No satisfecho con el "truco" en la regularización de la función zeta

Considere una función de$s$como

$$f(s) = \frac{1}{a^s}$$ Ahora saca la derivada con respecto a $s$: $$f'(s)=\frac{d}{ds}a^{-s}=-\frac{\log(a)}{a^s}$$ que pasa en $s=0$? $$f'(s=0)=-\frac{\log(a)}{a^0}=-\log(a)$$

Qué pasa si$a=a_0+a_1+a_2+\cdots$(es decir,$s$-constantes independientes)? Simplemente metemos una suma:

$$f(s) =\sum_n \frac{1}{a_n^s}$$ ¿Qué le hace esto a la respuesta final? Nada, todavía podemos quedarnos en la suma: $$f'(s=0)=-\sum_n\frac{\log(a_n)}{a_n^0}=-\sum_n\log(a_n)$$

Así, obtenemos nuestra relación,

$$\left.\frac{d}{ds}\sum_n\lambda_n^{-s}\right|_{s=0}=-\sum_n\log\left(\lambda_n\right)$$