¿Cómo puede una canica en una pista circular regresar a su punto de origen usando solo su propio impulso?

Es bastante simple. Es que estás pasando por alto por completo el hecho de que la canica está interactuando con la pista y con lo que sea que esté sosteniendo la pista y, en última instancia, con la Tierra. El momento combinado de la canica, la pista y la Tierra se conserva en todo momento. Si repitiera el experimento con la canica en una pista ligera que estaba sobre una superficie con fricción muy baja, encontraría que tanto la canica como la pista se moverían, con la pista retrocediendo continuamente desde el punto instantáneo de contacto con la canica, por lo que que la cantidad de movimiento combinada se conservaría.

El momento de una partícula que corre a lo largo de una pista definitivamente no se conserva. La cantidad de movimiento solo se conserva cuando no se aplican fuerzas externas a un sistema, y ​​aquí la pista aplica fuerzas a la canica.

Lo que se conserva para una pista sin fricción es la energía mecánica, la suma de la energía potencial cinética y gravitacional.

Pero aunque puedes hacer girar la nave y/o alterar su trayectoria hacia un lado, sigues viajando alejándote de la Tierra a la misma velocidad constante. Solo usando sus cohetes para cancelar directamente el impulso lejos de la Tierra (lo que requiere exactamente la misma energía que se necesitaba para crear el impulso), y luego agregando más energía para empujar la nave de regreso a la Tierra, puede llegar a casa.

Esto es incorrecto. Puede aplicar empuje hacia un lado continuamente y girar de esa manera, de manera similar a como funciona la pista. Si aplicas un empuje perpendicular a tu velocidad, obtendrás una trayectoria circular y, finalmente, volverás a estar frente a la tierra. El impulso de la nave espacial no se conserva, pero sí el impulso total de la nave espacial y su combustible agotado.

suposiciones

Considero que la fricción estática es suficiente para que el movimiento de la canica no haga que la rampa oscile en el piso.

Tratemos de imaginar la situación, adjunte una flecha de impulso a la canica mientras se mueve. Intentemos deducir hechos sobre esta flecha a medida que se mueve la canica.

El cambio de tasa de tiempo de la magnitud del vector de impulso se da como:

Pero,$\frac{ d \vec{p} }{dt} = \vec{F}$, ¿cuáles son las fuerzas que actúan sobre la canica? La normal y la gravedad, sabemos que la canica está en equilibrio en la dirección normal a la superficie en la que está girando y, por lo tanto, la única fuerza efectiva es la fuerza tangencial causada por la gravedad, démosla como$\vec{F_{g,T} }$, entonces:

Claramente, la longitud de la flecha de impulso unida a esta partícula cambia con el tiempo según la cantidad dada en la expresión anterior. Y por lo tanto, el impulso no se conserva en longitud ni dirección.

Dado que el bloque no oscila debido a la fricción estática (como se supone), el peso del sistema de bloques de mármol empuja la tierra hacia abajo. Si tuviéramos que incluir la tierra en el sistema, entonces el impulso se conservaría como era de esperar.

Esta pregunta supone que se conserva la cantidad de movimiento de la pelota y, por lo tanto, cualquier cantidad de empuje hará que la pelota regrese a su punto original. Este no es el caso, ya que el impulso de la pelota se conserva solo cuando no hay fuerzas externas que actúen sobre ella.

Si la pelota regresa a su punto original depende de la fuerza con la que se empuja la pelota en primer lugar. Una fuerza demasiado pequeña y la pelota puede detenerse a mitad de camino.

Su intuición de que la nave espacial no puede regresar a la tierra usando solo fuerzas de empuje tangenciales es correcta. En puntos a lo largo de su viaje, necesitará disparar propulsores en direcciones opuestas para regresar a la tierra.

La forma en que las naves regresan a la tierra en misiones reales se logra mediante el uso de la fuerza gravitacional de un objeto masivo, por ejemplo, la luna, que "tirará una honda" o acelerará la nave de regreso en una trayectoria hacia la tierra.

Así es exactamente como los módulos de comando regresaron a la tierra en las misiones Apolo a la luna .

Solo escribiré mis pensamientos, ya que no puedo decir que tengo toda la razón.

En el primer caso, tan pronto como la canica choca con la superficie curva, el vector de cantidad de movimiento de la canica que es normal a la superficie se vuelve cero debido a la fuerza normal y debido a la elasticidad de la canica, la canica rebota con la misma cantidad de movimiento anti- paralelo al vector normal que tenía antes la canica. Aquí he tratado la parte tangencial del momento de la canica como invariante. Ahora continúa en todos los puntos de la superficie curva a medida que la canica viaja a través de la circunferencia.

Pero debe pensar que después de la primera colisión, el vector de momento neto de la pelota ha cambiado y sí, pero el momento total aún se conserva porque en el punto de contacto, la pelota le da impulso a la pista en dirección hacia afuera y si la pista es Si se coloca en una superficie lisa, se moverá hacia afuera. Este efecto también continuará a lo largo de la circunferencia dando como resultado que el impulso neto de la pista se vuelva cero y la canica tendrá el mismo vector de impulso inicial sin violar la conservación del impulso.

Además, no puedo entender lo que está diciendo en el caso 2, pero puede tener en cuenta la energía potencial gravitatoria junto con la energía cinética inicial y ver si funciona.

Podría ser útil pensar en la componente x y la componente y de la cantidad de movimiento como cantidades conservadas por separado, con la componente x y la componente y de la fuerza como sus tasas de cambio.

Considere el siguiente diagrama, comience en la parte inferior y solo mire el componente horizontal del impulso y la fuerza. Al principio, el momento está completamente en la dirección x positiva, no hay componente x de la fuerza, ya que la pista lo empuja hacia el centro. A medida que la pelota se mueve alrededor del primer cuarto de la pista, aparece una fuerza x (flechas rojas), dirigida hacia atrás contra el movimiento. Esto ralentiza la bola, deteniéndola (solo componente x) en el punto más a la derecha. El contacto de la pelota con la pista aplica una fuerza de igual magnitud en la dirección opuesta en la pista, cambiando su impulso de manera opuesta, por lo que se conserva el impulso total. En el punto más a la derecha, la fuerza x hacia atrás todavía se aplica, por lo que la pelota ahora acelera hacia atrás .(solo componente x) pasando alrededor del segundo trimestre. La pelota ahora se mueve en la dirección x negativa, el cambio en el momento proviene completamente de la fuerza aplicada por la pista. Ahora, cuando la pelota entra en el tercer cuarto, surge nuevamente una fuerza x en la dirección x positiva, opuesta a su movimiento, lo que la ralentiza. Finalmente, se detiene (movimiento de componente x) en el punto más a la izquierda y luego se acelera hacia la derecha hacia el inicio.

Si piensa en los componentes x e y por separado, puede ver que cada componente del impulso se cancela y se invierte por el componente correspondiente de la fuerza de la pista que se opone a su movimiento. Creo que el problema proviene de mirar el vector de impulso como una magnitud y dirección, ver que la magnitud permanece constante y pensar que de alguna manera eso significa que el impulso es de alguna manera "la misma cantidad de impulso"; que simplemente está cambiando de dirección, como si la pelota que gira alrededor del círculo fuera siempre el mismo trozo de materia y simplemente cambiara de dirección. Eso no funciona: una fuerza lateral constante implica un flujo de impulso, pero no cambia su magnitud.

Es interesante considerar un cuerpo rígido girando. Las fuerzas internas que lo mantienen unido constituyen un flujo constante de impulso dentro del cuerpo. Nuevamente, hay una tendencia intuitiva a pensar que debido a que es rígido, las partes están 'fijas' y no se mueven entre sí. Se siente extraño notar que los lugares al otro lado del planeta se mueven constantemente a velocidades de hasta dos mil millas por hora con respecto a nosotros. Nuevamente, considerando solo un componente de nuestra velocidad, podemos ver que la fuerza descendente de la gravedad nos acelera a cada uno de nosotros hasta dos mil millas por hora y luego vuelve a cero cada día, todos los días. Y dentro de seis meses cuando estemos del otro lado del sol estaremos viajando a sesenta kilómetros por segundoen relación con nuestro marco de referencia actual, acelerado a esa velocidad por el componente apropiado de la gravedad del sol, que luego se invierte y nos frena durante el resto del año. Cada componente separado del impulso se mueve cíclicamente hacia adelante y hacia atrás entre nosotros y el sol. Es solo la combinación de momentos x e y que forman la magnitud del vector que permanece constante.

Parece que estás confundiendo impulso y energía .

Ambos se conservan. Pero el impulso es una cantidad vectorial y la energía no lo es.

Solo puedes cambiar interactuando con otra cosa.

Una nave espacial tradicionalmente cambia su impulso disparando cohetes (dividiéndose en carga útil y propulsor) o interactuando con otros objetos (luz del sol o gravedad de un cuerpo pesado).

Una nave espacial en órbita alrededor de otro cuerpo que genera un impulso de empuje en realidad regresará a su ubicación inicial, a menos que genere suficiente empuje para escapar del pozo de gravedad de la cosa que está orbitando. En una situación más compleja puede que no (ya que interactúa con más cuerpos).

Para el mármol, se gira a través de un mecanismo diferente. Está interactuando con la pista, que a su vez está anclada a un planeta cuya masa es mucho más grande que la canica. Si la pista es rígida, la canica es lisa y las esquinas son redondeadas, la canica cambiará de dirección sin cambiar la velocidad. Se intercambiará impulso entre la canica y el planeta (el planeta, siendo muy grande, cambiará en un grado que nadie podría detectar), y la canica cambiará de dirección.

Bajo los supuestos de una conexión rígida y fricción cero, la canica perderá muy poca o ninguna energía.

Una nave espacial con ruedas sin fricción sobre una rampa que era mucho, mucho más masiva que la nave espacial también sería capaz de hacer un giro de 180 grados sin perder mucha energía.

Es posible que haya oído hablar de los términos "colisión elástica" y "colisión inelástica". Una colisión elástica es aquella en la que casi no se pierde energía en la deformación de los cuerpos que chocan o el sonido del impacto.

Puedes modelar una pista de canicas como una colisión elástica.

Cuando resuelve el resultado de una colisión elástica entre un objeto pequeño y un objeto pesado, encontrará que casi no se transmite impulso ni energía del objeto pequeño al objeto pesado.

Si resuelves las ecuaciones de colisión elástica ($m$es masa,$u$es la velocidad inicial,$v$es la velocidad final), con$m_2 \gg m_1$y$u_2 = 0$(el objeto masivo comienza estacionario),

el objeto grande no se mueve notablemente y el objeto pequeño refleja.

La energía se conserva, el impulso se invierte en el objeto pequeño y el objeto grande termina moviéndose a una velocidad ridículamente lenta.

Debido a que la energía de un objeto es proporcional al cuadrado de la velocidad, esa velocidad ridículamente lenta da como resultado un cambio aún ridículamente menor en la energía cinética, dejando casi todo para que el objeto ligero mantenga su velocidad.

En el caso de una pista firmemente conectada a la Tierra, la canica de 6 gramos es$10^27$veces más ligero que el planeta. Esto significa que en la situación "ideal", tan solo 1 parte en$10^27$de su impulso se transfiere al planeta.

En la práctica, la transferencia de impulso de la pelota al planeta no será perfecta, pero puedes acercarte lo suficiente como para que la fricción de rodadura y la resistencia del viento dominen ese problema.