¿Por qué necesitamos representaciones complejas en las Grandes Teorías Unificadas?

La conjugación de carga es extremadamente resbaladiza porque hay dos versiones diferentes; ha habido muchas preguntas en este sitio mezclándolas ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), varias las hice yo mismo hace unos años. En particular, hay un par de argumentos en los comentarios anteriores donde las personas hablan entre sí precisamente por esta razón.

Creo que la respuesta actual cae en uno de los conceptos erróneos comunes. Daré un ejemplo lo más explícito posible, intentando hacer una 'piedra de Rosetta' para cuestiones sobre quiralidad, helicidad y$\hat{C}$. Aquí se abordan otras simetrías discretas .

Un ejemplo de hipercarga

Para simplificar, consideremos la hipercarga en el modelo estándar y solo observemos el neutrino, que suponemos que tiene un compañero estéril. Para un impulso dado, hay cuatro estados de neutrino:

$$|\nu, +\rangle \text{ has positive helicity and hypercharge } Y=0$$ $$|\nu, -\rangle \text{ has negative helicity and hypercharge } Y=-1/2$$ $$|\bar{\nu}, +\rangle \text{ has positive helicity and hypercharge } Y=1/2$$ $$|\bar{\nu}, -\rangle \text{ has negative helicity and hypercharge } Y=0$$

Hay dos campos de neutrinos:

$$\nu_L \text{ is left chiral, has hypercharge } -1/2, \text{annihilates } |\nu, -\rangle \text{ and creates } |\bar{\nu}, + \rangle$$ $$\nu_R \text{ is right chiral, has hypercharge } 0, \text{annihilates } |\nu, +\rangle \text{ and creates } |\bar{\nu}, - \rangle$$ La lógica aquí es la siguiente: supongamos que un campo clásico se transforma bajo una representación$R$de un grupo de simetría interna. Luego, tras la cuantificación, aniquilará las partículas que se transforman bajo$R$y crear partículas transformándose bajo la representación conjugada$R^*$.

Las simetrías del espacio-tiempo son más complicadas porque las partículas se transforman bajo el grupo de Poincaré y por lo tanto tienen helicidad, mientras que los campos se transforman bajo el grupo de Lorentz y por lo tanto tienen quiralidad. En general, un campo quiral derecho cuantificado aniquila una partícula de helicidad positiva. A veces, las dos nociones "quiral derecha" y "helicidad positiva" se denominan "diestros", por lo que un campo dextrógiro aniquila una partícula dextrógira. Evitaré esta terminología para evitar mezclar quiralidad y helicidad.

Dos definiciones de conjugación de carga

Tenga en cuenta que tanto los estados de las partículas como los campos se transforman en representaciones de$U(1)_Y$. Entonces, hay dos nociones distintas de conjugación de carga, una que actúa sobre partículas y otra que actúa sobre campos. Actuando sobre partículas, hay un operador de conjugación de carga$\hat{C}$satisfactorio

$$\hat{C} |\nu, \pm \rangle = |\bar{\nu}, \pm \rangle.$$ Este operador mantiene iguales todos los números cuánticos del espacio-tiempo; no cambia el espín o el impulso y, por lo tanto, no cambia la helicidad. Es importante señalar que la conjugación de carga de partículas no siempre conjuga números cuánticos internos , como se puede ver en este ejemplo simple. Esto solo es cierto cuando$\hat{C}$es una simetría de la teoría,$[\hat{C}, \hat{H}] = 0$.

Además, si no tuviéramos la pareja estéril, solo tendríamos los grados de libertad creados o destruidos por el$\nu_L$campo, y no habría manera de definir$\hat{C}$consistente con la definición anterior. En otras palabras, la conjugación de carga de partículas no siempre está definida , aunque sí con la pareja estéril.

Hay otra noción de conjugación de carga, que en campos clásicos es simplemente conjugación compleja,$\nu_L \to \nu_L^*$. Por la definición de una representación conjugada, esto conjuga todas las representaciones bajo las cuales el campo se transforma, es decir, voltea$Y$a$-Y$ y voltea la quiralidad. Esto es cierto ya sea que la teoría sea$\hat{C}$-simétrica o no. Por conveniencia solemos definir

$$\nu_L^c = C \nu_L^*$$ dónde$C$es una matriz que simplemente pone los componentes de$\nu_L^*$en el orden estándar, simplemente por conveniencia. (A veces, esta matriz también se llama conjugación de carga).

En cualquier caso, esto significa$\nu_L^c$es rectoquiral y tiene hipercarga$1/2$, asi que

$$\nu_L^c \text{ is right chiral, has hypercharge } 1/2, \text{annihilates } |\bar{\nu}, +\rangle \text{ and creates } |\nu, - \rangle.$$ La importancia de este resultado es que la conjugación de carga de los campos no da partículas adicionales . Sólo intercambia lo que el campo crea y lo que aniquila. Esta es la razón por la que, por ejemplo, una teoría de partículas de Majorana puede tener un Lagrangiano escrito en términos de campos quirales izquierdos o en términos de campos quirales derechos. Ambos dan las mismas partículas; es solo un cambio trivial de notación.

(Para completar, notamos que también hay una tercera definición posible de conjugación de carga: puede modificar la conjugación de carga de partículas anterior, imponiendo la demanda adicional de que todos los números cuánticos internos se inviertan. De hecho, muchos cursos de teoría cuántica de campos comienzan con una definición como esto. Pero esta definición estricta de conjugación de carga de partículas significa que no se puede definir incluso con un neutrino estéril , lo que significa que el resto de la discusión a continuación es discutible. Este es un problema común con las simetrías: a menudo, las propiedades intuitivas que desea simplemente pueden no se satisfarán simultáneamente. Sus opciones son renunciar a definir la simetría o renunciar a algunas de las propiedades).

Inconsistencias entre las definiciones

La respuesta existente ha mezclado estas dos nociones de conjugación de carga, porque asume que la conjugación de carga da nuevas partículas (verdadero solo para la conjugación de carga de partículas) mientras invierte todos los números cuánticos (verdadero solo para la conjugación de carga de campo). Si usa constantemente uno u otro, el argumento no funciona.

Un punto confuso es que la partícula$\hat{C}$El operador, en palabras, simplemente asigna partículas a antipartículas. Si cree que la antimateria se define por tener los números cuánticos opuestos (internos) a la materia, entonces$\hat{C}$debe invertir estos números cuánticos. Sin embargo, esta definición ingenua sólo funciona para$\hat{C}$teorías simétricas, y estamos tratando explícitamente con teorías que no son$\hat{C}$-simétrico.

Una forma de pensar acerca de la diferencia es que, en términos del contenido de la representación únicamente , y para un$\hat{C}$-solo teoría simétrica , la conjugación de carga de partículas es la misma que la conjugación de carga de campo seguida de una transformación de paridad. Esto lleva a muchas disputas donde la gente dice "no, tu$\hat{C}$tiene una transformación de paridad adicional en él!"

Para completar, tenga en cuenta que uno puede definir estas dos nociones de conjugación de carga en la primera cuantización, donde pensamos en el campo como una función de onda para una sola partícula. Esto causa mucha confusión porque hace que las personas mezclen las nociones de partículas y campos, cuando deberían estar fuertemente separadas conceptualmente. También hay un problema de signo confuso porque algunas de estas primeras soluciones cuantificadas corresponden a agujeros en la segunda cuantificación, invirtiendo la mayoría de los números cuánticos (consulte mi respuesta aquí para obtener más detalles). En general, no creo que se deba hablar de la "quiralidad de una partícula" o la "helicidad de un campo" en absoluto; la primera imagen cuantificada es peor que inútil.

¿Por qué dos definiciones?

Ahora uno podría preguntarse por qué queremos dos nociones diferentes de conjugación de carga. La conjugación de carga en partículas solo convierte partículas en antipartículas. Esto es sensato porque no queremos cambiar lo que sucede en el espacio-tiempo; simplemente convertimos las partículas en antipartículas mientras las mantenemos moviéndose de la misma manera.

Por otro lado, la conjugación de carga en campos conjuga todas las representaciones, incluida la representación de Lorentz. ¿Por qué es útil? Cuando trabajamos con campos, normalmente queremos escribir un Lagrangiano, y los Lagrangianos deben ser escalares bajo transformaciones de Lorentz,$U(1)_Y$transformaciones, y absolutamente todo lo demás. Por lo tanto, es útil conjugar todo porque, por ejemplo, sabemos con seguridad que$\nu_L^c \nu_L$podría ser un término lagrangiano aceptable, siempre que contratemos todos los índices implícitos apropiadamente. Este es, por supuesto, el término masivo de Majorana.

respondiendo la pregunta

Ahora déjame responder la pregunta real. Por el teorema de Coleman-Mandula, las simetrías interna y del espacio-tiempo son independientes. En particular, cuando hablamos de, digamos, un conjunto de campos que se transforman como un$10$en el$SU(5)$GUT, todos estos campos deben tener las mismas propiedades de transformación de Lorentz. Por lo tanto, es habitual escribir todos los campos de materia en términos de espinores de Weyl quirales por la izquierda. Como se indicó anteriormente, esto no hace nada a las partículas, es solo una forma útil de organizar los campos.

Por lo tanto, debemos construir nuestro GUT usando campos como$\nu_L$y$\nu_R^c$dónde

$$\nu_R^c \text{ is left chiral, has hypercharge } 0.$$ ¿Cómo habría sido si nuestra teoría no fuera quiral? Después$|\nu, + \rangle$debe tener la misma hipercarga que$|\nu, -\rangle$, lo que implica que$\nu_R$debería tener hipercarga$-1/2$me gusta$\nu_L$. Entonces nuestros ingredientes serían $$\nu_L \text{ has hypercharge } -1/2, \quad \nu_R^c \text{ has hypercharge } 1/2.$$ En particular, tenga en cuenta que las hipercargas vienen en un par opuesto.

Ahora supongamos que nuestros campos de materia forman una representación real$R$del grupo de calibre GUT$G$. Se produce una ruptura espontánea de la simetría, lo que reduce el grupo de indicadores al del modelo estándar$G'$. De ahí la representación$R$se descompone,

$$R = R_1 \oplus R_2 \oplus \ldots$$ donde el$R_i$son representaciones de$G'$. Ya que$R$es real, si$R_i$está presente en la descomposición, entonces su conjugado$R_i^*$también debe estar presente. Ese es el paso crucial.

Específicamente, para cada campo quiral izquierdo con hipercarga$Y$, hay otro campo quiral izquierdo con hipercarga$-Y$, que es equivalente a un campo quiral derecho con hipercarga$Y$. Por lo tanto, los campos quiral izquierdo y quiral derecho vienen en pares, con exactamente las mismas transformaciones bajo$G'$. De manera equivalente, cada partícula tiene un compañero de helicidad opuesta con la misma transformación bajo$G'$. Eso es lo que queremos decir cuando decimos que la teoría no es quiral.

Para solucionar esto, podemos suponer que todos los "fermiones espejo" no deseados son muy pesados. Como se indica en la otra respuesta, no hay razón para que este sea el caso. Si lo fuera, nos encontramos con un problema de naturalidad como en el caso del Higgs: dado que no hay nada que distinga a los fermiones de los fermiones espejo, desde el punto de vista de las simetrías, no hay nada que impida que la materia adquiera la misma masa enorme. Esto se considera una evidencia muy fuerte en contra de tales teorías; algunos dicen que por esta razón, las teorías con fermiones en espejo están totalmente descartadas. por ejemplo, el$E_8$la teoría fuertemente promovida en la prensa tiene exactamente este problema; la teoría no puede ser quiral.

Esto se puede explicar pensando en el acoplamiento de los fermiones al$SU(2)$campo de calibre débil. Recapitulemos lo que sabemos

1. Los fermiones de Weyl aparecen necesariamente en dos representaciones complejas del grupo de Lorentz$L$y$R$.
2. Sólo los fermiones en el$L$representación de la pareja del grupo Lorentz a la$SU(2)$campo de medida.
3. CPT es una simetría de la teoría.

Ahora introduzcamos el operador de conjugación de carga $C$. Considere un campo de fermiones zurdo que vive en la representación fundamental$R$de un grupo de calibre$G$. Luego, el operador de conjugación de carga produce un campo anti-fermión zurdo en la representación conjugada compleja$\bar{R}$. Si$R$entonces es una representacion real$R=\bar{R}$.

¿Por qué es esto malo? Bueno, si el antifermión zurdo vive en la misma representación que el fermión zurdo, entonces puede acoplarse al campo de calibre de la misma manera. De hecho, según la lógica de la teoría del campo efectivo , debe funcionar, ¡a menos que inventes algún mecanismo nuevo y complicado que evite que esto suceda!

Ahora, usando la simetría CPT, podemos considerar de manera equivalente nuestro anti-fermión de mano izquierda como un fermión de mano derecha. Pero esto significa que tiene un fermión diestro que se acopla al campo de calibre de la misma manera que lo hizo originalmente el fermión zurdo. En otras palabras, su teoría no es quiral.

¿Hay lagunas? Bueno, ¡podría suponer que los fermiones dextrógiros que se acoplan al campo débil aún no se han observado! Esta es la idea de la materia espejo . Es una predicción necesaria de cualquier teoría que utilice un álgebra de Lie que no tenga representaciones complejas, como$E_8$.

Para concluir, creo que Witten tiene la explicación más clara, ¡pero es un poco escueta! Estoy de acuerdo en que algunos de los argumentos anteriores son vagos (como de hecho fue esta respuesta originalmente). ¡Siga haciendo preguntas en los comentarios y esperamos poder perfeccionar una explicación realmente accesible!

Tratando de proporcionar una respuesta breve: el modelo estándar es quiral, y definimos el operador de proyección quiral como

$$P_{RL} = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma^5),$$ El cual involucra$\gamma^5$expresado como $$\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3.$$ el numero imaginario$i$en la definición anterior es crucial para mantener$\gamma^5$hermitiano $$(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5.$$ Dado que el modelo Estándar es quiral, lo indispensable$i$en la definición de proyección quiral$P_{RL}$nos corresponde elegir una representación compleja.

Dicho esto, una representación real no está estrictamente prohibida si es lo suficientemente innovador como para crear un operador de proyección quiral real y$\gamma^\mu$representación.