¿La condensación de Bose-Einstein depende de las condiciones de contorno?

En una caja con lados de longitud L , los valores propios de la energía dependen de las condiciones de contorno. Para condiciones de contorno periódicas, son

(1) mi norte X , norte y , norte z = ℏ 2 2 metro ( 2 π L ) 2 ( norte X 2 + norte y 2 + norte z 2 )
dónde ( norte X , norte y , norte z ) son números enteros, pero para reflejar las condiciones de contorno, son
(2) mi norte X , norte y , norte z = ℏ 2 2 metro ( π L ) 2 ( norte X 2 + norte y 2 + norte z 2 )
dónde ( norte X , norte y , norte z ) son enteros positivos . En la mayoría de los casos, esto no hace ninguna diferencia, ya que ambos producen la misma densidad de estados. Sin embargo, en un condensado de Bose-Einstein, donde un número macroscópico de partículas se encuentran en estado fundamental, parece tener un efecto.

por ejemplo, en ( 1 ) , el estado fundamental es mi 0 , 0 , 0 = 0 , Mientras en ( 2 ) es mi 1 , 1 , 1 = 3 ℏ 2 π 2 2 metro L 2 . Esto es solo un cambio de energía arbitrario. Donde surge una diferencia es la brecha de energía al primer estado excitado. Para ( 1 ) , esto es mi 1 , 0 , 0 − mi 0 , 0 , 0 = 2 ℏ 2 π 2 metro L 2 , pero para ( 2 ) es mi 2 , 1 , 1 − mi 1 , 1 , 1 = 3 ℏ 2 π 2 2 metro L 2 . Según las estadísticas de Bose-Einstein, los dos gases, por lo demás idénticos, deberían tener una proporción diferente de partículas en el primer estado excitado. ¿Cómo se concilia esto?

Editar: para derivar ( 1 ) , asumes la función de onda (para un cuadro centrado en el origen) ψ ( r ) = 1 L 3 mi i k ⋅ r e imponer condiciones de contorno periódicas, por ejemplo ψ ( L / 2 , y , z ) = ψ ( − L / 2 , y , z ) . Para derivar ( 2 ) , utiliza la función de onda de pozo cuadrado 3D (ahora con una esquina en el origen) ψ ( r ) = ( 2 L ) 3 / 2 pecado ⁡ ( k X X ) pecado ⁡ ( k y y ) pecado ⁡ ( k z z ) e imponer que debe ser cero en las paredes.

¿Por qué debería ser posible reconciliar dos situaciones diferentes?
Por lo general, se dice que las condiciones de contorno no afectan la respuesta final, así que pensé que ese también debería ser el caso aquí.
Por lo general, esto solo es cierto cuando lleva el tamaño del sistema al infinito. Para los sistemas finitos, los límites marcan la diferencia.
Para otros gases (clásicos o de Fermi) las condiciones de contorno no importan ni siquiera para un sistema de tamaño finito. ¿Son los BEC solo un caso especial en el que esto no funciona?
Me sorprendería si las condiciones de contorno no importan para el tamaño finito del sistema. Tienes una referencia para eso? Por ejemplo, en el ejemplo que comentas, el espectro de energía es claramente diferente. Esto tendrá consecuencias de algún tipo.
En Concepts in Thermal Physics de Blundell y Blundell, derivan la densidad de estados utilizando condiciones de contorno periódicas y reflectantes, y muestran que son lo mismo. Por supuesto, el uso de la densidad de estados requiere que se mantenga la aproximación del continuo, pero este es el caso en casi todos los gases, excepto en los BEC. Nunca hablan de tomar el límite del tamaño infinito.
Pero la densidad de estados sólo está bien definida en el límite de un sistema infinito. De lo contrario, no es una función uniforme, sino una secuencia de picos delta, que sí dependen de las condiciones de contorno. Los libros pueden ser descuidados con estos conceptos y, por ejemplo, mencionar tales suposiciones solo de pasada.
Mi punto es que el 'tamaño infinito' casi siempre se satisface, excepto para los BEC.
¿Qué quieres decir? Si se satisface el "tamaño infinito" depende de la situación que desee estudiar. Si desea estudiar un sistema muy grande, entonces está satisfecho. Si desea estudiar la formación de BEC en un sistema muy grande, debe tomar el límite correspondiente, de lo contrario no.
Creo que es mi culpa por interpretar 'tamaño infinito' demasiado literalmente, razón por la cual estaba discutiendo, cuando en realidad estamos de acuerdo. Entonces, ¿está diciendo que 'el tamaño infinito no se satisface para los BEC, por lo que el resultado depende de las condiciones de contorno'? En ese caso, si escribes la respuesta la aceptaré.
¿Cómo se derivan las ecuaciones 1 y 2?
He agregado una explicación de dónde provienen las ecuaciones.

Respuestas (1)

¿La condensación de Bose-Einstein depende de las condiciones de contorno?

No.

Esto se puede demostrar rigurosamente en ' Sobre la condensación de Bose-Einstein de un gas ideal ' de LJ Landau e IF Wilde (1979).

La prueba está en calcular la fugacidad z = mi β m (llamado actividad en el documento) y mostrando que exhibe un comportamiento no analítico en algunos T = T C independientemente de la condición de contorno específica. Entre otros, consideran condiciones de contorno periódicas y paredes reflectantes, este último supongo que es lo que quiere decir con condiciones de contorno 'reflexivas'. El comportamiento no analítico de las cantidades termodinámicas en el límite termodinámico es un signo de una transición de fase.

Entonces, todo lo que importa es la geometría del sistema, en este caso, un gas Bose libre encerrado dentro de una caja cúbica de lado L . en 3D (Es sabido que los sistemas libres para d < 2 no exhiben BEC, debido al teorema de Mermin-Wagner).

comentario físico

No creo que sea sorprendente que un BEC no dependa de la condición de contorno. Las condiciones de contorno periódicas o reflexivas se utilizan generalmente para sistemas dinámicos como electrones en la mayor parte de un material cristalino para estudiar las propiedades de transporte. BEC es un fenómeno de equilibrio , por lo que la geometría del sistema (por ejemplo, una caja o un potencial armónico) es lo que dicta la física del equilibrio.

tus ecuaciones

Para abordar directamente su supuesta discrepancia con la densidad de estados y la brecha de energía, me gustaría ver derivaciones de sus dos ecuaciones.

Respuesta a editar

Gracias. Sí, en retrospectiva, tus derivaciones eran algo obvias, lo siento. Simplemente no estaba seguro de lo que quería decir con condiciones de contorno "reflexivas", pero creo que quiere decir "paredes repulsivas" y, por lo tanto, solo una trampa de caja normal.

De todos modos, estaba empezando a desarrollar las matemáticas, basándome en encontrar la temperatura crítica. T C por la ecuación habitual

norte mi X C i t mi d s t a t mi s = ∑ i ∈ a yo yo b tu t gramo r o tu norte d s t a t mi 1 mi mi i / ( k T C ) − 1
y usando mi i en vuestros dos casos, cuando encontré un papel donde ya lo han hecho.

Nunca lo publicaron, por lo que es posible que no haya pasado por una revisión por pares, así que tenga cuidado con lo que dicen. Pero se llama ' efectos de tamaño finito con condiciones de contorno en la condensación de Bose-Einstein ' y muestran que diferentes condiciones de contorno provocan un cambio en T C , que sin embargo se vuelve insignificante e inexistente cuando aumenta el tamaño del sistema L → ∞ .

Tamaño finito o no

Debo agregar que, para que sea una transición de fase real y, por lo tanto, un BEC real , debe llevar el tamaño del sistema al infinito o, mejor, alcanzar el límite termodinámico. norte / V → ∞ , dónde norte es el número de partículas y V es volumen

En un sistema finito, la integral se convierte en una suma y puede definir un número de partículas crítico, lo que le da un (cuasi) condensado incluso en situaciones, por ejemplo, en un espacio 2D donde no podría existir . Pero este "condensado" no sobreviviría al límite termodinámico, por lo que no es una fase real en el sentido mecánico estadístico.

He agregado una sección que explica de dónde provienen mis ecuaciones si desea intentar explicar la discrepancia.
@AlexGhorbal Editó la respuesta para abordar eso.
¿La condensación de Bose-Einstein depende de las condiciones de contorno?
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