Prueba de diagramas conectados

La relación logarítmica es equivalente a

$$Z[J]=\exp[iW[J]]$$ dónde $W$es la suma de los diagramas conectados. Esta fórmula es trivial de demostrar a través de la expansión de Taylor de la exponencial $$\exp(X) = \sum_{n=0}^\infty \frac{X^n}{n!}$$ si sustituimos $i$veces la suma de todos los diagramas conectados $iW$para $X$en esta fórmula, el término $X^n/n!$simplemente producirá los productos de $n$componentes, es decir, todos desconectados (por $n\gt 2$) diagramas con $n$componentes

El factor combinatorio también funcionará. Recuerda que cuando evaluamos los diagramas de Feynman, tenemos que dividir por el factor de simetría. El grupo de simetría de un desconectado,$n$El diagrama de componentes incluye el grupo de permutación de todos los$n$componentes si los componentes son los mismos, por eso hay$1/n!$delante de un "diagrama de 1 componente único fijo" a la$n$-ésima potencia.

El grupo de simetría adicional de permutar los componentes se reduce al producto de$n_i!$sobre todos los subgrupos del grupo de$n$componentes que contienen el mismo diagrama. Pero

$$\prod_i \frac{1}{n_i!}$$ es exactamente lo que obtenemos si calculamos $1/n!$veces el coeficiente de la expansión de la $n$th-potencia de la suma de los diagramas conectados.

Esencialmente, la respuesta a esto no es más que una consecuencia de la regla del producto y la cadena para derivados (funcionales). Piense en W como un objeto abstracto donde se almacenan todos los diagramas de Feynman (hasta órdenes arbitrarios). No importa cómo se vea W exactamente. Actuando sobre W[J] con derivadas funcionales con respecto a J, comenzarás a generar unos diagramas "únicos", en el sentido de que cada secuencia de derivadas aplicadas con respecto a J te da otro diagrama, así por ejemplo

$$\begin{equation} \frac{\delta}{\delta J(x_1)} \frac{\delta}{\delta J(x_2)} \frac{\delta}{\delta J(x_3)} W[J] \end{equation}$$ te da la función de 3 puntos con puntos finales $x_{1,2,3}$etc. Ahora, piense en tomar algunas n derivadas funcionales de $e^{W[J]}$: $$\begin{equation} \frac{\delta}{\delta J(x_1)} \ldots \frac{\delta}{\delta J(x_n)} e^{W[J]} \end{equation}$$ La primera derivada te da solo $W[J] e^{W[J]}$. Ahora, aplicas la segunda derivada, donde tienes que aplicar la regla del producto: $$\begin{equation} \frac{\delta}{\delta J(x_1)} \ldots \frac{\delta}{\delta J(x_{n-2})} \left[ \left( \frac{\delta}{\delta J(x_{n-1})} W[J] \right) + W[J] \frac{\delta}{\delta J(x_{n-1})} \right] e^{i W[z]} \end{equation}$$ Ahora continúa así hasta que hayas tomado todas $n$derivados. Ves que cada vez surgen más términos. Sin embargo, el único término que constantemente le brinda diagramas "nuevos" es aquel en el que todas las derivadas se aplican a $W[J]$y ninguno a la $e^{i W[J]}$por segunda vez. Todos los demás diagramas son productos de términos con menos derivadas, aplicados en "diferentes" $W[J]$y por lo tanto corresponden a una multiplicación de varios diagramas que no son funciones completas de n puntos.

Por ejemplo, supongamos que después de haber aplicado la derivada funcional algunos$k$-tiempos seguidos$W$y algo más$m := n-k$veces en otro$e^{i W[J]}$factor (simplemente haciendo la regla del producto) obtendrá un producto de un totalmente conectado$k$-función de punto multiplicada por una totalmente conexa$m$-función punto donde$k+m = n$.

Si piensas por un segundo en las permutaciones:

Todas las permutaciones son producto de ciclos disjuntos. Entonces puedes escribir una permutación multiplicando los ciclos juntos, luego dividiendo por el número de formas en que puedes unirlos porque eso da la misma permutación.

Entonces, para obtener todas las permutaciones, multiplicas los ciclos C entre sí, lo que da$C^n/n!$y resúmelos. En otras palabras, puede generar permutaciones tomando ciclos exponenciales, por lo que el registro de permutaciones son ciclos, las permutaciones conectadas.

Esto se hace adecuado usando especies combinatorias y el método simbólico.

Si piensa en Z como una función generadora para las especies combinatorias de los gráficos de Feynman, entonces tomar un logaritmo para obtener estructuras conectadas es exactamente lo que esperaría. Y si observa la integración funcional de una manera aproximada, básicamente las mismas reglas que aprende sobre los diagramas de Feynman son las que se dan al manipular los generadores para estas especies combinatorias.

1) Un diagrama "conectado" es un diagrama que no se puede separar en dos diagramas cortando un solo borde. Un solo diagrama conectado es una integral distinta que es una función de un solo momento definido por ese borde, por lo que cada uno de estos diagramas conectados es un factor simple. Entonces, cualquier diagrama dado se puede factorizar en términos que están representados por estos diagramas "conectados".

2) Considere todos los diagramas conectados posibles$C_i$indexado por$i$. Para cualquier diagrama específico, los vectores de cuentas$n_i$de$C_i$'s que comprende el diagrama se puede tomar como el índice sobre los diagramas$D_{[n_i]}$. Entonces, la suma sobre los diagramas$\sum_{[n_i]} D_{[n_i]} = \sum_{[n_i]} \prod_i \frac{C_i^{n_i}}{n_i!}$donde el$\frac{1}{n_i!}$cuenta el$C_i^{n_i}$sólo una vez. Dividir estos en grupos de tamaño$N$, dónde$\sum_i n_i = N$rendimientos$\sum_{[n_i]} D_{[n_i]} = \sum_N \sum_{[n_i], \sum_i n_i = N}\prod_i \frac{C_i^{n_i}}{n_i!} = \sum_N \frac{1}{N!}\left(\sum_i C_i\right)^N =\exp\left(\sum_i C_i \right)$

Hay$n_i!$combinaciones de$\delta J_1 \delta J_2 ...$que generan$C_i$. El número de combinaciones para el$\prod_i C_i^{n_i}$términos es$\frac{N!}{\prod_i n_i!}$contando todos los diagramas generados por el$\frac{\delta}{\delta J}$es de$Z[J]$con$N$racimos

3) El argumento se puede ampliar para incluir ambos diagramas conectados$\sum_i C_i$unido por 1 borde y burbujas de vacío$\sum_j B_j$unidos por ningún borde. Luego, para estos diagramas que incluyen grupos y burbujas,$\sum_{[n_i]} D_{[n_i]} = \exp\left(\sum_i C_i + \sum_j B_j \right) = \exp\left(\sum_i C_i \right) \exp\left( \sum_j B_j \right)$Identificación de$Z[J] = \sum_{[n_i]} D_{[n_i]}$,$Z[0] = \exp\left(\sum_j B_j \right)$, y$W[J] = \sum_i C_i$, esto se reduce a

$$Z[J] = Z[0]\exp(W[J])$$

4) Lo anterior da una idea de cómo el$\ln Z$se produce, pero esto no tiene en cuenta la$J$'s. En última instancia, los detalles vienen de contar$J$'s, y asegurando que el número de derivados derribados por el$\frac{\delta}{\delta J(*)}$'s están todos contabilizados, ya que el$Z[J]$términos provienen de

$$Z[J] = \int {\cal{D}} \psi \exp\left(-\frac{1}{2}\psi(*)K(*,*)\psi -V(\psi) +J(*)\psi(*)\right) = C \exp\left(-V\left( \frac{\delta}{\delta J(*)}\right)\right)\exp\left(-\frac{1}{2}J(*)K^{-1}(*,*)J(*)\right)$$

Considere un conjunto de diagramas$C_k(x_1, x_2, ...)$y

$$W[J] = \sum_{j=0}^\infty \int dx_1 dx_2 \cdots dx_j \frac{1}{j!} C_k(x_1, x_2,... x_j)J(x_1)J(x_2)\cdots J(x_j),$$ abreviado escribiendo las integrales en términos de '*': $$W[J] = \frac{1}{n!}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!} C_j(*)J^j(*),$$ y relacionado con las funciones de correlación/Green tal que $$Z[J] = \exp\left(W[J]\right).$$ Con$J=0$, esto se reduce a$Z[J=0] = \exp\left(C_0\right),$de modo que $$Z[J] = Z[0]\exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} C_k(*)J^k(*)\right) = Z[0]\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!} G_n(*)J^n(*).$$ El$Z[0]$contienen bucles y "burbujas de vacío" desconectadas que tienden a divergir. Esto implica $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!} G_n(*)J^n(*) = \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} C_k(*)J^k\right) = \sum_{l=0}^\infty \frac{1}{l!}\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} C_k(*)J^k\right)^l.$$ Entonces$C_1 = 0$,$G_2 = C_2$. Incluso para$V$,$C_3 = 0$,$G_4 = C_4 + 3C_2^2$, ... El$C$Se ve que los 's corresponden a términos factorizables que contribuyen a los diagramas. Tales factores surgen en$k$espacio como componentes que se unen a través de un solo borde, es decir, cortar un solo borde aísla el componente gráfico. Dichos subgrafos representan factores distintos y se pueden identificar a partir de$C \exp\left(-V\left( \frac{\delta}{\delta J(*)}\right)\right)\exp\left(-\frac{1}{2}J(*)K^{-1}(*,*)J(*)\right)$a cada pedido en$J$. Estos subgrafos se denominan "irreducibles de una partícula" o diagramas 1PI.

Estos pueden escribirse en términos de "polinomios de Bell exponenciales" que pueden definirse en términos de la función generadora

$$\exp\left(u\sum_{j=0}^\infty \frac{x_j t^j}{j!}\right) = \sum_{n,k \ge 0} \frac{t^n u^k}{n!} B_{n,k}(x_1, x_2,...,x_{n-k+1}).$$ Por esto: $$G_n =\frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n B_{n,k} (C_1, C_2,...,C_{n-k+1}).$$ El$B_{n,k}$tener la forma

$$B_{n,k}(C_1, C_2,...,C_{n-k+1}) = \sum_{\{j_l\}} \frac{n!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} \left( \frac{C_1}{1!} \right)^{j_1} \left(\frac{C_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{C_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}$$