¿El potencial gravitacional de un planeta en órbita es siempre igual a menos la velocidad al cuadrado?

Question

¿El potencial gravitacional de un planeta en órbita es siempre igual a menos la velocidad al cuadrado?

jonathan

Di un planeta (masa $m$ ) está orbitando una estrella (masa $M$ ) en un círculo perfecto, por lo que está en movimiento circular.

$F=ma$ y la fuerza gravitatoria entre dos masas $F=\frac{GMm}{r^2}$ asi que

$\frac{GMm}{r^2}=ma$

$\frac{GM}{r^2}=a$

Y en movimiento circular $a=\frac{v^2}{r}$ asi que

$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}$

$\frac{GM}{r}=v^2$

y el potencial gravitacional $V=-\frac{GM}{r}$

Asi que $v^2=-V$

¿Hay una razón (cualitativa/menos matemática/prolija) por la que este es el caso? (¿o me he equivocado en esto?) y ¿se limita esto al caso específico del movimiento circular perfecto?

Respuestas (2)

¿El potencial gravitacional de un planeta en órbita es siempre igual a menos la velocidad al cuadrado?

Kitchi · Answer 1

Acabas de tropezar con el teorema del virial .

Básicamente establece que en un sistema ligado, el promedio de la energía potencial $V$ está relacionado con el promedio de la energía cinética $T$ me gusta

\frac{⟨ V ⟩}{2} = - ⟨ T ⟩

$\frac{\langle V \rangle}{2} = - \langle T\rangle$ donde los corchetes angulares indican un promedio de tiempo.

Tenga en cuenta que la fórmula anterior es específica solo para un potencial que va como $1/r$ . Como señala el enlace de Wikipedia anterior, la fórmula más general se da como

\frac{norte ⟨ V ⟩}{2} = ⟨ T ⟩

$\frac{n\langle V \rangle}{2} = \langle T\rangle$ para cualquier potencial que va como

r^{n}

$r^n$ .

Tenga en cuenta que las órbitas estables sólo existen para $n=1$ (aunque los estados ligados obviamente todavía pueden existir)
@JerrySchirmer ¿Supongo que quiso decir exactamente órbitas cerradas (cf. el teorema de Betrand)? La clase de potenciales centrales de ley de potencia que conducen a órbitas estables es mucho mayor, ¿no es así?

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

Energía potencial gravitacional $U$ se mide en joules y es proporcional a la masa de la partícula $m$ . Cuando multiplicas tu $v^2 = -\frac{GM}{r}$ por $m$ , se puede obtener que la energía cinética de la partícula es la mitad de la energía potencial $U$ . Está bien para un estado enlazado. Véase el teorema del virial .

¿El potencial gravitacional de un planeta en órbita es siempre igual a menos la velocidad al cuadrado?

jonathan

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Kitchi

jerry schirmer

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Vladímir Kalitvianski

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