¿Por qué hay una fórmula de 1/2 en energía cinética? [duplicar]

El factor$\frac12$entra porque estamos integrando la ecuación

$$\frac{\mathrm dE}{\mathrm dv}=mv$$ una vez.

Menos abstracto y solo usando aritmética básica, la historia es así:

Al acelerar un cuerpo aplicando una fuerza (constante)$F$a lo largo de una distancia$\Delta s$, el cuerpo gana energía de acuerdo con

$$\Delta E=F\Delta s$$ que es solo la definición de trabajo (mecánico).

Según la segunda ley de Newton$F=ma$. También tenemos$\Delta s \approx v\Delta t$y por lo tanto

$$\Delta E\approx mav\Delta t$$ Esta relación es solo aproximada porque durante cualquier intervalo de tiempo finito $\Delta t$, el valor $v$cambios ya que el objetivo del ejercicio era acelerar el cuerpo.

No fue$a\Delta t=\Delta v$tenemos

$$\Delta E \approx mv\Delta v$$

Pero ¿dónde está el factor$\frac12$¿Adelante? Del cálculo básico:

$$\Delta(v^2)=(v+\Delta v)^2-v^2=2v\Delta v+(\Delta v)^2\approx 2v\Delta v$$ cuyos rendimientos $$\Delta E\approx\frac12m\Delta(v^2)=\Delta(\frac12 mv^2)$$ y por lo tanto $$E\approx\frac12 mv^2 + \mathrm{const}$$ Si pasamos de intervalos de tiempo finitos a infinitesimales, las ecuaciones se vuelven exactas y ya no necesitamos asumir una fuerza constante.

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Una breve introducción al cálculo diferencial relevante para este ejemplo en particular:

En el momento$t = t_0$el cuerpo tiene una velocidad$v(t_0)=v_0$. Después de un tiempo$\Delta t$, el cuerpo tiene la velocidad$v(t_0+\Delta t)=v_0 + \Delta v$.

El valor de$v^2$en el momento$t=t_0$es por supuesto$v^2(t_0)=v(t_0)^2=v_0{}^2$. ¿Cuál es el valor de$v^2$en el momento$t=t_0+\Delta t$?

$$v^2(t_0 + \Delta t)=v(t_0+\Delta t)^2 = (v_0+\Delta v)^2$$ Por otro lado, también tenemos $$v^2(t_0 + \Delta t) = v^2(t_0) + \Delta(v^2) = v_0{}^2 + \Delta(v^2)$$ y por lo tanto $$\begin{align*} \Delta(v^2) &= (v_0 + \Delta v)^2 -v_0^2 \\ &= v_0^2 + 2v_0\Delta v + (\Delta v)^2 - v_0{}^2 \\ &= 2v_0\Delta v + (\Delta v)^2 \end{align*}$$ Nos interesan los valores instantáneos , es decir, el cambio a medida que tomamos el límite $\Delta t \rightarrow 0$. Esto significa que $\Delta v$también se vuelve arbitrariamente pequeño y, en particular, podemos ignorar poderes superiores como $(\Delta v)^2$y obten $$\Delta(v^2)\approx 2v_0\Delta v$$ o $$\frac{\Delta(v^2)}{\Delta v}\approx 2v_0$$ Este procedimiento es tan útil que tiene su propio formalismo y notación simbólica. $$\frac{\mathrm{d}(v^2)}{\mathrm{d}v}=2v$$ después de tomar el límite $\Delta v\rightarrow 0$.

Entonces, necesita una respuesta simple... Consideremos un cuerpo de masa$m$en reposo. Velocidad inicial$u=0$. Ahora, el cuerpo se mueve con una velocidad$v$.

La fuerza sobre el cuerpo que acelera es$F=ma$,

$$\implies F=m\frac{dv}{dt}$$

La pequeña cantidad de trabajo realizado al mover el cuerpo en una pequeña distancia$ds$es

$$dw=F.ds$$ $$dw=m\frac{ds}{dt}dv=mvdv$$ Por lo tanto, el trabajo total realizado para acelerar el cuerpo desde $0$a $v$es $$W=\int_0^v dw=\int_0^v mvdv$$ $$\implies W={mv^2 \over 2}$$ Este trabajo realizado se almacena como la energía cinética del cuerpo en movimiento... $K.E=\frac{1}{2}mv^2$

En este método, la mitad viene a través de la integración. No hay otra explicación más fácil que esta, creo que sí ... Pero, la derivación real la proporciona Wikipedia

Notarás, a medida que estudies más física, que un factor de la mitad a menudo acompaña a las cantidades al cuadrado. Por ejemplo:

$\frac{1}{2}mv^2$

$\frac{1}{2}CV^2$

$\frac{1}{2}LI^2$

Estas son la energía cinética, la energía del condensador y la energía del inductor, respectivamente.

Si ha estudiado física basada en el cálculo, sabe que la tasa de cambio de la energía cinética en el tiempo es potencia y que la potencia es el producto de la fuerza y ​​la velocidad.

$\frac{d}{dt}KE = f \cdot v = ma \cdot v = m \frac{dv}{dt} \cdot v$

Integrando ambos lados con respecto a$t$rendimientos:

$KE = \int mv\ \frac{dv}{dt}dt = \int mv\ dv = \frac{1}{2}mv^2$

Si aún no está familiarizado con el cálculo, lo anterior no tendrá mucho sentido pero, a medida que se familiarice con él, reconocerá que el factor de un medio a menudo surge debido a una integración.

Aquí hay una pequeña línea de argumentos que no es una DERIVACIÓN, pero espero que le brinde una imagen intuitiva entre el factor de 2 y la definición de diferentes energías en física.

Como saben, la energía se conserva, por lo que si el planeta orbita alrededor del sol, su energía potencial se convierte constantemente en cinética y viceversa.

Nuestra pregunta es ¿cómo representar la energía mecánica a través de la noción de velocidad?

Supongamos el siguiente ejemplo: soltamos un cuerpo de prueba desde la altura H y lo dejamos caer libremente al suelo.

Al principio el cuerpo tiene la energía potencial$E=m g H$, sabemos que cuando el cuerpo toque el suelo tendrá energía potencial igual a 0 (ya que$H=0$) y significa que toda su energía potencial inicial se convertirá en energía cinética.

Entonces tenemos$K= E=m g H$.

Ahora todo lo que tenemos que hacer es representar esta energía a través de la velocidad. Podemos hacerlo notando que para un cuerpo en caída libre$v=g t$después$t=\sqrt{\frac{2 H}{g}}$ya que$H=\frac{g t^2}{2}$y finalmente$g H=\frac{v^2}{2}$.

Así que para la energía inicial tenemos$E=K= mgH= m \frac{v^2}{2}$

Aquí el factor de 2 proviene de la definición de la distancia recorrida por el cuerpo bajo una aceleración constante de g.

Espero que ayude a tu intuición.

Aunque estoy de acuerdo con las muchas respuestas aquí en cuanto al origen de la$\frac{1}{2}$factor, hay un punto importante que no se ha hecho todavía.

El hecho es que el factor de 1/2 solo existe debido al sistema de unidades utilizado para medir la masa. Podríamos cambiar fácilmente nuestro sistema de unidades de tal manera que la energía cinética fuera$mv^2$.

En realidad, sentirse cómodo cambiando de un sistema de unidades a otro es un truco importante y útil. Por ejemplo, esto se hace con frecuencia para tener un sistema de unidades donde la velocidad de la luz se define como igual a 1, lo cual es bueno porque significa que no tienes que escribir$c$por todo el lugar.