Amplitudes de transición por métodos funcionales en QFT

Question

Amplitudes de transición por métodos funcionales en QFT

Física
integral de trayectoria
rotación de mecha
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

pulpo

Estoy siguiendo la sección 9.2 en Peskin y Schroeder en la que se derivan las reglas de Feynman para campos escalares.

Definen (en la ecuación (9.14), página 282) la amplitud de transición desde $\vert\phi_a\rangle$ a $\vert\phi_b\rangle$ a tiempo $T$ ser

\begin{matrix} (1) & ⟨ ϕ_{b} | {mi}^{- i H T} | ϕ_{a} ⟩ = \int D ϕ Exp [i \int_{0}^{T} d^{4} X L] . \end{matrix}

$\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right]\tag{1}.$

Luego (en la página 289) se ocupan de la $\phi^4$ teoría y uso de la expansión

\begin{matrix} (2) & Exp [i \int_{0}^{T} d^{4} X L] = Exp [i \int_{0}^{T} d^{4} X L_{0}] (1 - i \int d^{4} X \frac{ϕ}{4!} ϕ^{4} + \dots) \end{matrix}

$\exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right] = \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L_0}\right]\left(1-i\int d^4x \frac{\phi}{4!}\phi^4+\cdots\right)\tag{2}$

Cada término en el RHS es de hecho de la forma

\int D ϕ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{norte}) Exp [i \int_{0}^{T} d^{4} X L_{0}],

$\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\cdots\phi(x_n) \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L_0}\right],$

que aparece en una fácil generalización de la fórmula (ecuación (9.18), página 284)

\begin{matrix} (3) & ⟨ Ω | T ϕ_{H} (X_{1}) ϕ_{H} (X_{2}) | Ω ⟩ = \underset{T \to \infty (1 - i ϵ)}{límite} (\frac{\int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) Exp [i \int_{- T}^{T} d^{4} X L_{0}]}{\int D ϕ Exp [i \int_{- T}^{T} d^{4} X L_{0}]}) \end{matrix}

$\langle\Omega\vert T\phi_H(x_1)\phi_H(x_2)\vert\Omega\rangle = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \left(\frac{\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\phi(x_2) \exp\left[i\int_{-T}^Td^4x\mathcal{L_0}\right]}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp\left[i\int_{-T}^Td^4x\mathcal{L_0}\right]}\right)\tag{3}$

Para derivar las reglas de Feynman, queremos intercambiar cada término en (2) por una función de correlación.

¿Qué sucede con el denominador de (3)?
Además, ¿debería preocuparme por tomar $T\to\infty(1-i\epsilon)$ en lugar de $T\to \infty$ (¿Cuál sería la cosa natural a hacer en (1))?

Respuestas (2)

Amplitudes de transición por métodos funcionales en QFT

Ihle · Answer 1

Creo que parte de su confusión se debe al hecho de que hay dos tipos diferentes de vacío en QFT. Primero está el vacío de la teoría libre, generalmente denotado $|0\rangle$ , en segundo lugar está el vacío completo (que interactúa), generalmente denotado $|\Omega \rangle$ .

Lo que queremos calcular son las diferentes cantidades en la teoría completa como:

⟨ Ω | T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) | Ω ⟩ .

$\begin{equation} \langle\Omega\vert T\phi(x_1)\phi(x_2)\vert\Omega\rangle. \end{equation}$

Lo que ha escrito en la ecuación (3) es exactamente el propagador en la teoría libre (vea que usa $\mathcal{L}_0$ y no $\mathcal{L}$ como debería ser). Esto puede parecer un punto menor, pero es esencial entender la diferencia. (Debe haberlo copiado mal de la ecuación (9.18) en P & S, ya que parece correcto allí.

El problema es que no podemos calcular esto directamente. Básicamente, lo que hacemos es decir: ¿Qué pasa si la teoría completa es casi como la teoría libre pero con un término de interacción pequeño? Es decir, hacemos la teoría de la perturbación. Esto se debe a que conocemos al propagador de la teoría libre:

Δ_{F} (X_{1} - X_{2}) = ⟨ 0 | T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) | 0 ⟩ = \frac{\int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) {mi}^{i S_{0}}}{\int D ϕ {mi}^{i S_{0}}} .

$\Delta_F(x_1-x_2) =\langle0\vert T\phi(x_1)\phi(x_2)\vert0\rangle = \frac{\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\phi(x_2) e^{iS_0}}{\int \mathcal{D}\phi\; e^{iS_0}}.$

El truco consiste entonces en reescribir todo en términos del propagador de la teoría libre.

La derivación real de la función completa de 2 puntos es bastante complicada, pero puede encontrarla en las páginas 82-99 de P & S.

Kostya · Answer 2

Comencemos con la segunda pregunta:

Además, ¿debería preocuparme por tomar $T\to\infty(1-i\epsilon)$ en lugar de $T\to \infty$ (¿Cuál sería la cosa natural a hacer en (1))?

Y comencemos preguntándonos "¿por qué" hacemos el límite en primer lugar?
La respuesta es -- no queremos la expectativa para el $|\phi_a\rangle$ y $|\phi_b\rangle$ estados: lo queremos para el estado fundamental de la teoría del campo interactivo, generalmente denotado como $|\Omega\rangle$ . Y conseguir eso es un asunto complicado, explicado en detalle en el Capítulo 4 del libro. Pero la idea básica es que tomas el estado fundamental $|0\rangle$ de QFT que no interactúa y evolucionarlo durante un tiempo T.

{mi}^{- i H T} | 0 ⟩ = \sum_{norte} {mi}^{- i {mi}_{norte} T} | norte ⟩ ⟨ norte | 0 ⟩

$e^{-iHT}|0\rangle = \sum_n e^{-iE_nT}|n\rangle\langle n|0\rangle$

Con $|n\rangle$ siendo los estados de interacción QFT. Entonces te das cuenta de que si cambias $T$ un poco en una dirección compleja, entonces los exponentes se vuelven decrecientes. El último truco es tomar un límite de grandes $\Re T$ para que solo $E_0 = \langle\Omega|H|\Omega\rangle$ sobrevive

Así que aquí está la razón de todo el alboroto con $T\to\infty(1-i\epsilon)$

¿Qué sucede con el denominador de (3)?

Eso está relacionado con el punto anterior. Mientras realiza el procedimiento, tendrá un factor adicional, por el que tendrá que dividir (consulte la ecuación (4.27)):

| Ω ⟩ = \underset{T \to \infty (1 - i ϵ)}{límite} {({mi}^{- i {mi}_{0} T} ⟨ Ω | 0 ⟩)}^{- 1} {mi}^{- i H T} | 0 ⟩

$|\Omega\rangle = \lim_{T\to \infty(1-i\epsilon)}\left(e^{-iE_0T}\langle\Omega|0\rangle\right)^{-1}e^{-iHT}|0\rangle$

Así que de ahí viene el denominador.

¡Gracias por tu respuesta! Creo que sigo la derivación de (3), incluido el alboroto sobre la parte imaginaria para eliminar todos los demás estados propios de energía. Mi preocupación era que no deberíamos estar haciendo esto en (1), donde el objetivo es encontrar una probabilidad de transición de $t=-\infty$ a $t=+\infty$ . La otra preocupación es que el denominador en (3) parece desaparecer cuando usamos la ecuación (3) en (2) para encontrar las reglas de Feynman para una teoría particular.
@octopus simplemente establecemos la amplitud de vacío a vacío en 1 (en una teoría libre), ¡así que el denominador es igual a la unidad! Esto tiene mucho sentido físicamente, porque nunca debería 'suceder' nada en una teoría libre cuando comienzas en el estado fundamental.
¿Significa esto que estamos definiendo $\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right]$ diferente para hacer que el denominador desaparezca o hay alguna razón por la cual el denominador es realmente uno?

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