Completitud de las ecuaciones de Maxwell

Si consideramos las ecuaciones de Maxwell en la forma:
∇ ⋅ mi → = ρ ϵ 0
∇ ⋅ B → = 0
∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t
∇ × B → = m 0 j → + m 0 ϵ 0 ∂ mi → ∂ t
Estas son 1+1+3+3=8 ecuaciones escalares. Sin embargo, estos relacionan los vectores mi → , B → a norte d j → que tienen 3 ⋅ 3=9 componentes escalares. Por lo que he leído, esta anomalía se soluciona introduciendo las llamadas relaciones constitutivas, que en este caso pueden ser, digamos, la ley de Ohm j → = σ mi → , dando así las 9 ecuaciones requeridas. Pero esto implicaría que la ley de Ohm es independiente de las ecuaciones de Maxwell. He leído que las ecuaciones de Maxwell determinan de manera única el campo electromagnético, entonces, ¿no debería estar contenida la ley de Ohm en algún lugar de las ecuaciones de Maxwell? Yo era de la opinión de que de las ecuaciones de Maxwell uno podría, en principio, derivar una expresión relacionada j → a norte d mi → y por simplicidad podríamos elegir sólo el término de primer orden, obteniendo así la ley de Ohm lineal. Pero este no parece ser el caso aquí. Por lo tanto, las leyes como la ley de Ohm no están contenidas en las ecuaciones de Maxwell y, por lo tanto, estas ecuaciones no determinan de manera única mi → a norte d B → ? (Dado, por supuesto, ρ y j → ).

Si no conoce las corrientes (J), no puede conocer los campos. No es sorprendente que las ecuaciones estén subdeterminadas si consideras a J como una incógnita.
Si va a hablar sobre cómo se mueven las cargas en respuesta a un campo EM, necesita alguna ley para relacionar los campos que actúan sobre las cargas con las velocidades de esas cargas. Esto lo proporciona la fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton (o la ecuación de Schrödinger en QM). La ley de Newton (resp. la ecuación de Schrödinger) es claramente independiente de las ecuaciones de Maxwell y un ingrediente necesario para derivar algo como la ley de Ohm a partir de los primeros principios (sin mencionar algunos argumentos estadísticos).

Respuestas (2)

Lo que escribiste como ecuaciones de Maxwell son válidos para cargos gratuitos ρ , corrientes libres j = ρ v , en el vacío y en estos no interviene la ley de Ohm.

Si en lugar de cargas/corrientes libres en el vacío, tiene material a granel macroscópico, fluido, gas, etc., su versión de las ecuaciones de Maxwell no los describe. En su lugar, asumimos que tenemos cierto conocimiento de la forma en que las corrientes/cargas macroscópicas interactúan con las corrientes macroscópicas. mi y B campos que son promedios macroscópicos de los campos microscópicos. Resulta que entonces necesita cuatro (4), no dos campos macroscópicos, denominados convencionalmente como mi , D y B , H y las relaciones se derivan de la física microscópica (mecánica cuántica y estadística + termodinámica) o se miden directamente. Una de esas relaciones macroscópicas es la de la ley de Ohm, pero hay otras que describen el comportamiento macroscópico de los dieléctricos. D = D ( mi ) o materia magnética B = B ( H ) , etc.

Si entiendo bien lo que dices, j → es una cantidad conocida y por lo que sólo tiene 6 cantidades escalares de las que preocuparse - no 9 .

Todo esto se complica un poco por el hecho de que las ecuaciones no solo incluyen B → y mi → , también contienen sus derivados temporales - ∂ mi → ∂ t y ∂ B → ∂ t - y un montón de derivados espaciales en el rizo y la divergencia. Entonces, de hecho, hay más que simplemente los 6 cantidades escalares implícitas por mi → y B → - este es un problema que involucra ecuaciones diferenciales, no simplemente álgebra lineal.

Una forma útil de pensar en lo que está pasando aquí es que tenemos 6 ecuaciones diferenciales (en las dos ecuaciones vectoriales que involucran el rotacional) y 2 ecuaciones de restricción (en las dos ecuaciones de divergencia). Entonces deseamos determinar unívocamente el 6 cantidades escalares en mi → y B → .

Mirando las ecuaciones diferenciales tenemos 6 ecuaciones para 6 incógnitas que no es un problema. Entonces solo queda una pregunta: dado un conjunto adecuado de condiciones de contorno, ¿tenemos suficiente información para determinar de manera única mi → y B → como una función del espacio y del tiempo.

No pretenderé saber cómo probar que lo hacemos, sin embargo, aquí hay una buena respuesta que lo explica.

Completitud de las ecuaciones de Maxwell
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v