Aceleración y relatividad de naves espaciales

Hay dos efectos en juego: por otro lado, al pasar de$0.25c$a$0.30c$requiere más aceleración que ir de$0.20c$a$0.25c$, pero por otro lado, la masa del cohete es menor en la segunda fase, por lo que logra una mejor aceleración. La respuesta será: depende.

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Para empezar, necesitamos saber cómo funcionan los cohetes en la mecánica newtoniana . Esta es básicamente la derivación de la ecuación del cohete Tsoilkovsky . Para mantener las cosas simples, estoy trabajando en un mundo 1D donde el cohete acelera en la dirección positiva.

El cohete funciona empujando los gases de escape hacia atrás. La velocidad promedio de estos en el marco de referencia del cohete es$v_e$que es (en un modelo simple pero útil) una constante que depende solo del motor e independiente de las masas del cohete y el combustible restante. Cuando el cohete utiliza una masa$-dm$(dónde$dm$es negativo, correspondiente al cambio de masa del cohete) de combustible en un período corto$dt$, la cantidad de movimiento del escape es$dm \cdot v_e$. Este es también el cambio del impulso del cohete (pero de signo opuesto). En particular, si la masa del cohete (incluido el combustible) es$m$, el cambio de su velocidad es$dv = -dm \cdot v_e / m$. Entonces obtenemos una ecuación diferencial:

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{dm}{dt} \frac{v_e}{m}$$ Integrando esto, cuando el cohete quema combustible de modo que su masa inicial es $m_1$y la masa final es $m_2$, la velocidad del cohete cambia en $$\Delta v = v_e \ln \frac{m_2}{m_1}.$$

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¡ Ahora a la relatividad especial ! En el marco de referencia del observador, si la velocidad del cohete es$v$, entonces hay una cosa llamada velocidad propia $w$cual es$w= \gamma v$, dónde$\gamma = [1-(v/c)^2]^{-1/2}$es el factor de Lorentz. Esto es útil porque la tasa de cambio de esto,$dw/dt$, llamada aceleración propia , ¡es precisamente la aceleración experimentada por el cohete!

Al quemar combustible, en el marco de referencia del cohete no hay efectos relativistas (a menos que$v_e$es ridículamente grande), por lo que el cohete experimenta una aceleración adecuada que es la misma que en el caso newtoniano,

$$\frac{dm}{d\tau} \frac{v_e}{m},$$ dónde $\tau$es el tiempo en el marco del cohete, relacionado con $t$por $dt = \gamma d \tau$. Entonces obtenemos $$\frac{dw}{dt} = -\frac{dm}{d\tau} \frac{v_e}{m} = -\frac{dm}{dt} \frac{\gamma v_e}{m}.$$ Por otro lado, $$\frac{dw}{dt} = \frac{dv}{dt} \gamma + \frac{d\gamma}{dt} v = \frac{dv}{dt} \gamma + \frac{dv}{dt} \frac{v^2}{c^2} \gamma^3.$$ Hallazgo $d\gamma/dt$es sencillo pero un poco largo, así que no lo repetiré aquí.

Combinando estos, obtenemos

$$\frac{dv}{dt} \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \gamma^2 \right) = -\frac{dm}{dt} \frac{v_e}{m}.$$ Cuando la velocidad inicial del cohete es $v_1$, la masa inicial es $m_1$, la velocidad final es $v_2$y la masa final es $m_2$, integrando esto se obtiene $$c \left( \tanh^{-1} \frac{v_2}{c} - \tanh^{-1} \frac{v_1}{c} \right) = v_e \ln \frac{m_1}{m_2}.$$

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Ahora consideremos su problema. Tienes tres parámetros para el cohete: la eficiencia del cohete$v_e$, masa del cohete sin combustible$m_\text{empty}$, y la masa inicial del combustible,$m_\text{fuel}$. En realidad, solo$v_e$y$m_\text{fuel}/m_\text{empty}$asunto, por lo que tiene en la práctica dos parámetros libres. Los dejo para continuar desde aquí.

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Mmm. Probé algunos valores solo por diversión. Parece que para que esta última aceleración sea posible,$v_e$debería estar por encima$0.03c$, ¡lo que requeriría un gran cohete!

Hay tres factores en juego aquí...

1) Cuanto más se aleja de la tierra la nave espacial, menos gravedad trabaja en su contra. Se requiere menos combustible para la aceleración.

2) Cuanto más se acerca la nave espacial a c, más energía/combustible se requiere para acelerar la nave espacial una cantidad determinada.

3) Quemar combustible equivale a menos masa, lo que equivale a menos energía requerida para cambiar el impulso.

Dicho esto, tendrías que hacer los cálculos para encontrar la respuesta a tu pregunta.