Las preguntas recientes de Moshe sobre la formalización de la teoría cuántica de campos y las redes como una definición de la teoría de campos me recuerdan algo sobre lo que ocasionalmente me pregunto, y tal vez este sitio pueda darme la respuesta. ¿Hay matemáticos trabajando en la definición de la teoría cuántica de campos comenzando con una definición rigurosa de CFT y trabajando a partir de ahí?
La razón por la que pregunto es porque creo que así es como la mayoría de nosotros en física pensamos sobre la teoría cuántica de campos (es decir, de una manera wilsoniana): para definir un QFT, comienza con un punto fijo UV y lo deforma con algunos relevantes. operador. Entonces, si tuviera una teoría general de CFT, sabría cómo entender cómo responden los CFT a fuentes externas para los operadores, y obtener un QFT más general "simplemente" significaría encender una fuente espacialmente homogénea para algún operador y ver cómo responde. .
El otro objeto que estudiamos es la "teoría del campo efectivo", que se puede imaginar en este lenguaje es una CFT que sirve como punto fijo IR, junto con alguna noción de clase de equivalencia de operadores irrelevantes que se deforman "hacia arriba" desde ese punto (siendo agnóstico sobre si alguna vez alcanza un punto fijo UV).
Muy (extremadamente) ingenuamente, sospecho que los matemáticos podrían tener más suerte estudiando el espacio de las CFT en lugar de intentar comenzar con todas las QFT. Y puede imaginar que este enfoque sería adecuado para preguntas que podrían interesar a los físicos (como, por ejemplo, si existe un " teorema a " o algo similar, análogo al teorema c en 2 dimensiones, caracterizando flujos RG como irreversibles ).
La teoría de campos axiomática/algebraica/constructiva parece preocuparse por todo tipo de teoría de campos a la vez, y otros matemáticos parecen estar tratando de desenterrar una estructura interesante en la teoría de perturbaciones, que no estoy seguro de que alguna vez conduzca al progreso en la comprensión de campos no perturbativa. teoría. Sé que hay algunos matemáticos que trabajan en CFT. (Encontré esta pregunta de MathOverflow que tiene muchos enlaces al trabajo de matemáticos en CFT, por ejemplo). Pero me pregunto si alguno ha intentado trabajar en CFT como una ruta para comprender QFT de manera más general.
CFT consiste para la mayoría de los matemáticos, que están interesados en este tema, actualmente en el estudio de álgebras de operadores de vértice, consulte esta pregunta sobre el desbordamiento matemático:
Puede encontrar un poco más sobre el tema y el trabajo de varios matemáticos aquí:
Como puede ver en las respuestas de mathoverflow, las álgebras de vértices no se inventaron para el estudio de CFT, y solo más tarde se observó que forman una abstracción axiomática de los productos del álgebra de operadores.
Una nota personal y muy subjetiva: no se debe subestimar la cantidad de física teórica necesaria para comprender qué es una QFT para los físicos. La mayoría de los matemáticos que se encuentran con la física por primera vez desde la escuela secundaria a través de algún marco QFT parecen estar bastante desconcertados por la alta tarifa de ingreso que tendrían que pagar para comprender esto. Esta es mi explicación personal para la observación de que la mayoría de los matemáticos estudian la maquinaria formal solo para usarla para probar algunos nuevos teoremas matemáticos, pero solo muy raramente para comprender mejor lo que hacen los físicos. Aunque encontrará mucho trabajo de muchos matemáticos bastante famosos si sigue los enlaces anteriores, AFAIK no hay ninguno que haga el trabajo que describe.
Motl de Luboš
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Columbia
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