¿Cómo hacían sus necesidades los nuevos estudiantes nacidos de muggles antes de que se agregaran baños?

Supongo que usaron orinales.

Los orinales son definitivamente una cosa en el mundo de Harry Potter: Dumbledore los ha usado al menos una vez mientras estaba en Hogwarts (énfasis agregado):

"Oh, nunca soñaría con asumir que conozco todos los secretos de Hogwarts, Igor", dijo Dumbledore amigablemente. “Solo esta mañana, por ejemplo, me equivoqué de camino al baño y me encontré en una habitación bellamente proporcionada que nunca había visto antes, que contenía una colección realmente magnífica de orinales . Cuando volví a investigar más de cerca, descubrí que la habitación había desaparecido. Pero debo estar atento a eso. Posiblemente sólo sea accesible a las cinco y media de la mañana. O puede que solo aparezca en el cuarto de luna, o cuando el buscador tiene una vejiga excepcionalmente llena”.
_{Harry Potter y el Cáliz de Fuego , capítulo 23: "El Baile de Navidad".}

Hicieron sus necesidades al estilo muggle.

Es bastante común que las brujas y los magos practiquen algunas de las artes muggles más mundanas y, a menudo, posean muchas de las herramientas necesarias para las artesanías. Por ejemplo, ¿por qué una familia mágica tendría instrumentos de limpieza como esponjas o plumeros si simplemente pueden eliminar los desastres con magia? Sin embargo, sabemos que la Sra. Weasley hace que sus hijos limpien a menudo con estas herramientas, a veces como castigo, aunque probablemente a menudo para obtener ayuda de los más pequeños que aún no pueden usar la magia.

Los niños que aún no tienen el derecho o la capacidad de usar magia en casa ciertamente usarían un orinal. Es lógico pensar que también habría tales alojamientos en Hogwarts, así como en la mayoría de las otras instituciones mágicas.

Esta información es realmente nueva para mí. Incluso si Hogwarts no tenía los baños y el equipo que tuvo más tarde, estoy seguro de que incluso cuando se fundó, tenía algo que todos los magos, brujas y muggles necesitan, que incluye baños.

Lo que había en la actualización con respecto a hacer sus necesidades en el acto y desaparecer la evidencia habría sido para algunos niños traviesos que no querían ir a un lugar específico o hacer algún trabajo cuando tenían varitas y magia. Por supuesto, estoy de acuerdo en que hubiera hecho las cosas miserables para los elfos domésticos.

Pensando más en lo mismo: podrían haber usado la sala de requisitos o, como Dumbledore dijo una vez, que encontró una habitación solo cuando necesitaba un baño. Tal vez haya baños ocultos que se usaban comúnmente en ese entonces. Después de la creación de plomería y baños adecuados, la gente se olvidó de ellos. Dado que esas habitaciones solo aparecían cuando se requerían y nadie las requería, no había ningún problema.