¿Qué estados qudit puros simétricos se pueden alcanzar dentro de las operaciones locales?

Este es un algoritmo para el cálculo de los invariantes polinómicos homogéneos en el caso general, sin embargo, sin ningún intento de reducir la complejidad del algoritmo. El ingrediente básico necesario del algoritmo es la capacidad de promediar la medida de Haar del grupo de transformaciones locales. En el caso de qubit, es solo una integración sobre copias de SU(2). Pero incluso en los casos más generales de grupos de Lie compactos, esta tarea es posible pero engorrosa, por favor, vea por ejemplo la siguiente parametrización de SU(N) por: Bertini, Cacciatori, Cerchiai que puede usarse para la integración.

El procedimiento es el siguiente:

Primero calcula la función de Molien del grupo de transformaciones locales (La página de Wikipedia describe el caso de grupo finito que se puede generalizar a grupos compactos):

$M(t) = \int \frac{d_H(g)}{det(1-tg)}$

El coeficiente de$t^n$en la expansión de Taylor de$M(t)$es el número de invariantes homogéneos linealmente independientes de grado n.

Dado que el integrando es una función de clase, la integración se puede realizar en el toro máximo mediante la fórmula de integración de Weyl.

Ahora, para cada grado, uno construye todas las combinaciones posibles de invariantes de menor grado y si este número no agota el número requerido de la serie de Molien, entonces las invariantes adicionales se calculan promediando monomios del grado requerido. Esta operación implica la integración sobre la medida de Haar que no se puede reducir a una integración sobre el toro máximo, que es el paso más complejo del algoritmo. Esta operación se repite hasta que se produce un número suficiente de polinomios linealmente independientes, luego se pasa al siguiente grado. Este proceso continúa hasta que el número total de invariantes alcanza la diferencia entre la dimensión del espacio vectorial y el grupo de simetría local.

Se usaron variaciones más prácticas de este procedimiento para construir polinomios invariantes para casos especiales de problemas de entrelazamiento, por favor, vea por ejemplo el siguiente trabajo de: Grassl, Rotteler y Beth.

Me parece que el formalismo estabilizador proporciona una respuesta a su pregunta (consulte la sección 3.1 de quant-ph/0603226 para obtener una introducción al formalismo). Dados los dos estados, simplemente tome el grupo estabilizador para ese subespacio bidimensional del espacio total de Hilbert, y le darán ese conjunto de invariantes. Sin embargo, esto, por supuesto, no tiene nada que ver con las operaciones globalmente simétricas que considera, y podría hacerse con cualquier par de estados. Sin embargo, dado que se mantiene dentro del subespacio simétrico, esto asegura que estos estabilizadores siempre tendrán una descripción, en el peor de los casos, polinomial en el número de sistemas locales.

Si desea ir más allá y tratar de encontrar algún conjunto de invariantes que identifiquen de manera única los estados que son equivalentes a esta forma de operación local simétrica global, entonces no tiene suerte. Esto se debe a que el conjunto de estados producto que es globalmente simétrico abarca el espacio de estados simétricos y, por lo tanto, cualquier estado globalmente simétrico puede escribirse como una superposición de estados separables globalmente simétricos.

Es decir, sin fijar los estados, es imposible producir un observable que sea invariante entre los dos estados pero que varíe a lo largo del espacio de estados simétricos. Así, las únicas invariantes que existen dependen únicamente de la simetría de los estados.

ACTUALIZACIÓN: noto a Norbert y he interpretado la pregunta de manera algo diferente. Me he centrado en la existencia de observables que tienen el mismo valor para los estados equivalentes de LU. Esto responde efectivamente a la pregunta de si existe una medida que distinga estos estados de otros estados simétricos. El artículo al que Norbert se vincula trata sobre la estructura matemática de los estados y no se puede probar con una sola copia del par de estados. No tengo idea de qué configuración tenía en mente Piotr (originalmente pensé que era esta, pero la respuesta de Norbert me hizo repensar esa posición).

Parece que esta pregunta se aborda en este documento:

http://arxiv.org/abs/1011.5229

(Editar: acabo de notar que esto parece estar restringido a qubits, por lo que probablemente no responda a su pregunta...)

De los comentarios de Piotr sobre mi otra respuesta, parece que está buscando un invariante de la representación matemática del estado, en lugar de un observable que permanece sin cambios. En este caso, la respuesta es muy diferente y, por lo tanto, estoy publicando una nueva respuesta, en lugar de reemplazar la anterior (ya que significaría reescribirla por completo y la versión actual puede ser de interés para algunas personas).

Cualquier matriz de densidad se puede escribir como$\rho = \sum_k \alpha_k \sigma_k$, dónde$\sigma_k=\bigotimes_i \sigma_{k_i}$y$\{\sigma_{k_i}\}$forman una base ortonormal para las matrices hermitianas correspondientes a la dimensionalidad del subsistema e incluye la matriz identidad. Cuando aplicas unitarios locales obtienes$\rho' = \big(\bigotimes_i U_i \big) \rho \big(\bigotimes_i U_i^\dagger \big)$. Ahora, si considera lo que sucede término por término, notará que cada operador$\sigma_k$se asigna solo a operadores del mismo peso (es decir, que operan de manera no trivial en el mismo número de subsistemas). tomaré$w_k = w(\sigma_k)$ser la función de peso para cada operador$\sigma_k$. Entonces tenemos$w(\sigma_k) = w\big(\big(\bigotimes_i U_i \big) \sigma_k \big(\bigotimes_i U_i^\dagger \big)\big)$. Esto es trivialmente cierto, ya que para cada subsistema donde$\sigma_k$en$\rho$actúa como la identidad (es decir, para cada$i$tal que$\sigma_{k_i}=\mathbb{I}$)$U_i$y$U_i^\dagger$cancelar, por lo que el operador transformado también actúa como la identidad en ese subsistema. Por el contrario, si$\sigma_{k_i}\neq \mathbb{I}$después$U_i\sigma_{k_i}U_i^{\dagger}\neq \mathbb{I}$. Hay una razón bastante intuitiva para esto: las operaciones locales no deberían crear correlaciones no locales.

Ahora, a partir de esto, debe quedar claro que$\{\beta_w=\sum_{i:w(\sigma_i)=w} |\alpha_i |^2\}_{w=0}^n$es invariante, ya que$U \sigma_k U^\dagger = \sum_j \gamma_{jk} \sigma_j$tal que$\sum_j |\gamma_{jk}|^2 = 1$.

Esta es una cantidad conservada independiente de la simetría, y depende solo del hecho de que todas las unidades unitarias aplicadas son locales, sin embargo, creo que este es el tipo de cosas que desea. Una vez que impone el criterio de que los estados y las operaciones son simétricos, tiene el criterio adicional de que$\alpha_i = \alpha_j$si$\sigma_i$se puede obtener de$\sigma_j$por permutación de los qudits, y por lo tanto$|\alpha_i-\alpha_j|$también es invariante para todos esos pares.

Esta respuesta está incompleta, pero debería proporcionar una respuesta para casi todos los estados simétricos ( es decir  , es suficiente para todos menos un conjunto de estados simétricos que tienen una medida cero).

El subespacio simétrico está atravesado por estados de productos. Entonces podemos considerar diferentes formas en las que un estado simétrico particular se descompone en productos simétricos; en particular, si cualquier elección de descomposición da lugar naturalmente a un invariante.

Una forma codiciosa de descomponer un simétrico$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi$estado en productos simétricos sería simplemente buscar el producto simétrico$\ket\phi\ket\phi\cdots\ket\phi$con la cual$\ket\psi$tiene la superposición de mayor magnitud. Dejar$\ket{\phi_0}$Sea el estado de espín único que satisfaga esto, y

$$\def\bra#1{\langle#1|}\alpha_0 = \Bigl[\bra{\phi_0}\cdots\bra{\phi_0}\Bigr]\ket\psi$$ que sin pérdida de generalidad es positiva. Con probabilidad 1, el estado $\ket{\phi_0}$es único (en el sentido de que el conjunto de estados simétricos para los que no es único tiene medida cero). Dejar $\ket{\psi_1}$ser la proyección de $\ket{\psi}$en el ortocomplemento de $\ket{\phi_0}^{\otimes n}$: este es otro estado simétrico. Entonces, definimos $\ket{\phi_1}$ser el estado de espín único (nuevamente con probabilidad 1, único) tal que $\ket{\phi_1}^{\otimes n}$tiene superposición máxima con $\ket{\psi_1}$; dejamos $\alpha_1$sea ​​esa superposición; y definimos $\ket{\psi_2}$ser la proyección de $\ket{\psi}$sobre el ortocomplemento de $\mathrm{span}\{\ket{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\; \ket{\phi_1}^{\otimes n}\}$. Y así.

Proyectando continuamente$\ket{\psi}$sobre el ortocomplemento de tramos de conjuntos cada vez más grandes de productos simétricos, aseguramos que las proyecciones resultantes$\ket{\psi_j}$no tendrá una superposición máxima con ningún estado de producto anterior o, de manera más general, que pueda ser abarcado por los productos simétricos anteriores. Entonces en cada iteración obtenemos un estado de un solo giro$\ket{\phi_j}$tal que$\mathrm{span}\{\ket{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\ldots\,,\; \ket{\phi_j}^{\otimes n}\}$tiene una dimensión uno más grande que en la iteración anterior. Al final, obtendremos una colección de productos simétricos que, si no abarcan el subespacio simétrico, al menos contienen$\ket{\psi}$en su lapso. Entonces obtenemos una descomposición

$$\ket{\psi} \;=\; \sum_{j = 0}^\ell \alpha_j \ket{\phi_j}^{\otimes n}$$ donde la secuencia $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$es estrictamente decreciente. Llamemos a esto la descomposición en producto simétrico de $\ket{\psi}$. (No sería demasiado generalizar esta representación a una en la que los estados $\ket{\phi_0}$, $\ket{\phi_1}$, etc. no son únicos; pero para lo que viene a continuación, la unicidad será importante). Dada la descomposición del producto simétrico de $\ket{\psi}$, es trivial describir la representación correspondiente para $U^{\otimes n} \ket{\psi}$: solo multiplica cada uno de los $\ket{\phi_j}$por $U$. Y de hecho, si calcularas $U\ket{\psi}$y luego determinó su descomposición en productos simétricos, la descomposición $$U^{\otimes n}\ket{\psi} = \sum_{j=0}^\ell \alpha_j \Bigl[ U\ket{\phi_j} \Bigr]^{\otimes n}$$ es exactamente lo que encontrarías: $\ket{\phi_0}^{\otimes n}$tiene superposición máxima con $\ket{\psi}$si y solo si $[ U \ket{\phi_0} ]^{\otimes n}$tiene superposición máxima con $U^{\otimes n} \ket\psi$, y así. Entonces, para mostrar que dos estados simétricos son equivalentes a LU, basta con mostrar que la secuencia de amplitudes $\alpha_j$son iguales, y que la secuencia de estados de un solo espín $\ket{\phi_j}$están relacionados por una unidad común.

La última parte se puede hacer más fácilmente encontrando una forma normal para los estados que son iguales, para secuencias de estados de un solo espín que están relacionados por un unitario común de un solo espín. Podemos hacer esto encontrando una unidad$T$cual

1. mapas$\ket{\phi_0}$a$\ket{0}$,
2. mapas$\ket{\phi_1}$a un estado$\ket{\beta_1}$en el lapso de$\ket{0}$y$\ket{1}$, con$\bra{1}\beta_1\rangle \geqslant 0$,
3. y para cada subsiguiente$j > 1$, mapas$\ket{\phi_j}$a algún estado$\ket{\beta_j}$que está en el lapso de estados de base estándar$\ket{0}, \ldots, \ket{b_j}$por$b_j$lo más pequeño posible, con$\bra{b_j}\beta_j\rangle \geqslant 0$si es posible. (Para cualquier estado$\ket{\phi_j}$que está en el lapso de los estados anteriores$\ket{\phi_h}$, el estado$\ket{\beta_j}$será igualmente determinada por los estados$\ket{\beta_h}$por$h < j$, en cuyo caso no podemos elegir el valor de$\bra{b_j}\beta_j\rangle$.)

Entonces tenemos un unitario tal que$T \ket{\phi_j} = \ket{\beta_j}$; y para cualesquiera dos secuencias de estados$\ket{\phi_j}$y$U\ket{\phi_j}$, deberíamos obtener la misma secuencia de estados$\ket{\beta_j}$. Luego puede determinar que dos estados simétricos son equivalentes si dan lugar a la misma secuencia de amplitudes$\alpha_j$y los mismos estados de giro único de "forma normal"$\ket{\beta_j}$.

En el caso de que no exista un único estado$\ket{\phi_j}^{\otimes n}$que tiene superposición máxima con$\ket{\psi_j}$en la construcción de la descomposición del producto simétrico, el problema es entonces definir los estados de forma normal$\ket{\beta_j}$. Sin embargo, mientras los estados$\ket{\phi_j}$son únicos, lo que sucede con la medida 1, debe tener un invariante de tamaño polinomial (hasta las limitaciones de precisión) para determinar si dos estados simétricos son iguales.