Consecuencias para las matemáticas de las convenciones de escritura humana

Cuando aprende a leer y escribir, aprende que las ideas fluyen en la página de izquierda a derecha (o de derecha a izquierda y, en ocasiones, de arriba a abajo, según la cultura). A medida que empiezas a aprender matemáticas, ves que sigue el mismo patrón. Una ecuación como 1 + 2 = 3 lee de izquierda a derecha (o de derecha a izquierda) y sigue la forma típica que usas para escribir cualquier otra cosa. Esta convención dispuesta horizontalmente nos sigue a las matemáticas superiores, especialmente al álgebra. La multiplicación en grupos se escribe horizontalmente y existe una confusión perenne que surge de la diferencia entre la multiplicación por la derecha y la multiplicación por la izquierda. Las secuencias exactas están dispuestas horizontalmente. Etc. Por supuesto, no todas las matemáticas están codificadas en expresiones algebraicas dispuestas horizontalmente, pero eso es sin duda la base de muchos conocimientos.

Tengo curiosidad por saber si hay algún cuerpo de pensamiento que examine cómo nuestras matemáticas están moldeadas o restringidas por nuestras convenciones para organizar ideas horizontalmente en una página. ¡Tal vez incluso haya restricciones basadas en el hecho de que estamos escribiendo cosas en una página! Y tal vez este sea un caso de "no se puede saber lo que no se sabe". Pero sería interesante recopilar ejemplos de la historia de las matemáticas cuando romper con estas convenciones de pensamiento condujo a grandes avances.

Creo que Baez y otros han escrito sobre esto, especialmente en el contexto de álgebras planas y sus parientes, pero no puedo encontrar las fuentes que recuerdo en este momento.
Hice una pregunta relacionada hace un tiempo que quiero vincular a esto. Más apremiante, tengo algunas ideas sobre esto, que responderé pronto ^_^
Hay una gran cantidad de investigación sobre la filosofía y la sociología de las matemáticas. No creo que las matemáticas sigan las convenciones horizontales de la escritura humana: no hay nada en la escritura ordinaria como las notaciones tradicionales para matrices, integrales y derivadas.
(1/2) No se trata de escribir en horizontal/vertical sino en el orden de las palabras. Estoy enseñando matemáticas en Corea del Sur y mi compañero de trabajo de Filosofía de la Ciencia a menudo dice que el coreano tiene un orden de palabras diferente al del inglés y otros idiomas europeos principales, lo que dificulta que los jóvenes coreanos aprendan matemáticas. Por ejemplo, "1+2 = 3" se puede leer en inglés como "1 más 2 es igual a 3" (sujeto - verbo - orden del objeto); según él, sería más natural que los coreanos escribieran esta identidad como "1+2 3=" (Sujeto Objeto Verbo).
(2/2) Las personas pueden aprender a tener fluidez en idiomas extranjeros y pueden pensar directamente en idiomas extranjeros. Del mismo modo, los coreanos se acostumbran rápidamente a la escritura matemática estándar (y se les da bien), así que no estoy seguro de que esto tenga un impacto.
No veo cómo escribir horizontalmente o no cambiaría nada. Hay bastantes sistemas de escritura que son verticales. Si el álgebra hubiera evolucionado a partir de uno de esos en su lugar, simplemente estaríamos confundiendo la multiplicación hacia arriba y hacia abajo. Tendría que escribir en diferentes direcciones al mismo tiempo para realizar cualquier cambio, pero luego perdería la capacidad de hablar sobre ello, porque el tiempo es lineal y tendría que especificar un orden nuevamente. Lo hacemos, por ejemplo, en geometría o para secuencias de diagramas, pero en la mayoría de las fórmulas parece que no valen la pena las desventajas.
Parece que esta pregunta se refiere a una especie de analogía matemática de la "Hipótesis Sapir-Worf" de la lingüística.
¡Ah, sí! @JairTaylor No había oído hablar de eso antes, pero eso captura exactamente a lo que estoy tratando de llegar.
Usted menciona "Una ecuación como 1 + 2 = 3 lee de izquierda a derecha (o de derecha a izquierda)" y pasar al siguiente nivel de abstracción. Lo que he aprendido en la enseñanza es que ya aquí es un obstáculo. Tengo estudiantes de secundaria que insisten en que
( X − 1 ) ⋅ ( X − 2 ) = X 2 − 3 X + 2
tiene un significado diferente a
X 2 − 3 X + 2 = ( X − 1 ) ⋅ ( X − 2 )
El primero, dicen, es "multiplicar" y "fácil", el segundo es "factorizar" y "difícil". Mi punto es que ya la comprensión de que matemáticamente, las dos líneas son completamente equivalentes es algo por lo que uno tiene que ir más allá de las convenciones de escritura habituales.

Respuestas (1)

Como mencionó Noah en los comentarios, John Baez y otros teóricos de categorías han estado pensando en "sistemas de escritura alternativos" que pueden simplificar ciertos cálculos algebraicos. Esto generalmente se debe a que en realidad hay algo de álgebra de "dimensiones superiores" debajo de la superficie (ver aquí para una discusión).

Como un ejemplo concreto de esto, ¿has visto la prueba "bidimensional" de Eckmann-Hilton? La idea es que, en lugar de tener dos multiplicaciones ⋆ y ∘ , en cambio, pensamos en ellos como multiplicaciones "horizontales" y "verticales". Puede encontrar la prueba a la que me refiero en la página de wikipedia , y probablemente estará de acuerdo en que es la mejor manera de hacer las cosas.

Ahora, ¿qué tiene esto que ver con el "álgebra de dimensiones superiores"? La respuesta depende de tu estómago para tonterías abstractas.

Quizás de manera más concreta, el argumento muestra que los grupos de homotopía superiores de un espacio topológico son abelianos. Ahora, estos grupos de homotopía superior deben tener al menos dos dimensiones para moverse (eso es lo que los hace "más altos") y el argumento de Eckmann-Hilton dice que podemos barajar estas dos celdas para obtener conmutatividad. Este es obviamente un fenómeno bidimensional, y la prueba se vuelve mucho más simple cuando permitimos que la notación algebraica "bidimensional" lo muestre. Puede ver más en una respuesta (característicamente excelente) de Qiaochu aquí .

Menos concretamente, este cálculo se ve mejor con "álgebra 2D" porque en realidad es un cálculo que ocurre dentro de una categoría 2. En general, los cálculos dentro de n-categorías se representan mejor con "operaciones n-dimensionales". Por ejemplo, cuando dibujamos diagramas conmutativos, a menudo tenemos homotopías de "dimensiones superiores" que son testigos de la conmutatividad. Así que podemos tener un cubo como este, en el que deberías pensar solo como los vértices y las aristas (es decir, solo la estructura dimensional 0 y 1)

un cubo

luego, saber que las caras conmutan equivale a "rellenar" las caras con cuadrados 2d, y mostrar que la caja completa conmuta llena el cubo resultante (hueco) con una celda 3d.

Este tipo de argumentos son todos de "dimensiones superiores" y este es realmente su escenario natural.

De hecho, dado que los teóricos de categorías tienen que hacer muchos cálculos con diagramas conmutativos (que naturalmente viven en dimensiones superiores), existe una historia bastante rica de manipulación algebraica que funciona muy bien con estas estructuras de dimensiones superiores. Ver diagramas de cadenas y operaciones , por ejemplo.

Espero que esto ayude ^_^

Los diagramas de cadenas son un gran ejemplo: hay una maravillosa serie de videos que los explican sin necesidad de ningún conocimiento sofisticado de teoría de categorías: youtube.com/playlist?list=PL50ABC4792BD0A086
"La teoría de la notación matemática en un número entero de dimensiones es bien conocida..."
Consecuencias para las matemáticas de las convenciones de escritura humana
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