Cómo calcular directamente el generador infinitesimal de SU(2)

Comúnmente investigamos las propiedades de SU(2) sobre la base de SO(3). Sin embargo, quiero calcular directamente el generador infinitesimal de SU(2) según la definición

$$X_{i}=\frac{\partial U}{\partial \alpha_{i}}$$ de la teoría de grupos de Lie. Pero, ¿dónde están los problemas de los métodos que utilicé a continuación?

Primero, parametrizo el SU(2) con el$(\theta, \phi, \gamma)$como esto:

$$U=\begin{bmatrix} e^{i\theta}sin\phi & e^{i\gamma}cos\phi \\ -e^{-i\gamma}cos\phi & e^{-i\theta}sin\phi\end{bmatrix}$$ y la E es cuando $(\theta, \phi, \gamma)$= $(0,\frac{\pi}{2},0)$.

En segundo lugar, uso la definición de generador infinitesimal así:

$$I_{1}=\frac{\partial U}{\partial \theta}|_{(0,\frac{\pi}{2},0)}=i\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

$$I_{2}=\frac{\partial U}{\partial \phi}|_{(0,\frac{\pi}{2},0)}=i\begin{bmatrix}0 & i\\ -i & 0 \end{bmatrix}$$

$$I_{3}=\frac{\partial U}{\partial \gamma}|_{(0,\frac{\pi}{2},0)}=i\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Aquí está la pregunta...

¿Por qué obtengo la matriz 0? Deberíamos esperar tener el Pauli Matrix. ¿no es así?
¿De dónde es el problema?