¿Cómo se expresa la pérdida de energía por una carga acelerada en las ecuaciones de movimiento?

No falta nada, el problema se produce por dejar de lado la interacción de la carga con el campo electromagnético generado por ella misma. Esta llamada "fuerza propia" es difícil de tratar porque los potenciales asociados con ella son formalmente infinitos para una carga puntual. Ahora, para una partícula en reposo, la fuerza propia debe desaparecer por simetría, lo que implica por invariancia de Lorentz que desaparece para una partícula que se mueve a velocidad constante. Cuando una carga se acelera, ya no se desvanece, entonces producirá el efecto de reacción inversa de la radiación electromagnética emitida.

El problema de cómo tratar rigurosamente la fuerza propia dentro del marco del electromagnetismo clásico no estaba resuelto hasta hace poco, solo había enfoques heurísticos que se sabía que tenían problemas. Por ejemplo, la fuerza de Abraham-Lorentz tiene en cuenta la fuerza propia, pero esto tiene el precio de la aceleración previa. Cuando encendemos un campo eléctrico en algún momento, la carga comenzará a acelerar justo antes de que se encienda el campo.

Fue solo recientemente que se dio una derivación rigurosa de la fuerza propia, vea este artículo . Aquí uno regulariza los infinitos debido a las cargas puntuales reemplazándolos con cuerpos de tamaño finito y luego considerando la solución completa de la ecuación de movimiento y luego tomando el límite donde el cuerpo se reduce a cero, pero también la carga y la masa se reducen a cero. en este límite.

¿Por qué la ley de Newton ya no es suficiente, o dicho de otra manera, qué término me estoy perdiendo que fijará el movimiento del electrón, agregará una "fuerza" adicional que hará que se mueva en espiral hacia adentro? ¿Existe una expresión general para esa fuerza? ¿Y cómo se escribe en general la ecuación de movimiento para una partícula cargada (o un sistema de)?

La ley de Newton no es suficiente, porque en la teoría electromagnética, los cuerpos formados por varias partículas pueden experimentar una fuerza neta distinta de cero debido a sus propias partículas. En la teoría newtoniana, las fuerzas internas siempre se anulan entre sí, pero en la teoría electromagnética es posible que no lo hagan. Sin embargo, esto no viola la conservación de la cantidad de movimiento, ya que es posible introducir una cantidad de movimiento EM que permita la introducción de otra ley más general de conservación de la cantidad de movimiento.

El modelo más simple donde se puede ver este efecto es un par de cargas puntuales del mismo signo que se mantienen a una distancia cercana entre sí por algún otro cuerpo sin carga.

Imagine que tal par está en un campo eléctrico externo uniforme. Suponiendo que cada partícula puntual experimenta una fuerza EM debida al campo externo y a la otra partícula, y suponiendo que los campos EM debidos a las partículas están dados por las soluciones retardadas estándar de las ecuaciones de Maxwell para la carga puntual (que se propaga alejándose de la partícula), resulta que la suma de las fuerzas sobre todo el par no siempre es igual a la fuerza externa neta, excepto en situaciones especiales en las que el par está en reposo. La diferencia que falta viene dada por la suma de las fuerzas EM internas (fuerza de 1 sobre 2 + fuerza de 2 sobre 1) y, en contraste con la mecánica newtoniana, esta puede no ser cero si el par se mueve.

El par se moverá con aceleración debido al campo externo, pero esta aceleración no es simplemente (fuerza externa neta)/(suma de masas), ni siquiera si se mueve lentamente. Debido a las fuerzas internas mencionadas, habrá otra fuerza en juego y su valor y dirección dependerán del estado de movimiento de ambas partículas.

Resulta (a partir de cálculos detallados) que para partículas comóviles del mismo signo, el efecto neto de su interacción retardada es este:

• aumenta la masa aparente del sistema; este aumento es tanto mayor cuanto más cerca están las partículas; el sentido de este aumento es que el sistema tendrá una aceleración más baja de lo que se esperaría con base en la teoría newtoniana;

• la ecuación de movimiento para el par como un todo contiene no solo la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico externo, sino también otra fuerza que resiste el movimiento. Este efecto generalmente se denomina "amortiguación de radiación" o "fuerza propia". Esta fuerza de resistencia es tal que se conserva la conservación de la energía neta, es decir, el trabajo realizado por el campo externo se destina en parte a

1) aumento de energía de las partículas materiales$\gamma_1m_1c^2 + \gamma_2m_2c^2$; 2) aumento de la energía EM en el espacio que rodea al par; parte de esto se aleja del par, parte permanece localizada cerca del par.

Sospecho que la respuesta tiene algo que ver con el campo EM que cambia no instantáneamente sino a la velocidad de la luz, ya que la ley de gravitación de Newton claramente produce órbitas cerradas estables y se propaga instantáneamente. Tal vez debería formular mi pregunta de esta manera:

Tiene razón, la fuerza de amortiguamiento debida a fuerzas internas mutuas está presente solo porque las fuerzas se deben a campos retardados, que se derivan de la teoría EM relativista. Si en su lugar se utilizan campos newtonianos o de Coulomb, no existe tal efecto amortiguador.

¿Cómo afecta el hecho de que el campo EM se propague a una velocidad finita la forma en que tenemos que escribir las ecuaciones de movimiento para una partícula cargada (a diferencia de las ecuaciones de movimiento para una partícula masiva, sobre la que actúa un campo gravitatorio newtoniano instantáneo? )?

Las fuerzas ya no pueden expresarse como funciones de las posiciones de las partículas en un tiempo común. Para campos retardados, a veces se pueden escribir como funciones de posiciones, velocidades y aceleraciones presentes y pasadas .

He podido ver un trabajo analizando el problema de la radiación de una carga acelerada, pero suponiendo que en la base del fenómeno no hay fuerza newtoniana. El autor hace un análisis del Teorema del Apuntamiento en función de todos los campos existentes: externo, inducción y radiación, para el caso de una carga acelerada en un campo externo, y muestra la existencia de un problema de causalidad física; ya que la conservación de la energía en un instante dado dependería de los valores de aceleración de la partícula en instantes futuros. Al intentar resolver este problema de causalidad en el contexto del teorema de Señalamiento, se debe aceptar un acoplamiento entre el campo de radiación y el propio campo de la partícula que conduce a una ecuación dinámica distinta de la newtoniana:

$a$= aceleración,$F_\text{ext}$= fuerza de Lorentz,$v$=velocidad,$c$= velocidad de la luz,$b$= constante

El artículo analiza varios movimientos con esta ley: campo eléctrico constante, campo magnético constante, campo coulombiano y oscilador armónico.

El artículo es "Radiación de una carga acelerada". por EC del Río accesible en línea en "International Journal of Electromagnetics (IJEL)" (2016); una revista india revisada por pares.