Esta respuesta a una pregunta acerca de por qué la energía cinética newtoniana tiene una velocidad cuadrática muestra que si la pérdida de EC de una colisión inelástica es invariable bajo impulsos newtonianos, tiene que cuadriplicarse cuando la velocidad se duplica. Un simple cálculo muestra que el famoso fórmula implica la invariancia de esta pérdida. si una masa La velocidad de cambia de a mientras una masa La velocidad de cambia de a , la reducción total de KE es , que es invariante bajo . Sin embargo, no conozco ninguna otra razón para esperar tal invariancia. Me pregunto si podemos motivar esto sin la fórmula, de modo que podamos usar el razonamiento del enlace anterior para luego derivar la relación cuadrática de KE-velocidad.
Para ser justos, la respuesta vinculada también argumenta que la conservación de energía en una aproximación SUVAT de caída libre motiva tal relación cuadrática. De hecho, puede derivar no sólo la proporcionalidad a , pero la expresión exacta incluyendo el factor. En teoría, podemos derivar la fórmula de esa manera, luego verificar la invariancia y luego señalar que la invariancia tiene las implicaciones de la respuesta mencionada anteriormente. Pero esas son implicaciones que ya sabríamos en ese momento. Para comenzar genuinamente desde la invariancia, necesitamos saber por qué esperarla. (En particular, el cambio de KE de un cuerpo individual no es invariable; incluso el signo del cambio no lo es).
Es posible derivar la forma de energía cinética utilizando la conservación y la relatividad galileana al considerar una colisión elástica [1]. Esto evita el problema de justificar por qué se debe suponer que el "calor" generado en una colisión inelástica es invariante de marco. (Esta suposición es particularmente indeseable porque no es cierta en el contexto relativista especial).
Un beneficio de este enfoque es que se generaliza al contexto relativista especial. En ese caso, se encuentra que (i) la energía relativista de una partícula es , y (ii) la energía sin masa ("calor") posee impulso, y esa energía sin masa y impulso se transforma como un vector de cuatro.
[1] P. Goyal, Derivación de la mecánica clásica en un marco energético a través de la conservación y la relatividad, Fundamentos de la física 50 1426—1479 (2020). Texto completo: https://rdcu.be/b73po
De hecho, este es el punto débil de un argumento que por lo demás parece interesante.
No hay razón aparente para creer que la pérdida de tras un choque entre cuerpos , siendo el calor que podría ser extraído de la colisión del cuerpo con pared estacionaria pesada, es invariante de Galilei. No existe una forma obvia de transformar la pérdida de energía que ocurre en una colisión (calor generado) a otro marco usando transformaciones de Galilei.
Una forma de salvar el argumento es confiar más en el experimento que en esta idea de la invariancia del calor generado. si definimos como calor que puede generarse por la colisión con una pared, simplemente podemos apegarnos a esta suposición y utilizarla: podemos medir este calor para cuerpos de la misma masa pero diferente 's y descubrir la ley bastante universal que es proporcional a .
Conocimiento , se trata de usar álgebra y transformaciones de Galilei a velocidades y a energía total para expresar la pérdida de energía y luego usar la conservación del impulso para concluir que la pérdida de energía en una colisión entre los cuerpos es de hecho invariante de Galileo.
Me parece que esta forma de pensar es más natural/física: comenzamos con observaciones y medidas físicas y luego usamos las matemáticas para descubrir nuevos hechos interesantes (invariancia de la pérdida de energía).