana?

Question

¿Cuál es el punto de la mecánica hamiltoniana?

Javier

Acabo de terminar un curso de Mecánica Clásica y, mirando hacia atrás, algunas cosas no están del todo claras. En la primera mitad cubrimos el formalismo lagrangiano, que me pareció muy bueno. Aprecié especialmente la libertad que tiene al elegir las coordenadas y el hecho de que básicamente puede ignorar las fuerzas de restricción. Por supuesto, la mayoría de las situaciones simples que puede resolver usando buenos viejos $F=ma$ , pero para cosas más complicadas, todo el formalismo es bastante útil.

Luego, en la segunda mitad, cambiamos a la mecánica hamiltoniana, y ahí es donde comencé a perder de vista por qué estábamos haciendo las cosas de la forma en que lo hacíamos. No tengo ningún problema para entender el hamiltoniano, o las ecuaciones de Hamilton, o la ecuación de Hamilton-Jacobi, o lo que sea. Mi problema es que no entiendo por qué alguien se molestaría en desarrollar todo esto para hacer las mismas cosas que hacías antes pero de una manera diferente. De hecho, en la mayoría de los casos, debe comenzar con un Lagrangiano y obtener los momentos de $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ , y el hamiltoniano de $H = \sum \dot{q_i}p_i - L$ . Pero si ya tienes el Lagrangiano, ¿por qué no simplemente resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange?

Supongo que tal vez hay usos interesantes del formalismo de Hamiltion y simplemente no hicimos muchos ejemplos (fue el oscilador armónico todo el camino, más o menos). También escuché que permite una transición algo suave a la mecánica cuántica. Descubrimos una manera de hacer que la ecuación de Schrödinger hiciera cosas con la acción. Pero todavía algo no está haciendo clic.

Mis preguntas son las siguientes: ¿Por qué la gente usa el formalismo hamiltoniano? ¿Es mejor para el trabajo teórico? ¿Hay problemas que se resuelven más fácilmente usando la mecánica de Hamilton en lugar de la de Lagrange? ¿Cuáles son algunos ejemplos de eso?

Respuestas (15)

¿Cuál es el punto de la mecánica hamiltoniana?

usuario1504 · Answer 1

Hay varias razones para usar el formalismo hamiltoniano:

Física estadística. El peso estándar de los estados térmicos de los estados puros se da de acuerdo con

$problema (estado) \propto {mi}^{- H (estado) / k_{B} T}$ $\text{Prob}(\text{state}) \propto e^{-H(\text{state})/k_BT}$

Por lo tanto, debe comprender los hamiltonianos para hacer stat mech en generalidad real.
Belleza geométrica. Las ecuaciones de Hamilton dicen que fluir en el tiempo es equivalente a fluir a lo largo de un campo vectorial en el espacio de fases. Esto da una buena imagen geométrica de cómo funciona la evolución del tiempo en tales sistemas. La gente usa mucho este marco en sistemas dinámicos, donde estudian preguntas como '¿es caótica la evolución del tiempo?'.
La generalización a la física cuántica. El formalismo básico de la mecánica cuántica (estados y observables) es una generalización obvia del formalismo hamiltoniano. Es menos obvio cómo está conectado con el formalismo lagrangiano y mucho menos obvio cómo está conectado con el formalismo newtoniano.

[Editar en respuesta a un comentario:]

Esto puede ser demasiado breve, pero la historia básica es la siguiente:

En la mecánica hamiltoniana, los observables son elementos de un álgebra conmutativa que lleva un corchete de Poisson $\{\cdot,\cdot\}$ . El álgebra de observables tiene un elemento destacado, el hamiltoniano, que define la evolución temporal a través de $d\mathcal{O}/dt = \{\mathcal{O},H\}$ . Los estados térmicos son simplemente funciones lineales en este álgebra. (Los observables se realizan como funciones en el espacio de fase, y el paréntesis proviene de la estructura simpléctica allí. Pero el álgebra de observables es lo que importa: puedes recuperar el espacio de fase del álgebra de funciones).

Por otro lado, en física cuántica tenemos un álgebra de observables que no es conmutativa. Pero todavía tiene un soporte. $\{\cdot,\cdot\} = -\frac{i}{\hbar}[\cdot,\cdot]$ (el conmutador), y todavía obtiene su evolución temporal de un elemento distinguido $H$ , a través de $d\mathcal{O}/dt = \{\mathcal{O},H\}$ . Asimismo, los estados térmicos siguen siendo funcionales lineales en el álgebra.

Agregaría que el teorema de Noether es más claro en la formulación hamiltoniana, y que contar primeras integrales independientes es más fácil con el corchete de Poisson. No recuerdo si es posible determinar si el sistema es completamente integrable en la formulación de Lagrange.
Me pregunto por qué no inspeccionamos los flujos en el paquete tangente, donde se define el Lagrangiano. Cada punto allí también determina de manera única el estado, ¿no es así?

joshfísica · Answer 2

Algunos comentarios más para agregar a la respuesta del usuario 1504:

Para un sistema con espacio de configuración de dimensión $n$ , las ecuaciones de Hamilton son un conjunto de $2n$ , acopladas , EDO de primer orden, mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange son un conjunto de $n$ , EDO de segundo orden . En un problema dado, podría ser más fácil resolver las ecuaciones de Hamilton de primer orden (aunque lamentablemente, no puedo pensar en un buen ejemplo en este momento).
Es cierto que la mecánica cuántica generalmente se presenta en el formalismo hamiltoniano, pero como está implícito en la respuesta del usuario 1504, es posible usar un Lagrangiano para cuantificar sistemas clásicos. El enfoque hamiltoniano se conoce comúnmente como "cuantización canónica", mientras que el enfoque lagrangiano se conoce como "cuantización integral de trayectoria".

Editar. Como señala el usuario Qmechanic, mi punto 2 no es estrictamente correcto; La cuantificación integral de trayectoria también se puede realizar con el hamiltoniano. Vea, por ejemplo, esta publicación de physics.SE:

En las Integrales de Trayectoria, ¿lagrangianas o hamiltonianas son fundamentales?

¿Debería ese segundo $2n$ ser justo $n$ ? Espero que el método Lagrangiano no requiera el doble de IC.
Comentario a la última frase de la respuesta (v2): Cabe destacar que también existe una formulación hamiltoniana de la integral de trayectoria, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.
Tengo un ejemplo para ti. Las EDO de primer orden son mucho más fáciles de resolver numéricamente: puede escribir un vector $x$ con 2n coordenadas y momentos generalizados, y escribir $\dot{x} = F(x)$ . Luego en cada punto $x$ en el espacio de fase, sabe en qué dirección "dar un paso". Incluso puede analizar la estabilidad linealizando $F$ , y mirando el signo de las partes reales de los valores propios del jacobiano.
Un comentario a (1): Siempre es trivial traducir un sistema de ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden: simplemente reemplace $\ddot x$ por $\dot y$ (introduciendo la función $y$ ) y sumamos la ecuación $y = \dot x$ . No necesita la formulación de Hamilton para lograr eso. Sin embargo, las ecuaciones de Hamilton son mucho más simétricas que las que acabo de proponer.
Un pequeño detalle: el $n$ las diferentes ODE de segundo orden que constituyen las ecuaciones de Euler-Lagrange están en general acopladas. Como señala @ZachMcDargh, las ODE de primer orden son mucho más fáciles de resolver numéricamente. (De hecho, cuando se resuelve numéricamente una ODE de segundo orden, casi siempre se la convierte inmediatamente en un sistema de ODE acopladas de primer orden usando el procedimiento que explica Friedrich). Entonces, de cualquier manera, en la práctica tienes que resolver $2n$ EDO de primer orden. Pero como dice Friedrich, las ecuaciones de Hamilton son más simétricas.
@tparker De hecho: corrigió la declaración en EL eqs. He aprendido mucho más sobre las ODE numéricas desde que se hizo esta publicación, buenos puntos.

maynak · Answer 3

En primer lugar, el lagrangiano es una cantidad matemática que no tiene significado físico, pero el hamiltoniano es físico (por ejemplo, es la energía total del sistema, en algunos casos) y todas las cantidades en la mecánica hamiltoniana tienen significados físicos, lo que facilita la intuición física. .
En la mecánica hamiltoniana, tiene transformaciones canónicas que le permiten cambiar las coordenadas y encontrar coordenadas y momentos canónicos más fáciles en los que es más fácil resolver el problema.
Lo mejor de todo es que el Lagrangiano es un método matemático poderoso para resolver problemas de mecánica clásica, pero el hamiltoniano es un método poderoso para resolver problemas de mecánica clásica, mecánica cuántica, mecánica estadística, termodinámica... etc. en realidad casi toda la física...

Por ejemplo: En termodinámica: la energía libre de Gibbs, la energía libre de Helmholtz... son todas transformaciones canónicas del hamiltoniano.

Hamiltoniano no siempre es energía total, aunque lo es en muchos de los sistemas que uno típicamente estudia en un curso de mecánica clásica.
Sí, no siempre es energía total, pero mi punto es "siempre es físico".
No todas las cantidades hamiltonianas tienen un significado físico directo. Los momentos y coordenadas generalizados pueden ser funciones mixtas de coordenadas cartesianas y sus momentos correspondientes, sin garantía de que el resultado tenga una interpretación física simple. También en termodinámica, las funciones de Gibbs y Helmholtz no son transformaciones de Legendre del hamiltoniano, sino de energía interna. Para un sistema homogéneo, esta es la función $U(S,V,N)$ , que está relacionado con el hamiltoniano de la mecánica, pero sigue siendo algo muy diferente.
Lagrangiano tiene un claro significado físico. Esa es la diferencia entre la energía cinética y la potencial.
¿El lagrangiano no está relacionado con la acción mínima? S == integral definida(L dt)
@maynak, ¿qué significa ser "físico"? Hasta donde yo sé, la energía tampoco es física, en la medida en que no se puede medir directamente, es solo un valor matemático que se conserva.
@DimiterP, no se puede medir un Lagrangiano. Es posible representar el mismo problema físico con Langrangianos completamente diferentes al hacer diferentes definiciones de lo que constituye energía "potencial" y "cinética". Por ejemplo, hay al menos dos Lagrangianos completamente diferentes en la mecánica de fluidos. Por otro lado, Hamiltonian representa la energía total, y eso es medible y definido de manera única.

bkocsis · Answer 4

Un punto adicional que las respuestas anteriores no enfatizaron lo suficiente es que el formalismo hamiltoniano le permite hacer transformaciones canónicas para cambiar al mejor sistema de coordenadas posible en el espacio de fase para describir el sistema. Esto es mucho mejor que en la mecánica lagrangiana, donde solo puedes hacer transformaciones de coordenadas en el espacio de configuración. (El espacio de fase tiene el doble de dimensiones, por lo que tiene una mayor libertad). Considero que los corchetes de Poisson son muy útiles en la mecánica hamiltoniana para escribir las ecuaciones de movimiento de una función arbitraria de las variables del espacio de fase: $\dot{Q} = \{Q, H\}$ . Es posible encontrar cantidades conservadas ( $\dot{Q}=0$ ) en la mecánica hamiltoniana que no son evidentes en la mecánica lagrangiana.

Ejemplos:

Oscilaciones de modo normal. Si el hamiltoniano resulta ser una función cuadrática de coordenadas y momentos para un sistema de $N$ objetos, por ejemplo $H=\sum_{ij} M_{ij} q_i q_j + \sum_{ij} M_{ij} p_i p_j$ entonces simplemente puede hacer una transformación canónica a lo largo de los vectores propios de $M_{ij}$ diagonalizar $M_{ij}$ , y su sistema se separa en osciladores armónicos independientes.
Teoría de la perturbación. Simplemente puede examinar las oscilaciones alrededor del estado de equilibrio expandiendo el hamiltoniano a segundo orden en las variables del espacio de fase.
En dinámica planetaria, existe una gran separación de escalas entre la interacción de los planetas con la estrella central y sus interacciones mutuas. La "teoría secular" describe la evolución a muy largo plazo del sistema utilizando la mecánica hamiltoniana. Puede aplicar una transformación canónica (transformación de Von Zeipel) a lo largo de las variables de ángulo de acción de las interacciones a corto plazo. Luego puede derivar la evolución a largo plazo (por ejemplo, la de las excentricidades e inclinaciones), investigar si los efectos perturbadores a largo plazo de los planetas se suman de manera resonante o no, si el sistema es caótico, etc.

Fantástico. Esto va muy bien junto con las consideraciones teóricas de la información (lo que me llevó a esta página, en última instancia, mientras pensaba en ML y la independencia).
@jhegedus, ¿puede proporcionar una referencia a las consideraciones teóricas de la información en las que estaba pensando? no estoy familiarizado con la conexión

Físico137 · Answer 5

Además, puede escribir las ecuaciones de movimiento de Hamilton en forma simple:

{\dot{ξ}}_{i} = ω_{i j} \frac{\partial H}{\partial ξ_{j}}

$\dot\xi_i = \omega_{ij}\frac{\partial H}{\partial\xi_j}$

Dónde $\xi_i$ son las coordenadas en el espacio fase, es decir, $\xi = (\mathbf q, \mathbf p)$ . Y, $\omega$ es la matriz simple:

ω = [\begin{matrix} 0 & - {yo}_{norte \times norte} \\ {yo}_{norte \times norte} & 0 \end{matrix}]

$\omega = \begin{bmatrix} 0 && -I_{n\times n} \\ I_{n\times n} && 0 \\ \end{bmatrix}$

Dónde $I_{n\times n}$ es la matriz identidad, con un sistema de $n$ coordenadas espaciales (y por lo tanto, $n$ velocidades, y esas, $2n$ cantidades de coordenadas de espacio de fase). Además, para un observable $G$ , tenemos: $\dot G = \{G, H\}$ como sabes. Entonces, puede tener fácilmente la dinámica de un observable dado $G$ . Todo muy bonito y prolijo y en general, pero....

Pero... esto es lo que considero la parte más asombrosa de la mecánica hamiltoniana:

X = X^{i} \partial_{i} = {ξ^{i}, H} \partial_{i}

$X = x^i\partial_i = \{\xi^i, H\}\partial_i$

Dónde $X$ es un campo vectorial hamiltoniano. Ahora, en cambio, podemos generalizar para un observable $G$ , su campo vectorial:

X_{GRAMO} = X_{GRAMO}^{i} \partial_{i}, X_{GRAMO}^{i} = {ξ^{i}, GRAMO} = \frac{d ξ^{i}}{d ϵ}

$X_G = x^i_G\partial_i, \quad x^i_G = \{\xi^i, G\} = \frac{d\xi^i}{d\epsilon}$

Para cualquier parámetro dado $\epsilon$ para observables $G$ , generando un operador $X_G$ . Su desarrollo de Taylor de primer orden:

ξ^{i} (ϵ) - ξ^{i} (ϵ_{0}) = (ϵ - ϵ_{0}) X_{GRAMO} ξ^{i}

$\xi^i(\epsilon) - \xi^i(\epsilon_0) = (\epsilon - \epsilon_0)X_G\xi^i$

donde el operador $X_G$ está actuando sobre $\xi^i$ . Podemos resolver la ecuación diferencial en transformaciones infinitesimales sucesivas, llegando al límite exponencial fundamental, teniendo así la solución general completa de cualquier sistema hamiltoniano para cualquier observable $G$ :

ξ^{i} (ϵ) = Exp (Δ ϵ X_{GRAMO}) ξ_{0}^{i}

$\xi^i(\epsilon) = \exp\left(\Delta\epsilon X_G\right)\xi^i_0$

¿Entiendes el poder de eso? Señalando, nuevamente, aquí está la solución de cualquier sistema hamiltoniano para cualquier observable $G$ con parámetro $\epsilon$ generado por el operador $X_G$ . Si desea analizar la dinámica, entonces $\epsilon$ es el tiempo, y $G$ es el hamiltoniano, donde $X_H$ define el espacio vectorial hamiltoniano. Todos los sistemas hamiltonianos tienen la misma solución. La misma solucion!! Entonces, resolvamos la dinámica (es decir, donde $\epsilon$ es hora):

ξ^{i} (t) = Exp (Δ t \frac{d}{d t}) ξ_{0}^{i}

$\xi^i(t) = \exp\left(\Delta t\frac{d}{dt}\right)\xi^i_0$

Así que, como puedes ver, muy bien. La mecánica de Lagrange te da buenas ecuaciones unificadas de movimiento. La mecánica hamiltoniana da buenas soluciones unificadas de espacio de fase para las ecuaciones de movimiento. Y también le brinda la posibilidad de obtener un operador asociado y una interpretación simplético-geométrica independiente de las coordenadas. El primero es crucial en la mecánica cuántica, el segundo es crucial en los sistemas dinámicos.

Hm ... esto es divertido ... Creo que esto está conectado a mi y otras respuestas, ángulo extremadamente interesante, ¡gracias!
Espera un segundo, la mejor parte de esta respuesta es el nombre de la persona que escribió esta respuesta :) LOOOOL :) :)
¿Cómo fue la expresión? $X = x^i\partial_i = \{\xi^i, H\}\partial_i$ ¿obtenido?
@AccidentalFourierTransform dijo "la parte más sorprendente de la mecánica hamiltoniana". ¿Hay un nombre para esta función? Este es un hecho bastante sorprendente, y creo que sería nombrado.
@Dale, ¿hizo ping al usuario equivocado? No escribí esta respuesta, solo hice un par de pequeñas ediciones.
Uy, sí lo siento. @ Physicist137, ¿hay algún nombre para esa función?

pppqqq · Answer 6

Este es un hecho sobre el hamiltoniano en comparación con el lagrangiano que no encuentro trivial (y vale la pena tener en cuenta).

Supongamos que el lagrangiano $L$ y hamiltoniano $H$ son cíclicos con respecto a alguna coordenada $q_1$ . Entonces tenemos un teorema (cfr. [1]):

La evolución de las otras coordenadas. $q_2,...,q_n$ es el de un sistema con $n-1$ coordenada independiente $q_2,...,q_n$ con hamiltoniano
$H ({pags}_{2}, . . ., {pags}_{norte}, q_{2}, . . ., q_{norte}, t, C),$ $H(p_2,...,p_n,q_2,...,q_n,t,c),$ dependiente del parámetro $c=p_1$ .

Tenga en cuenta que esto es falso si en lugar de $H$ enunciamos el teorema del lagrangiano $L$ .

Para ver exactamente lo que quiero decir, considere el Lagrangiano simplificado del problema de dos cuerpos:

L = \frac{m}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2}) - tu (r) .

$L=\frac{\mu}{2} (\dot r ^2+r^2\dot \varphi ^2 )-U(r).$ Tenemos

{pags}_{φ} = m r^{2} \dot{φ} = ℓ (constante) .

$p_\varphi=\mu r^2 \dot \varphi=\ell \quad(\text {constant}).$ Ahora intenta enchufar

\dot{φ} = \frac{ℓ}{m r^{2}}

$\dot \varphi=\frac{\ell}{\mu r^2}$ dentro del lagrangiano y compare las ecuaciones de movimiento así obtenidas con las que obtiene insertándolas directamente en las ecuaciones de movimiento

\frac{\partial L}{\partial r} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}

$\frac{\partial L}{\partial r}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot r}$ .

[1] “Métodos matemáticos de la mecánica clásica“ VI Arnold, §15 Cor.2.

FWIW, el mismo problema de Lagrange en el último ejemplo de pppqqq se pregunta con precisión, por ejemplo , aquí y aquí .

parker · Answer 7

Además de las varias respuestas excelentes ya publicadas:

1) La mecánica hamiltoniana se presta a una forma general y sistemática de teoría de perturbaciones llamada "teoría de perturbaciones canónicas". La teoría de la perturbación en la mecánica lagrangiana tiende a ser un poco más ad hoc y caso por caso. Sospecho que es por eso que Hamilton y Jacobi desarrollaron originalmente la teoría, ya que, por supuesto, no sabían sobre sus futuras aplicaciones cuánticas y mecánicas estadísticas.

2) La mecánica hamiltoniana conduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi, que es útil para encontrar cantidades conservadas no obvias para sistemas complicados.

3) La ecuación de Hamilton-Jacobi, a su vez, conduce a variables de ángulo de acción , que son especialmente útiles en astronomía (que preocupaba mucho a los primeros físicos).

@lalala: Puedo responder eso ahora. La ecuación de Hamilton-Jacobi conduce a una constante de movimiento "oculta" para las partículas que se mueven alrededor de un agujero negro de Kerr, lo que a su vez le permite reducir todas las ecuaciones a primer orden y hacer cosas como calcular la forma de la sombra.

Tobías Diez · Answer 8

Una forma de ver la relación de la mecánica clásica hamiltoniana y la mecánica cuántica es no buscar una traducción directa de hamiltioniano -> hamiltioniano cuántico (que existe: cuantización geométrica), sino considerar la relación inversa. Dado un operador de Hamilton y evaluándolo en funciones de onda de la forma $e^{\frac{i}{\hbar} \phi}$ (que puede pensarse como un paquete de ondas altamente localizado) se simplifica en el límite $\hbar \to 0$ a la ecuación de Hamiltion-Jacobi con el clásico hamiltioniano. Esto se conoce como aproximación WKB y también se aplica a la óptica (es decir, los rayos de luz siguen las curvas integrales de la imagen hamiltioniana asociada en primera aproximación).

En este contexto, es una función arbitraria de valor real que describe la fase del paquete de ondas. La aproximación WKB generalmente produce algún tipo de ecuación (para la ecuación de Schrödinger es la ecuación de Hamilton-Jacobi).

Adán Getchell · Answer 9

El formalismo canónico (Hamiltoniano) ofrece uno de los principales caminos para cuantificar la gravedad. La Relatividad General se puede expresar en términos de la descomposición ADM 3+1 del espacio-tiempo:

http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalismo

Y la mecánica cuántica subyacente de Hamiltonian:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mecánica_cuántica)

Esto no solo proporciona un enlace difícil de alcanzar entre teorías que de otro modo serían fundamentalmente incompatibles (teoría cuántica de campos y relatividad general), sino que en el formalismo hamiltoniano de GR es posible resolver problemas numéricamente que de otro modo serían extremadamente difíciles o imposibles a través de las ecuaciones de campo estándar de Einstein.

Por cierto, el Lagrangiano (y la densidad de Lagrange) es físico en relatividad general, ya que uno puede derivar las Ecuaciones de Campo de Einstein directamente de la acción de Einstein-Hilbert. Esta minimización de la acción es también la base del enfoque integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

Los diagramas de Feynman tan útiles en QFT se derivan directamente de esto y, por supuesto, la teoría de cuerdas es una generalización dimensional superior del enfoque de integral de trayectoria.

http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/stringnotes.pdf

pablo t · Answer 10

Uno de los beneficios del hamiltoniano es la expresión directa del teorema de Noether . El teorema de Noether dice que la simetría conduce a cantidades conservadas.

Una forma de entender el teorema de Noether es que un sistema con una simetría tiene una coordenada ignorable asociada en el Lagrangiano. Por ejemplo, un sistema con simetría rotacional se puede expresar en coordenadas donde el ángulo de rotación $\phi$ no aparece en el lagrangiano.

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0 ⟹ \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}}) = \frac{d {pags}_{ϕ}}{d t} = 0

$\frac{\partial L}{\partial \phi} = 0 \implies \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right) = \frac{d p_\phi}{dt} = 0$

Entonces el $\phi$ se conserva la componente de la cantidad de movimiento.

El enfoque hamiltoniano es especialmente útil en métodos numéricos. Observe cómo una de las ecuaciones de evolución de Hamilton nos informa sobre los cambios en el impulso.

\frac{d {pags}_{i}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial q^{i}}, \frac{d q^{i}}{d t} = \frac{\partial H}{\partial {pags}_{i}}

$\frac{d p_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q^i}, \quad \frac{d q^i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$

En un sistema con momentos canónicos conservados, las ecuaciones de Hamilton exigirán explícitamente la conservación. En muchos casos, el propio hamiltoniano es una cantidad conservada (como la energía). Encontrar soluciones numéricas a las ecuaciones de Hamilton en lugar de la segunda ley de Newton dará como resultado una mayor estabilidad de las soluciones numéricas. Existe toda una clase de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales, integradores simplécticos , que utilizan esta función.

Si desarrolla numéricamente un problema orbital directamente de $\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$ , el error numérico se acumulará rápidamente y la órbita se apartará de la verdadera solución. Una forma de ver esto es calcular la energía y el momento angular como funciones del tiempo ( $E(t)$ , $\ell(t)$ ) a partir de soluciones de posición $r(t)$ , $\theta(t)$ , $\phi(t)$ . Encontrarás eso $E(t)$ y $\ell(t)$ se vuelven significativamente diferentes de los valores iniciales y siguen empeorando.

Cuando trabaje con las ecuaciones de Hamilton, el error numérico afectará sus cálculos, pero $\ell()$ será exactamente el mismo en cada paso y $E(t)$ será más estable ya que es una función del estable $p$ es además de $q$ 's. Las coordenadas de posición seguirán teniendo un error numérico. Pero porque $E$ y $\ell$ son estables, las coordenadas oscilarán alrededor de los valores verdaderos en lugar de divergir.

cal abel · Answer 11

El hamiltoniano se puede utilizar para describir una evolución de la "densidad en fase" de un sistema de N cuerpos. La densidad en fase es una cantidad conservada para un sistema en equilibrio por el Teorema de Liouville. La posición y los momentos pueden describir cualquier parámetro intensivo general. Gibbs usó este enfoque para derivar la mecánica estadística.

Este enfoque del concepto de evolución de una función de densidad de probabilidad se puede utilizar en muchas otras aplicaciones. Mi investigación actual aplica esto a la teoría del control del espacio de estado, el análisis económico y la evaluación del daño por radiación en las células. Entonces, si bien es un poco complicado, es extremadamente útil. Va de la mano con la maximización de la entropía.

Lo siento, corrija esta respuesta, no quiero rechazarla, pero "La densidad en fase es una cantidad conservada para un sistema en equilibrio según el teorema de Liouville". no tiene sentido. No existe tal cosa como "densidad", al menos no en un sistema discreto. Cada estado está ocupado o no. El teorema de Liouville dice que el VOLUMEN es constante. Es decir, el número de puntos ocupados. Esto solo importa para un conjunto de sistemas (en estado físico), donde el volumen es más de "uno". "La información no se pierde". Esto es lo que significa.
"Va de la mano con la maximización de la entropía" => Sería extremadamente cuidadoso al decir cosas como esta. "La razón de Boltzmann que impulsó el suicidio fueron frustraciones impulsadas intelectualmente". Todavía es un misterio. claesjohnson.blogspot.com/2019/02/boltzmann-175.html La respuesta parece MUY inestable.

Ladrillo Cuántico · Answer 12

Respuesta extremadamente breve y no mencionada: el momento y la posición en la mecánica cuántica (QM) forman una representación del álgebra de Heisenberg en términos de operadores unitarios. En la mecánica newtoniana (NM) no hay una estructura algebraica subyacente visible, pero en la mecánica hamiltoniana (HM) el momento y la posición también forman una representación del álgebra de Heisenberg, esta vez en términos de funciones reales. Desde este punto de vista de la teoría de grupos, HM y QM son casi indistinguibles, mientras que QM parece magia en comparación con NM.

Operadores unitarios: preservando la norma de la función de onda. Dios mío, representación. Mi teoría de grupos se detiene en: la representación es una "matriz". Digamos, alguna matriz de rotación, para algún grupo de rotación. Posición e impulso, no son representaciones. Los propios operadores lo son. Si tomo la analogía de la matriz. La posición y el momento son simplemente los "espacios" donde operan los operadores/matrices. Mi teoría de grupos tiene 18 años, por lo que podría estar un poco equivocado aquí.
Interesante, hoy me acaba de saltar a la cabeza el concepto de irreductibilidad. Creo que se relaciona con la transformación de una matriz en forma de bloque diagonal. Curiosamente, esto también conduce al concepto de independencia como en el desacoplamiento (mi teoría de grupos es muy antigua... pero este bloque diagonal me da una pista).
Uuuups, sí... en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_representation ... la principal importancia de la teoría de grupos es exactamente esta... describir sistemas en términos de grupos desacoplados...

usuario3072048 · Answer 13

El problema clásico de la mecánica es resolver las ecuaciones de movimiento para un sistema lagrangiano o hamiltoniano dado. En este caso, es solo cuestión de elegir si usar el formalismo de Hamilton o el de Lagrange para hacer esto. Una vez que se encuentra la solución, todo lo que hay que saber sobre ese sistema específico está contenido en ella.

Pero, ¿qué tal si uno quiere hacer preguntas más fundamentales sobre si hay propiedades de los sistemas físicos que no son específicas de la forma particular de un hamiltoniano/lagrangiano sino que son más bien inherentes a todos los sistemas? Para responder a esto, es necesario desentrañar la estructura matemática que es genérica para todos los sistemas físicos. Es precisamente entonces cuando la formulación hamiltoniana se diferencia de la formulación lagrangiana: la estructura genérica que subyace a los sistemas hamiltonianos se denomina “variedades simplécticas” y resulta que su matemática es tan rica que resulta de gran interés para las matemáticas hasta esta fecha.

El ejemplo más destacado de una propiedad genérica de los sistemas hamiltonianos que no está relacionada con la forma específica de un hamiltoniano es el teorema de Liouville, que establece que el espacio de fase se conserva con el tiempo. Intuitivamente, esto significa que la información nunca se pierde durante la vida del sistema.

El estudio de la dinámica hamiltoniana/variedades simplécticas se vuelve particularmente útil cuando el espacio-tiempo no es euclidiano. Por ejemplo, las variedades simplécticas y, por lo tanto, la dinámica de Hamilton no existen en una esfera. $S^{2n}$ para n>1. Por lo tanto, son estos tipos de preguntas las que pueden estudiarse de manera muy natural en el entorno hamiltoniano/variedad simpléctica en lugar del formalismo lagrangiano.

Me gusta que también menciones el ángulo de la información. La historia es mucho más profunda que eso. Considere la independencia. Sistemas independientes. Desacoplamiento. La entropía es aditiva. La energía es aditiva. La energía es simplemente una medida de la entropía. La ecuación de los movimientos son independientes. En mi humilde opinión, esto va en ambos sentidos. Además, sospecho, que esto le da significado a las "dimensiones". Coordenadas generalizadas. Que toman en cuenta las restricciones. Ellos (pueden) desacoplar la dependencia energética. Entonces H(x,y)=H(x)+H(y) se vuelve posible escribir. Debido al "concepto" de que la energía total es la suma de las energías componentes.
Llegué a esta conclusión después de aprender "ML" durante muchas horas, 3 años + 2 más o menos... y también tengo un doctorado en física, con un enfoque en la física teórica de la materia condensada. Curiosamente, ML y cond mat phys encajan espléndidamente juntos. Como gafas giratorias para DNN y demás. Entonces, me preguntaba por qué es tan importante que las "cosas" tengan que ser independientes en "ML" (ver modelos gráficos y sus amigos), sin embargo, el concepto de independencia es central en ML. Encontrar un "sistema de coordenadas" independiente. Hace posible escribir la entropía como una suma. Luego pensé en la física estadística, la entropía
energía libre y cómo la termodinámica se deriva de principios simples, ergodicidad, espacio de fase, entropía y tal ... Me di cuenta de que la existencia del formalismo hamiltoniano y la independencia en "ML" tiene la misma razón subyacente, a saber, reducir el Kolmogorov complejidad del algoritmo que describe la "teoría" en física, o el "modelo" en ML. Además, el anterior (en ambas disciplinas) se está volviendo exponencialmente más escaso con el número de grados de libertad independientes. Además, una vez que se maximiza la independencia, se vuelve más fácil "hacer" aprendizaje no supervisado (olvidé por qué... :)).

jhegedus · Answer 14

La siguiente respuesta es un poco "intuitiva" pero, con suerte, sigue siendo correcta en su mayoría, o al menos invita a la reflexión. Perdón por la falta de rigor. Planeo escribir estos pensamientos algún día en una buena publicación de blog, esto es solo un boceto aproximado.

No estoy seguro, pero el punto más importante en el concepto de "Hamiltoniano" es que dos sistemas independientes de energía son aditivos.

Los sistemas que no interactúan pueden describirse mediante H1+H2.

Busqué en esta página y esto no ha sido descrito.

¿Por qué es tan importante esta aditividad?

Tomemos un oscilador armónico.

El espacio de fase es la circunferencia de un círculo.

La energía es proporcional al radio del círculo.

Entonces la circunferencia.

Así que el número de microestados.

Entonces S=-log(E)*c.

Entonces, ¿por qué es esto un gran problema?

Porque si tomamos dos osciladores armónicos, entonces la entropía se vuelve aditiva (extensiva).

Entonces, ¿por qué es esto tan importante?

Probabilidad. Las probabilidades de registro de sistemas independientes son aditivas.

Entonces, la independencia física y la independencia probabilística en este caso son lo mismo.

Entonces, la física estadística se vuelve posible de "hacer".

Esta es una versión diferente de la declaración de la respuesta aceptada. Desde el punto de vista de la teoría de la información.

¿Por qué es tan importante la independencia?

La complejidad de Kolmogorov de los algoritmos que describen el espacio de fase, o incluso el movimiento, son aditivos. Entonces es óptimo. En el sentido de la navaja de Occam.

Por tanto, el formalismo hamiltoniano es la forma más óptima de crear teorías que describan sistemas independientes.

Desde este punto de vista, es intuitivo ver que la teoría de la perturbación "funciona".

Si el cambio en la energía de un subsistema es pequeño (perturbación débil), entonces el espacio de fase no se vuelve mucho más grande, por lo que la información que debe almacenarse para describir el sistema perturbado no es mucho más porque el tamaño del espacio de fase no cambia mucho. .

Entonces, este enfoque teórico de la información brinda una explicación intuitiva de por qué la teoría de la perturbación "funciona".

Además, E = mc ^ 2 se deduce de esto (hasta una constante). E = mc ^ 2 simplemente expresa que si un oscilador desaparece, su espacio de fase también desaparece y la energía se transfiere al otro oscilador, por lo que la información se conserva. E=mc^2 es "simplemente" sobre la conservación de la información. Sin el concepto de hamiltoniano esta ecuación y la correspondiente conservación de la información no existirían.

Entonces, la ecuación de Hamilton es importante porque permite tratar sistemas independientes independientes en los marcos teóricos de la información (de los cuales se sigue la probabilidad), como se insinuó en el primer punto de la primera respuesta. La mecánica estadística se basa en esto. Además, la termodinámica no existiría con el concepto de Energía. Dado que los sistemas independientes se describen por su energía, que es extensiva, aditiva.

Curiosamente, todas las variables extensas en termodinámica están relacionadas con el cambio del espacio de fase. El volumen crece, el espacio de fase relacionado con el volumen cambia, la energía cinética disminuye (el espacio de fase relacionado con el impulso disminuye), en sistemas adiabáticos, de modo que el contenido total de información permanece constante (y, en consecuencia, la entropía).

Entonces, sin energía, no hay entropía, ni información, ni espacio de fase, ni E = mc ^ 2.

Por qué ? Sin Energía no hay independencia entre sistemas aislados.

¿Por qué está mal? Las teorías (algoritmos) que describen sistemas independientes tienen una complejidad de Kolmogorov aditiva. Sin el concepto de Energía, las teorías no tendrían esta propiedad, por lo que no obedecerían a la navaja de Occam, por lo que serían innecesariamente más complejas de lo necesario. Sería menos correcto.

En el marco de la teoría de Solomonoff se puede justificar esta afirmación.

Tienes buenos puntos, pero ¿no son también aditivos los lagrangianos de los sistemas independientes?
No. ¿Por qué lo serían? Puede agregarlos, pero eso no tiene relación con el espacio de fase / entropía / teoría de la información / termodinámica / leyes de conservación / nada. SIN EMBARGO ! El enfoque lagrangiano tiene otra fortaleza: el principio variacional. youtube.com/watch?v=KdFo6eoW9x4 Esto también es fantástico.
y, como toque adicional: el teorema de Virial. en.wikipedia.org/wiki/Virial_theorem physics.stackexchange.com/questions/32896/… El teorema de Virial se deriva del principio de acción mínima. Así que esto puede dar algo de inspiración, ¡sobre lo cual tendré que pensar yo mismo!
Incluso contemplaría que se trata de una especie de dualismo. El lagrangiano es independiente del tiempo, mientras que el hamiltoniano es un enfoque independiente del espacio. En otras palabras, el lagrangiano se basa en la variación espacial pero no en la variación temporal. El hamiltoniano se basa en la variación del tiempo (evolución del tiempo) pero no en la variación del espacio (no necesita tener derivada por el espacio).
discursed.mc-stan.org/t/… también se discute aquí, con suerte :)

Cristian Dumitrescu · Answer 15

En la teoría algorítmica de la información (Leibniz, Kolmogorov, Chaitin), existe un concepto, "programas elegantes". Estos son programas mínimos que pueden generar una secuencia binaria dada. Podemos hacer una analogía con la física, o con cualquier otra teoría axiomática (esta analogía ha sido estudiada por Chaitin). El formalismo lagrangiano y hamiltoniano (con el principio de acción min) representa un marco matemático mínimo que puede explicar una gran cantidad de datos experimentales, de todos los dominios de la física, desde QFT hasta GR. Desafortunadamente, en la teoría algorítmica de la información, demostrar que un programa es "elegante" no es un problema trivial. Siguiendo esta analogía, si el formalismo lagrangiano/hamiltoniano es el mejor posible, no es un problema baladí. Para responder a su pregunta, el punto es "elegancia",

Pero... no hay almuerzo gratis... así que... ese es tu punto, supongo.
AFAIK esto da una buena definición. por elegancia: en.wikipedia.org/wiki/…

¿Cuál es el punto de la mecánica hamiltoniana?

Javier

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