¿Por qué ΔxΔpxΔxΔpx\Delta x \Delta p_x aumenta linealmente con nnn para estados estacionarios?

Tengo una justificación heurística, pero ninguna prueba.

Se pueden considerar estados cuánticos individuales, con posición e impulso inciertos, como una distribución sobre el espacio de fases . Semiclásicamente, cada estado cuántico ocupa un área$h$de este espacio, como aquí se justifica . Este hecho se usa con frecuencia en mecánica estadística y es básicamente equivalente a la aproximación WKB.

Por lo tanto, si se aplica el límite semiclásico, la primera$n$Los estados excitados deben cubrir acumulativamente alrededor de$nh$del espacio de fase. En los casos simétricos descritos en la pregunta, el espacio de fase de cada estado "se asienta sobre" los estados anteriores, de modo que el$n^{th}$el estado tiene$nh$espacio de fase por sí mismo, es decir

$$\Delta x_n \Delta p_n \approx nh$$ como se ve en los ejemplos anteriores. Entonces, genéricamente, deberíamos esperar este comportamiento lineal. Ocurrirá siempre que las distribuciones del espacio de fase simplemente aumenten de escala como una función de $n$.

Sin embargo, esto solo sucede para potenciales suficientemente 'agradables'. Se pueden encontrar contraejemplos que violan la desigualdad debido a la escala del espacio de fase modificada, como se demuestra en la respuesta de Emilio Pisanty .

Creo que knzhou tiene razón en su respuesta con respecto a la razón principal de que este sea el caso. La mayoría de estos sistemas se están probando en la región WKB , lo que significa que, como regla general, subir un estado propio de energía significa que el área del espacio de fase accesible del estado aumenta$\hbar$. La segunda mitad del argumento es que, para los sistemas simples que se exhiben, la forma del área del espacio de fase accesible es en su mayor parte independiente del tamaño del área, o crece de una manera bastante predecible simplemente escalando uno o ambos. hachas Esta escala también afectará$\Delta x$y$\Delta p$, y lo hará de tal forma que su producto$\Delta x\,\Delta p$también aumenta en$\hbar$.

Esta idea también señala el camino para encontrar sistemas que no obedezcan esta heurística, donde la forma de la curva del espacio de fase cambia con la energía, y particularmente donde la fracción

$$\frac{\text{volume of phase space at energy }E\leq E_n}{\text{volume of phase-space square box that contains said volume}}$$ cambia en función de $E_n$.

Para obtener un sistema como ese, busqué sistemas cuyas regiones accesibles desarrollen 'picos' a medida que aumenta la energía, y lo más fácil que se me ocurrió fue sistemas de la forma

$$H=(p-x^3)^2.$$

Esto necesita ser manipulado un poco para que funcione - terminé usando$H=p^2-px+x^6$- y en función de$p$y$x$, este hamiltoniano parece el tipo de cuenco asimétrico que estamos tratando de crear:

Este hamiltoniano, en su forma cuántica$\hat H=\hat p^2-\frac12(\hat p\hat x+\hat x\hat p) + \hat x^6$, probablemente se pueda someter a algún tipo de tratamiento analítico, pero la forma más fácil es hacer algunos cálculos numéricos para tener una idea de la estructura. En Mathematica, esto se parece a

J = 1000; L = 10.; dx = (2 L)/(2 J);
T=-1/2(DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], 1]+DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], -1] - 
    DiagonalMatrix[Table[2, {2 J + 1}]])/dx^2;
P=-I(DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], 1]-DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], -1])/dx;
X = DiagonalMatrix[Table[j dx, {j, -J, J}]];

y luego

SortBy[Eigensystem[2 T - (X^3.P + P.X^3)/2 + X^6]\[Transpose], First]\[Transpose]

El espectro se parece a esto

con funciones propias luciendo así para los primeros 20,

y así para las funciones propias 280-300,

(que comienza a verse un poco irregular pero aún tiene oscilaciones bastante bien resueltas). Esto nos lleva, entonces, al producto de incertidumbre$\Delta x\,\Delta p$, calculado como

Table[
 Chop[Sqrt[v\[Conjugate].X.X.v] Sqrt[v\[Conjugate].P.P.v]]
 , {v, vecs[[1 ;; 300]]}
 ]

que se ve así:

Y esto, finalmente, no parece tener un comportamiento lineal. Hay más para investigar, seguro, pero la respuesta general parece ser negativa.