¿Cuál es el cálculo relativista del tiempo de viaje a Proxima Centauri?

Para realizar dicho cálculo, utilizaremos el espacio-tiempo plano de Minkowski de la relatividad especial. Suponiendo que el viajero no se acerque lo suficiente a ningún cuerpo masivo durante el viaje.

Ahora, para realizar este cálculo de manera relativista (suponiendo que desea incluir los efectos de un factor de Lorentz cambiante y la aceleración asociada), primero debemos obtener/derivar una expresión de cómo se transforma el factor de Lorentz de un objeto en movimiento. Esto nos permitirá derivar la expresión relativista requerida para la aceleración propia de los objetos.

Entonces, consideremos dos marcos inerciales S (el 'observador que se queda en casa) y S' (el viajero) en 'configuración estándar' (es decir, asumiendo que S' se mueve en la dirección x positiva con velocidad$v$). Dejar$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})^{\mathsf{T}}$Sea el vector instantáneo de velocidad en S del viajero. Ahora deseamos encontrar la velocidad y$\mathbf{u}' = (u'_{1}, u'_{2}, u'_{3})^{\mathsf{T}}$del viajero en el marco S'. podemos definir

$$\mathbf{u} = (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t, \mathrm{d}y/\mathrm{d}t, \mathrm{d}z/\mathrm{d}t))^{\mathsf{T}},$$ $$\mathbf{u}' = (\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t', \mathrm{d}y'/\mathrm{d}t', \mathrm{d}z'/\mathrm{d}t'))^{\mathsf{T}}.$$

A partir de esta definición y del hecho de que los dos marcos están en la 'configuración estándar', podemos escribir inmediatamente las bien conocidas fórmulas de transformación de velocidad (sin derivación):

$$u'_{1} = \frac{u_{1} - v}{1 - u_{1}v/c^{2}}, \; u'_{2} = \frac{u_{2}}{\gamma(1 - u_{1}v/c^{2})}, \; u'_{3} = \frac{u_{3}}{\gamma(1 - u_{1}v/c^{2})}.$$

Aquí no se hicieron suposiciones acerca de la uniformidad y estas fórmulas se aplican igualmente a la velocidad instantánea en un movimiento no uniforme.

Escribamos ahora$u = (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$y$u' = ({u'}_{1}^{2} + {u'}_{2}^{2} + {u'}_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$para las magnitudes de las velocidades correspondientes en S y S'. Ahora elijamos la firma de nuestro tensor métrico$g_{\mu \nu}$de nuestro espacio-tiempo de Minkowski para que para nuestros dos marcos inerciales podamos escribir

$$c^{2}\mathrm{d}t'^{2} - \mathrm{d}x'^{2} - \mathrm{d}y'^{2} - \mathrm{d}z'^{2} = c^{2}\mathrm{d}t^{2} - \mathrm{d}x^{2} - \mathrm{d}y^{2} - \mathrm{d}z^{2}.\;(\mathrm{A})$$

En nuestra 'configuración estándar', las transformaciones de Lorentz para nuestras coordenadas vienen dadas por

$$\mathrm{d}x' = \gamma(\mathrm{d}x - v\mathrm{d}t), \; \mathrm{d}y' = \mathrm{d}y, \; \mathrm{d}z' = \mathrm{d}z, \; \mathrm{d}t' = \gamma(\mathrm{d}t - v\mathrm{d}x/c^{2}).\;(\mathrm{B})$$

Ahora, factorizando$\mathrm{d}t'^{2}$y$\mathrm{d}t^{2}$forman el LHS y el RHS de (A), respectivamente y usando (B) podemos escribir

$$\mathrm{d}t^{2} (c^{2} - u^{2}) = \mathrm{d}t'^{2}(c^{2} - u'^{2}) = \mathrm{d}t^{2}\gamma^{2}(v)(1 - u_{1}v/c^{2})^{2}(c^{2} - u'^{2}).\;(\mathrm{C})$$

Ahora, cancelando$\mathrm{d}t^{2}$de lo anterior ahora podemos obtener la siguiente transformación para$u^{2}$, la magnitud al cuadrado de la velocidad de nuestro viajero:

$$c^{2} - u'^{2} = \frac{c^{2}(c^{2} - u^{2})(c^{2} - v^{2})}{(c^{2} - u_{1}v)^{2}}.$$

Nota aquí$u_{1}v = \mathbf{u}.\mathbf{v}$de modo que el RHS es realmente simétrico en$\mathbf{u}$y$\mathbf{v}$- lo que significa que esto es válido para cualquiera de las dos 3 velocidades subliminales. Ahora, reescribiendo los términos anteriores de$\gamma(u)$y$\gamma(u')$, con algo de trabajo obtenemos las siguientes relaciones útiles

$$\frac{\gamma(u')}{\gamma(u)} = \gamma(v)(1 - \frac{u_{1}v}{c^{2}})$$

Esta expresión muestra cómo se transforma el factor de Lorentz de un objeto en movimiento (para +ive$v$). Ahora podemos usar esto para obtener una expresión para nuestra propia aceleración.

Ahora usando la función de rapidez podemos simplificar la siguiente derivación (¡a lo grande!). La función de rapidez$\phi(u)$Se puede escribir como

$$\phi(u) = \tanh^{-1} (\frac{u}{c}),$$

lo que permite reescribir la fórmula de suma de velocidad en la forma notablemente simple

$$\phi(u) = \phi(v) + \phi(u'),$$

ahora diferenciando con respecto a (WRT)$t$rendimientos

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(u) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\phi(u')\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}.\;(\mathrm{D})$$

que se puede escribir como

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(u) = \frac{1}{c}\gamma^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t},$$

y de (C) arriba podemos escribir$\mathrm{d}t'/\mathrm{d}t = \gamma(u')/\gamma(u)$. Sustituyendo esto y la ecuación anterior (y su versión primada) en la expresión anterior para$\phi(u)$podemos escribir la fórmula de transformación de aceleración deseada (¡espero no haber cometido errores! :))

$$\gamma^{3}(u')\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}t'} = \gamma^{3}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}.$$

Ahora bien, si definimos la aceleración adecuada$\alpha$(digamos), como lo que se mide en el marco de descanso de nuestros viajeros S ', encontramos al establecer$u' = 0$y$\mathrm{d}u'/\mathrm{d}t' = \alpha$, usando nuestra ecuación de transformación de aceleración obtenemos

$$\alpha = \gamma^{3}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\gamma(u)u].$$

Esta aceleración adecuada$\alpha$es exactamente el empujón que sentimos en un cohete acelerando. Ahora, finalmente, en nuestro caso de interés, el del movimiento rectilíneo con aceleración propia constante$\alpha$. Podemos integrar la ecuación anterior una vez, eligiendo$t = 0$cuando$u = 0$

$$\alpha t = \gamma(u) u. \; (\mathrm{E})$$

Cuadre esto, resuelva para$u$e integrar de nuevo con las mismas condiciones iniciales nos dan la siguiente ecuación de movimiento

$$x^{2} - c^{2}t^{2} = c^{4}/\alpha^{2}.$$

¡De ahí que el movimiento con aceleración propia constante se llame hiperbólico!

Ahora podemos resolver tu pregunta. Es probable que a 20 g para la mitad de la distancia estemos mucho más allá de la velocidad de la luz. Tomemos la versión de la ecuación de movimiento relativista derivada anterior para el marco S. Ahora, al establecer la distancia en 2,125 años luz con una aceleración de 20 g, podemos calcular el tiempo necesario para alcanzar el punto medio (usando la ecuación relativista de movimiento anterior), del marco de referencia de los observadores locales, que resulta ser 1531 días (o 4,19 años). Este movimiento será simétrico, por lo que el tiempo necesario para todo el viaje en el marco S (¡teniendo en cuenta el movimiento relativista completo!) será de 3062 días (o 8,39 años).

Ahora, para el tiempo medido en el cuadro S'... ¡Te dejaré resolverlo! No es tan simple como usar una transformada de Lorentz en el tiempo total tomado en este caso; como hemos visto, el factor de Lorentz cambiará para un cuerpo acelerado.

En cuanto a la velocidad máxima, también dejaré esto como un ejercicio: me he saltado deliberadamente el paso donde derivamos la ecuación para$u$. Puedes obtener$u$de (E) y calcule la velocidad máxima en consecuencia.

También notará que en el cálculo newtoniano, el tiempo necesario para llegar al punto medio es de 166 días. Esto se debe a que la velocidad de la luz se alcanza en 17,69 días a una distancia de 212 minutos luz; dando una velocidad a la mitad del camino de la friolera de 9.38c! El cálculo relativista refleja el límite de c en el cálculo.

Espero que disfrutes leyendo esto tanto como yo disfruté al leerlo. ¡Puedes decir que estoy fuera del trabajo!

Mis mejores deseos.