Trayectoria del proyectil más lejos de la Tierra

Esperaba obtener ayuda con un ejemplo específico y una idea general de cómo resolver el problema.

Aquí está mi comprensión actual, que puede o no ser correcta: cuando los objetos son lanzados desde un objeto en movimiento, tienen la velocidad del objeto al que se mueven, así como la velocidad con la que fueron lanzados, que se puede combinar con vectores . Suponiendo que no actúen otras fuerzas además de la gravedad sobre el objeto, esto significa que un objeto lanzado hacia arriba aterrizará exactamente donde fue lanzado.

Aquí están las partes que no entiendo: Esta idea parece fallar en altitudes más altas. A una altitud suficientemente alta, bien en el espacio, la circunferencia orbital de un objeto sería mucho mayor que la circunferencia de la Tierra. Siguiendo la lógica de que el objeto estuvo previamente en la Tierra y, por lo tanto, tenía una velocidad que viajaba una vez la circunferencia de la Tierra por día (utilicemos 1670 km/h, ya que eso es lo que es en el ecuador), entonces se pararía para razonar que cuando este objeto fue lanzado directamente hacia arriba, aún estaría viajando a 1670 km/h (si estamos ignorando el movimiento hacia arriba y hacia abajo). Por lo tanto, si decimos que baja a la Tierra un día después de haber sido lanzado, no habría podido completar una órbita completa alrededor de la Tierra (estando en un círculo más grande (la órbita) (y con eso, una circunferencia más grande) pero viajando a 1670 km/h), sin embargo, la Tierra habría completado una rotación completa. Con el objeto sin completar una revolución completa alrededor de la Tierra, y la Tierra completó una revolución completa alrededor de su eje, parece que el objeto aterrizaría en un lugar diferente al que fue lanzado.

Por ejemplo, supongamos que un objeto fue lanzado hacia arriba y, para simplificar, se teletransporta a una órbita exactamente el doble de la circunferencia de la Tierra y descenderá directamente después de un día. Moviéndose a la velocidad de rotación de la Tierra, debería completar la mitad de su órbita, ya que la órbita tiene el doble de la circunferencia de la Tierra. Al mismo tiempo, la Tierra completa una rotación completa. Parece que cuando el objeto cae, caerá exactamente en el lado opuesto del mundo desde donde se lanzó.

Esto solo se vuelve más confuso cuando agregamos la altura variable del proyectil: los objetos no pueden teletransportarse como en el ejemplo anterior, por lo que si un objeto viajó normalmente a una órbita dos veces la circunferencia de la Tierra e inmediatamente comenzó a caer después de alcanzar esa altitud (todas regido por la fórmula h ( t ) = − 1 / 2 gramo ∗ t + v t + h , asumiendo que no hay otra propulsión y que h = 0), las alturas en constante cambio significarían que cualquiera que intente calcular la ruta que el objeto estaba tomando en relación con la Tierra tendría que calcular las circunferencias para cada altura entre los límites superior e inferior, así como también cómo cuánto recorrió el objeto esas circunferencias, lo que parece una gran tarea.

La pregunta general era encontrar una forma de resolver el problema anterior: ¿cómo se puede saber dónde aterrizará un proyectil dada la velocidad hacia arriba lanzada desde la Tierra, cuando el proyectil volará distancias sustanciales de la Tierra? No es necesario tener en cuenta el arrastre y otras fuerzas que afectan además de la gravedad.

La pregunta más específica es esta: se dispara un proyectil en una dirección variable a una velocidad de ocho millas por segundo. El proyectil debe aterrizar cinco millas desde el punto de lanzamiento (con una precisión de +- una milla) y bajar al menos 48 horas (pero preferiblemente no más de un mes) más tarde. ¿A qué ángulo se debe disparar el proyectil? ¿Son 8 millas por segundo lo suficientemente rápido para dejar el proyectil suspendido durante 48 horas, y si no, qué velocidad sería aplicable? (Nota: me informaron que un objeto disparado a 8 millas por segundo abandonará la órbita de la Tierra. ¿Qué velocidad, entonces, sería aplicable para lograr este objetivo?) Al igual que arriba, no es necesario agregar el arrastre y cualquier fuerza además de la gravedad.

Si su proyectil se lanza a 8 millas por segundo, no volverá a bajar. Alguna vez.
Gracias por eso. Edité la pregunta para reflejar eso.

Respuestas (1)

Incluso suponiendo una aceleración gravitatoria constante hacia abajo, si haces los cálculos de tu problema obtienes un polinomio de cuatro grados (intersección parábola-circunferencia): Supongamos que estás en una latitud con el radio r al eje de rotación y ω velocidad angular de la tierra. Lanzas el cuerpo verticalmente con velocidad. v . Consideramos un sistema inercial con centro en el eje de la tierra y misma latitud, eje y en la dirección vertical en que se lanza el cuerpo y x hacia la velocidad tangente r ω . La ley de movimiento corporal en este sistema es y ( t ) = − 1 2 gramo t 2 + v t + r , X ( t ) = ω r t así que si quieres saber dónde aterriza tienes que imponer que está en la circunferencia: ( − 1 2 gramo t 2 + v t + r ) 2 + ω 2 r 2 = r 2 , que es una ecuación de 4 grados. Suponer λ 0 para ser la raíz que nos interesa, entonces puede encontrar la posición de aterrizaje en relación con la inicial en radiante Δ θ = broncearse − 1 ⁡ y ( λ 0 ) X ( λ 0 ) − ω λ 0 . Si considera una distancia muy larga, incluso debería considerar el cambio en la dirección de la fuerza gravitacional, por lo que es aún más complejo (suponiendo que esto se pueda hacer sin escapar del campo gravitatorio de la tierra).

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