¿Cómo se calcularon las masas solares y la distancia del evento de fusión GW150914 a partir de la señal?

En resumen: porque medimos tanto amplitud como fase.

en la amplitud$A$, la distancia y la masa están degeneradas, por lo que solo puedes medir la siguiente combinación de ellas:

$$A \propto \frac{1}{r}\frac{(m_1m_2)^{1/2}}{(m_1+m_2)^{1/6}}$$

Mientras tanto, la fase depende muy sensiblemente de las masas de los objetos, pero no de la distancia. Por lo tanto, podemos restringir las masas en la expresión anterior y romper la degeneración de distancia de masa para determinar$r$.

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La respuesta más larga:

La fase y la amplitud de los GW producidos por fusiones binarias compactas como GW150914 son imposibles de modelar exactamente y requieren simulaciones de relatividad numérica para una solución general. Sin embargo, podemos hacer un trabajo razonablemente bueno al aproximarlos en el régimen de campo débil, donde los objetos se mueven lo suficientemente más lento que la luz (y cuando estamos lo suficientemente lejos de ellos).

Hacemos esto aproximando su dinámica orbital con una expansión posnewtoniana en el pequeño parámetro$(v/c)^2$(donde$v$es la velocidad orbital de los objetos). Al orden principal (newtoniano) en esta expansión (es decir, donde$v \ll c$), la amplitud$h$y fase$\psi$del aspecto de la forma de onda gravitacional (en el dominio de la frecuencia):

$$h(f) = \frac{1}{r}\mathcal{M}^{5/6}f^{-7/6}\exp(i\psi(f))$$ $$\psi(f) = 2\pi f t_c - \phi_c - \frac{\pi}{4} + \frac{3}{128}(\pi\mathcal{M}f)^{-5/3}$$ donde $t_c$es el momento de la coalescencia, $\phi_c$es la fase en la coalescencia, y $\mathcal{M}$es la masa del chirrido . Esta aproximación se puede mejorar agregando términos de orden superior en $v/c$(y, de hecho, hay varias formas diferentes de extender la expansión de PN más allá del orden principal).

Note que la distancia$r$está ausente de la fase$\psi$. Dado que la masa chirp se puede determinar independientemente (y con mucha precisión) de la fase sola, la degeneración en$h$se puede romper y, en la medida en que se pueda medir la evolución de la amplitud (que no es tan buena como nos gustaría), podemos determinar la distancia$r$.

En la práctica, sin embargo, hay una degeneración adicional en la amplitud con la ubicación del cielo y la orientación de la fuente binaria. La amplitud de deformación$h$lo anterior es aproximadamente correcto solo para un binario frontal que está directamente sobre un solo detector; la función de respuesta del detector, de hecho, depende de la ubicación de la fuente (y su orientación), de modo que la amplitud para un sistema binario con una ubicación inferior a la óptima será menor que este máximo.

La ubicación del cielo se puede determinar de manera aproximada mediante la triangulación de tiempo, o con una precisión ligeramente mayor al incorporar diferencias de fase entre los sitios del detector. Como dice Paul T, esto se hace de manera más efectiva con un análisis bayesiano coherente de los datos del detector que ajusta todos los parámetros del modelo simultáneamente (hay 15 de ellos).

Dado que la ubicación del cielo generalmente se mide bastante mal (decenas a cientos de grados cuadrados para señales típicas), el error resultante en la medición de la distancia también es grande: típicamente 10-30%.

Las masas de los dos objetos binarios están codificadas en la frecuencia y la evolución de la frecuencia de las ondas gravitacionales. En la parametrización habitual los dos parámetros que se miden con mayor facilidad a partir de la fase del oleaje son la masa total$M=m_1+m_2$y la "masa de chirrido":

$$\mathcal{M} = \frac{(m_1\, m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}} = \frac{c^3}{G}\left[\frac{5}{96}\,\pi^{-8/3}\,f^{-11/3}\,\dot{f}\right]^{3/5},$$

donde$G$y$c$son la constante gravitatoria de Newton y la velocidad de la luz;$f$y$\dot{f}$son la frecuencia de la onda gravitacional y su primera derivada.

La masa total, la distancia a la fuente y la ubicación de la fuente en el cielo se codifican en la amplitud de las ondas. Una vez que haya determinado$M$y$\mathcal{M}$desde la fase, puede usar la triangulación entre múltiples detectores para determinar la ubicación del cielo. Finalmente, con la ubicación del cielo y la masa total en la mano, puede determinar la distancia.

En la práctica, todos estos parámetros (y varios otros) se ajustan simultáneamente, y hay muchas correlaciones con las que lidiar.

Si está realmente interesado, consulte el documento LIGO P1500218 "Propiedades de la fusión de agujeros negros binarios GW150914" .

La respuesta de juguete simple: puede extraerlo maximizando la siguiente cantidad derivada del análisis bayesiano:

$(s|h(\mathbf{\theta}))-(h(\mathbf{\theta})|h(\mathbf{\theta}))$, donde$s$es la señal$\theta$son los parámetros de esta forma de onda (p. ej., masa chirp, distancia, etc.),$(a|b)=\int \frac{a b^*}{S_n(f)} df$con$S_n$siendo la densidad espectral de potencia del detector LIGO (puede obtener el formulario, por ejemplo, en el sitio web de tutoriales de LIGO) y

$$h(f) = \frac{1}{r}\mathcal{M}^{5/6}f^{-7/6}\exp(i\psi(f))$$ $$\psi(f) = 2\pi f t_c - \phi_c - \frac{\pi}{4} + \frac{3}{128}(\pi\mathcal{M}f)^{-5/3}$$ donde $\mathcal{M}$es la masa del chirrido, $\psi$es la fase, $f$frecuencia, $t_c$tiempo de coalescencia, $\phi_c$fase de coalescencia A la aproximación de primer orden

Para responder a su pregunta sobre la degradación de$M_1$y$M_2$: Es mucho más difícil encontrar las masas individuales cuando hay ruido que encontrar, por ejemplo, la masa del chirrido.$\mathcal{M}$. Esto es por la razón exacta de que estos parámetros son algo degenerados con otros parámetros. También por esta razón, cuando observa el papel de detección de LIGO, estos parámetros tienen barras de error más grandes que la masa de chirp. Mirando la fórmula para la tensión de la onda gravitacional, los parámetros de amplitud y fase deberían ser posibles de determinar de forma independiente. Una vez que incluya tanto la localización del cielo como los términos de orden superior para$h(f)$, vería que ya no existe una degeneración estricta entre la masa chirp y las masas individuales.

Notas para evitar confusiones

1. La h aquí es solo la aproximación de primer orden y es válida cuando los binarios están más lejos que alrededor$r=6M$aparte. Para mejores aproximaciones, necesita soluciones numéricas / modelos semianalíticos.
2. Él$h$aquí no incluye la localización del cielo y se supone que el binario es frontal
3. Él$h$aquí no tiene términos de orden superior que también incluirían la relación de masa simétrica$\eta=m_1 m_2 / \mathcal{M}$
4. Él$h$aquí no incluye funciones de patrón de antena (usted necesitaría multiplicar la polarización cruzada y positiva por los patrones de antena que son funciones dependientes del detector).
5. Él$h$aquí no incluye giro o excentricidad del binario
6. La fórmula bayesiana que debe maximizarse asume ruido gaussiano y, por lo tanto, no funciona para ruido no gaussiano.