¿Cuáles son los requisitos previos para estudiar la relatividad general? [cerrado]

La primera relatividad general normalmente se enseña en un nivel universitario de cuarto año o, a veces, incluso en un nivel de posgrado, obviamente esto supone una buena formación universitaria en matemáticas y física. Personalmente, soy más de la opinión de que uno debería ir y aprender otra física antes de abordar la relatividad general. Una formación sólida en mecánica clásica con exposición a hamiltonianos, lagrangianos y principios de acción al menos. Creo que también es bueno tener un curso de electromagnetismo (al nivel de Griffiths).

Matemáticamente, creo que los requisitos previos son un poco más altos y dado que la pregunta se refiere a detalles matemáticos, me concentraré en eso. Aprendí relatividad desde un punto de vista centrado en la geometría diferencial (me enseñó un matemático) y descubrí que mi comprensión de la geometría diferencial fue muy útil para comprender la física. Nunca he sido fanático del libro de Hartle, que creo que carece en gran medida de los detalles matemáticos, pero es bueno para la intuición física. Sin embargo, después de haber trabajado en relatividad durante algún tiempo, creo que es mejor enseñar desde un punto de vista más matemático para que pueda aprender fácilmente los conceptos de nivel superior.

Además, creo que realmente necesitas entender lo que está pasando matemáticamente para entender por qué debemos construir las cosas de la forma en que lo hacemos. Voy a tener que estar en desacuerdo con nibot aquí y decir que necesitará más que solo álgebra lineal y cálculo universitario. Cálculo al menos debe haber visto hasta el cálculo vectorial y estar familiarizado con él. El álgebra lineal es algo que debes tener muy bien entendido considerando que estamos tratando con vectores. Un buen curso de álgebra más abstracta que trata con espacios vectoriales, productos internos/ortogonalidad, y ese tipo de cosas es imprescindible. Que yo sepa, esto normalmente se enseña en un curso de álgebra lineal de segundo año y generalmente se mantiene fuera de los cursos de primer año.

No creo que se requiera un curso de análisis, sin embargo, dado que la pregunta es más sobre el aspecto matemático, diría que tener un curso de análisis hasta espacios topológicos es una gran ventaja. De esa manera, si tienes curiosidad acerca de la naturaleza más matemática de las variedades, podrías elegir un libro como Lee y empezar las carreras. Si desea estudiar algo a un nivel superior, diga Wald, entonces es imprescindible un curso de análisis que incluya espacios topológicos. Podrías salirte con la tuya, pero creo que es mejor tenerlo al final del día.

También diría que un buen curso de geometría diferencial clásica (cosas de 2 y 3 dimensiones) es un buen requisito previo para construir una idea geométrica de lo que está sucediendo, aunque los métodos utilizados en ese tipo de cursos no se generalizan.

Por supuesto, también está todo el asunto de la madurez matemática. Es una cosa divertida que es imposible de cuantificar. Yo, a pesar de tener la base matemática adecuada, no entendí de inmediato la idea de introducir un espacio tangente en cada punto de una variedad y cómo$\{\partial_{i}\}$forman una base para este espacio vectorial. Me tomó un poco más de tiempo darme cuenta de esto.

Siempre puede omitir todo esto y salirse con la gimnasia de índice clásica de los físicos (los tensores son cosas que transforman de cierta manera), sin embargo, creo que si quiere ser un estudiante serio de la relatividad, aprenderá el punto de vista más matemático.

EDITAR: Por sugerencia de jdm, un curso de teoría clásica de campos también es bueno. Hay un pequeño y agradable libro de Dover apropiadamente titulado Teoría clásica del campo que llega a la relatividad general justo al final. Sin embargo, nunca tomé un curso y, desafortunadamente, no creo que muchas universidades lo ofrezcan. También es una buena introducción si quieres aprender la teoría cuántica de campos.

Algunas respuestas aquí están cerca de "hacer una licenciatura en matemáticas, luego una licenciatura en física". Creo que esto no es lo que esperabas. Aprender todas esas materias es factible y natural mientras estás en la universidad, pero intentar adquirir todos esos conocimientos solo por tu cuenta en tu tiempo libre, sin profesores, sin clases, sin presiones para hacer exámenes en fechas determinadas... eso es casi imposible.

Habiendo dicho eso, creo que entiendo exactamente lo que quieres, porque una vez tuve la misma pregunta. Soy físico, pero después de graduarme, me di cuenta de que mi comprensión de GR desde un punto de vista matemático era solo superficial. Así que investigué sobre la cuestión y finalmente diseñé una bibliografía "paso a paso" que todavía sigo en mi tiempo libre. Aqui lo tienes:

1) Comience con la edición anterior del pequeño libro de Schaum 'Vector Calculus' de Murray M. Spiegel. Comienza con la definición muy básica de vectores de la escuela secundaria y termina con Símbolos y geodésicas de Christoffel. Cada capítulo tiene una descripción minimalista de lo esencial, seguida de ejercicios resueltos. Lea solo la parte descriptiva de los capítulos 1 al 6 (los primeros 3 o 4 capítulos seguramente los conocerá por completo, pero es bueno refrescarse), y luego trabaje en los capítulos completos 7 (coordenadas curvilíneas) y 8 (cálculo tensorial). ), o sea: estudia los capítulos 7 y 8 con los ejercicios resueltos también.

Trabaja especialmente TODOS los ejercicios resueltos y no resueltos del capítulo 8.

Esto no puede hacer milagros (es decir, no puede ser un sustituto de un título completo en matemáticas), pero le dará herramientas matemáticas básicas muy útiles en muy poco tiempo. Si puede hacer una derivada parcial pero no sabe qué significa "derivar los símbolos de Christoffel en coordenadas ortogonales esféricas", este es el libro con el que debe comenzar.

2) Después del Schaum, estudiar el libro "El Significado de la Relatividad" (1922) de Einstein. Es un libro basado en una serie de conferencias que dio en 1921 en Princeton, con explicaciones progresivas desde el cálculo tensorial hasta la cosmología de Friedman, incluyendo la relatividad especial y general. Tiene la intención de que se explique por sí mismo en matemáticas, pero tendrá mucho más significado para usted si primero ha resuelto el libro de Schaum. También requerirá algunas miradas breves a wikipedia si su experiencia en física no es buena (es decir, la ecuación de Poisson o las ecuaciones de Maxwell y su significado cuando las encuentre), pero nada difícil. El único problema de este libro es a veces la notación anticuada o, de vez en cuando, algunos detalles que tendrás que adivinar (por ejemplo, él asume c=1 para la relatividad especial y puede ser muy confuso si no lo ha notado). Pero es muy estimulante aprender del propio Einstein, y los libros modernos son, en general, demasiado básicos o demasiado sesgados en una sola dirección.

3) Después de haber trabajado los puntos 1 y 2, ahora he saltado al aprendizaje de los capítulos 1 al 6 del libro "Relatividad general" de Wald, incluidos los ejercicios (esto es muy importante) que están resueltos en algún lugar de Internet (búscalo en Google ). Sin embargo, este es un libro bastante difícil, ya veces lamento no haber usado primero otro texto. Así que te recomiendo que tomes aquí el libro "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity" de Sean Carroll. No es tan difícil como Wald pero es riguroso y bien explicado, y la selección de temas es muy interesante.

Otro enfoque bastante directo para aprender relatividad desde el principio puede ser el libro "A First Course in General Relativity" de Schutz. Este libro es único en su género, porque desarrolla un acercamiento geométrico, riguroso, pero progresivo y fácil, a la Relatividad General y su maquinaria matemática, asumiendo que el lector objetivo apenas sabe al principio cómo hacer una derivada parcial y poco más. Tiene muchos ejercicios cuyas soluciones detalladas son fáciles de encontrar en internet. Los últimos capítulos sobre agujeros negros y cosmología son solo una introducción, pero si los alcanza, estará en una buena posición para comenzar proyectos más ambiciosos (Carroll, Weinberg, etc.). De hecho, estoy pensando seriamente en dejar a Wald por el momento, y volver a este libro, que utilicé parcialmente en mi carrera, y resolverlo desde el principio. Estoy seguro de que Roger Penrose sostiene a Wald con una mano y lee distraído mientras come sus Corn Flakes por la mañana, como tú y yo hacemos con un periódico, pero para mí sigue siendo demasiado abstracto...

El tema es sorprendentemente autónomo, quizás principalmente porque los físicos típicamente aprenden la teoría física y las matemáticas asociadas simultáneamente. Yo diría que el principal requisito previo es un poco de "madurez matemática" e intuición física. Cualquier exposición a la geometría diferencial y las matemáticas abstractas solo puede ayudar. Un curso de mecánica clásica analítica lo pondría en la mentalidad correcta.

Si ha tomado cálculo universitario, álgebra lineal y tiene algún conocimiento de la relatividad especial, entonces le sugiero que salte y haga preguntas cuando encuentre dificultades.

La excelente respuesta de Colin da en el blanco al describir un trasfondo más completo. Simplemente no sea demasiado tímido para profundizar en las notas de Sean Carroll de inmediato y ver cuánto entiende y cuánto necesita revisar.

¿Puedo recomendar este conjunto de videos de la Universidad de Stanford proporcionados por Leonard Susskind?

Muy completo y muy útil para mí en el verano antes de tomar el curso.

Curso Stanford Uni GR

Además, no estaría de más mirar algunos cursos de cosmología sin GR, estos cubrirán algunos de los fenómenos físicos que GR es necesario para describir completamente.

Leí la mayor parte del primer curso de Schutz recién salido de la escuela secundaria y antes de la universidad. http://www.amazon.com/First-Course-General-Relativity/dp/0521277035 Había hecho los niveles A de matemáticas y física (estándar para jóvenes de 18 años en el Reino Unido con la intención de continuar con las matemáticas en la universidad). Requiere entender qué es una derivada parcial y álgebra lineal básica, así como la falta de miedo. Ayudó que antes hubiera leído mucha ciencia popular sobre la relatividad especial, pero comienza con una derivación de SR que hace que el libro sea bastante autónomo.

En cuanto a la relatividad especial, no se necesitan muchas matemáticas. Aquí es uno de los primeros cursos en el plan de estudios de pregrado. Un poco de álgebra lineal puede ser útil, pero no es estrictamente necesario. Depende un poco del texto que usarás.

La relatividad general es considerablemente más difícil y requiere una formación más sólida en matemáticas, en particular en geometría diferencial. Depende de tus propias preferencias si te gusta estudiarlo al estilo físico (es decir, todo en coordenadas locales y con índices tensoriales) o matemático (sin coordenadas). Un buen libro sobre relatividad general introduciría las matemáticas necesarias. Me gustó la Relatividad General de Wald, pero creo que con su experiencia no es muy adecuada. Una buena comprensión del cálculo multidimensional es sin duda un requisito previo.

Editar: esta fue una respuesta a una pregunta que se fusionó con esta.

Aparte de las conferencias de Feynman, mi favorita es Discovering Relativity for yourself de Sam Lilley. Pasó muchos años enseñando relatividad en clases nocturnas a estudiantes como amas de casa y comerciantes que tenían poca experiencia pero una fuerte determinación. Procede a través de la relatividad especial a la relatividad general en pasos muy modestos, y tiene cuidado de asegurarse de que la gente no se quede atrás. Comienza con muy pocas matemáticas y presenta cuidadosamente las matemáticas a medida que avanza, hasta que al final está siendo bastante matemático, pero ha traído a todos con él para que lo entiendan. En cada paso del camino, lo hace intuitivo e interesante, especialmente mediante el uso de un pequeño dispositivo de cartón llamado "ranura". Al deslizar esta ranura a través de los diagramas de espacio-tiempo, puede comprender claramente lo que está sucediendo.

La Relatividad Especial es el primer prerrequisito, obviamente. Eso debería incluir el álgebra lineal necesaria, la teoría de grupos y la teoría clásica de campos, porque GR es en sí misma una teoría de campos.

Después de eso, lo principal que debe comprender es el cálculo, incluida la regla de la cadena para derivadas parciales, que es crucial para la composición de las transformaciones de coordenadas en los campos tensoriales.

Eso es todo lo que es esencial para aprender los conceptos básicos de la relatividad general. Quizás también necesites una buena intuición geométrica. Si lo tiene, GR se puede enseñar o aprender mucho antes de lo normal.

Hay algunas otras cosas que ayudarían, como comprender el principio de acción mínima que utiliza el cálculo de variaciones. También vale la pena conocer primero el electromagnetismo hasta la formulación de las ecuaciones de Maxwell en SR.

Luego tomas el libro más pequeño sobre GR que puedas encontrar (que sería el de Dirac) y lo trabajas. Más tarde puede pasar a tratamientos más modernos y textos más grandes con más detalles.