¿Cómo encuentro la temperatura promedio dada una distribución de temperatura?

El promedio de cualquier cantidad$s$es$\frac{\sum\limits_{r=0}^ns_r}{n}$. Si la distribución es continua, digamos en función de x, entonces se convierte en$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{r=0}^ns_r}{n}$. Esto se puede reescribir como$\frac{\int s(x)dx}{\int dx}$, tomando como límites la longitud del alambre. En tu fórmula, no veo ninguna.$x$término en el RHS, ni nada que pueda depender de x, por lo que no veo cómo podemos proceder. Especifique qué es constante y qué es una función de x.

Así que la fórmula final es

$$\frac{\int T(x)dx}{\int dx}$$

Si su cable es infinito, es posible que deba tomar límites de 0 a y, y luego limitar la expresión para el promedio como$y\to\infty$.

Actualización: con la fórmula actualizada, asumiendo que el cable se extiende desde x=0 hasta x=L,

$$\langle T\rangle=T_\infty- \frac{\dot{q}}{km^2}\left(\frac{\tanh(mL)}{mL}-1\right)$$ Si el cable se extiende de 0 a y, $$\langle T\rangle=T_\infty- \frac{\dot{q}}{km^2}\left(\frac{\sinh(my)}{my\cosh(my)}-1\right)$$ . Limitar y al infinito nos da una respuesta infinita. Así que supongo que lo he interpretado correctamente en mi respuesta anterior.